作业(九) 实际问题中导数的意义和最值问题-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

高二数学(配BSD版) 实际问题中导数的意义和最值问题 1.实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用 导数概念来理解的量.以中学物理为例,速 度是路程关于时间的导数,功率是功关于 时间的导数等.结合实例,体会导数的实际 意义. 2.常见最优化问题 在实际问题中,经常会遇到解决一些如面 积最小、体积最大、成本最低、时间最少等 问题,这些问题通称为最优化问题.导数是 解决最优化问题的一个重要工具. 3.边际成本 在经济学中,通常把生产成本y关于产量 x 的函数y=f(x)的导函数,称为边际 成本. 4.利用导数解决生活中优化问题的基本思路 解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意 的基础上把实际问题抽象成数学问题.利 用数学知识建立相应的数学模型,再对数 学模型进行分析、研究,得到数学结论,然 后把数学结论返回到实际问题中去,其思 路如下: 上述解决优化问题的过程是一个典型的数 学建模过程. 1.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状 的框架(即12条棱长总和为30cm),要求 长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体 的最大体积是 ( ) A.24cm3 B.15cm3 C.12cm3 D.6cm3 2.一个箱子的容积与底面边长x 的关系为 V(x)=x2· 60-x2 (0<x<60),则当箱 子的容积最大时,x的值为 ( ) A.30 B.40 C.50 D.60 3.随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量 越来越多,据有关统计数据显示,从上午 6点到9点,车辆通过某一路段用时y(分 钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关 系可近似表示为y=-18t 3-34t 2+36t- 629 4 . 则在这段时间内,通过该路段用时最 多的时刻是 . 4.甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速 度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每 小时的运输成本由固定成本和可变成本 组成,固 定 成 本 为160元,可 变 成 本 为 v3 6400 元.为使全程运输成本最小,汽车应 以 km/h的速度行驶. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— 1.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.23V 2.(2023·曲阜一中模拟)“如意金箍棒”是神 话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器, 大小可随意变化.假设其变化时形状始终 保持为圆柱体,底面半径原为12cm,且以 1cm/s的速率缩小,而长度以20cm/s的 速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从 12cm 缩到4cm 的过程中,底面半径为 10cm时,体积最大,则其体积最小时底面 半径为 ( ) A.7cm B.6cm C.5cm D.4cm 3.如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱 的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液 体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后 xmin,瓶内液面与进气管的距离为hcm, 已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液 恰好156min滴完.则函数h=f(x)的图 象为 ( ) 4.(多选)如图所示,外层是类似 于“甜筒冰淇淋”的图形,上部 分是体积为1015π的半球, 其下面大圆刚好与高度为6 的圆锥的底面圆重合,在该 封闭的几何体内倒放一个小圆锥,小圆锥 底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶 点与外层圆锥顶点重合,则该小圆锥的体 积可以为 ( ) A.10π B.30π C.35π D.40π 5.一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车 行驶的速度的立方成正比,已知当速度为 每小时20km时,每小时消耗煤的价值为 40元,至于其他费用每小时要200元,要 使火车从甲城开往乙城时的总费用最省, 则火车行驶的速度应为 . 6.已知矩形的两个顶点A,D 位于x 轴上,另 两个顶点B,C 位于抛物线y=4-x2 在 x轴上方部分,则这个矩形的面积最大时 的边长分别为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 高二数学(配BSD版) 7.(2024·济宁模拟)经济学上规定,对于某 经济函数y=f(x),称xf' (x) f(x) 为该经济函 数的弹性,它表示经济变量x变动1%时, 经济变量y相应变动的百分比.现有一个 企业生产一种商品,年产x件的总成本为 c+dx,年需求量g(p)是价格p的函数,即 g(p)=a-bp(a,b,c,d>0).求: (1)利润最大时的产量及最大利润(设生产 件数x与年需求量相等); (2)需求量对价格的弹性的绝对值为1时 的价格; (3)若企业将价格定为p=a4b ,求此时需求 量对价格的弹性,并说明它的实际意义. 8.某企业拟建造如图所 示的容器(不计厚度, 长度单位:m),其中 容器的中间为圆柱体,左、右两端均为半球 体,按照设计要求容器的体积为64π 3 m 3. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有 关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3万元,半球体部分每平方米建造费用为 4万元.设该容器的总建造费用为y万元. (1)将y表示成r的函数,并求该函数的定 义域; (2)确定r和l为何值时,该容器的建造费 用最少,并求出最少建造费用. 1.(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正四棱锥的 侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若 该球的体积为36π,且3≤l≤3 3,则该正 四棱锥体积的取值范围是 ( ) A.18,814 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.274 ,81 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.274 ,64 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.[18,27] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— 2.(2020·江苏卷)某地准 备在 山 谷 中 建 一 座 桥 梁,桥址位置的竖直截 面图如图所示:谷底 O 在 水 平 线 MN 上,桥 AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到 MN 的距离h1(米)与 D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h1= 1 40a 2;右侧曲线 BO 上任一点F 到MN 的距离h2(米)与F 到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2= - 1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为 40米. (1)求桥AB 的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥 墩CD 和EF,且CE 为80米,其中C,E 在 AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k> 0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的 总造价最低? 易错点 利用导数研究函数时忽视定义域 致错 [示例] 已知某公司生产一种品牌服装的 年固定成本为10万元,且每生产1万件, 需要另投入1.9万元.设R(x)(单位:万 元)为年销售收入,根据市场调查知R(x) = 10x-130x 3(0≤x≤10), 200 3 (x>10), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 其中x(单位: 万件)是年产量. (1)写出年利润 W(单位:万元)关于年产 量x的函数解析式; (2)当年产量为多少时,该公司所获年利润 最大? [名师叮嘱] 利用导数解决实际问题时,不能忽 视实际问题中函数的定义域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 高二数学(配BSD版) 且当x∈ -∞,- -a3 ∪ -a3 ,+∞ 时,f'(x)>0, 当x∈ - -a3 , -a 3 时,f'(x)<0, 故f x 的极大值为f - -a3 ,极小值为f -a3 , 若f x 存在3个零点,则 f - -a3 >0, f -a3 <0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 即 a 3 -a 3 -a -a 3 +2>0 , -a 3 -a 3 +a -a 3 +2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a<-3, 故选B. 3.解析 (1)f'(x)=ex-a,g'(x)=a-1x. ①a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在 R上单调递 增,即f(x)没有最小值,该类情况应舍去. ②a>0时,f'(x)在(-∞,lna)上 小 于0,在(lna, +∞)上大于0, 所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上 单调递增, 所以f(x)在x=lna处有最小值为f(lna)=a-alna, 因为g'(x)在 0,1a 上小于0,在 1a,+∞ 上大于0, 所以g(x)在 0,1a 上单调递减,在 1a,+∞ 上单调 递增, 所以g(x)在x=1a 处有最小值为g 1a =1+lna, 因为f(x)=ex-ax 和g(x)=ax-lnx 有相同的最 小值. 所以有f(lna)=a-alna=g 1a =1+lna, 即a-alna=1+lna, 因为a>0,所以上式等价于lna-a-1a+1=0 , 令h(x)=lnx-x-1x+1 (x>0), 则h'(x)= x 2+1 x(x+1)2 >0恒成立,所以h(x)在(0,+∞) 上单调递增, 又因为h(1)=0=h(a)且a>0,所以a=1. 答案 1 【易错警示】 [示例1] [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 4x-1x ,令f'(x)=0,易得x=12. 故选C. [答案] C [示例2] [解析] f'(x)=3x2-6mx+n. 根据题意,f'(-1)=3+6m+n=0, f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 解得 m=-1, n=3, 或 m=-2,n=9. 当 m=-1,n=3 时, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,f(x)在 R上单调 递增,无极值点,故舍去.当 m=-2, n=9 时,f'(x)=3x2+ 12x+9=3(x+1)(x+3).当 x∈(- ∞,-3)和 x∈(-1,+ ∞)时,f'(x)>0,f(x)单 调 递 增;当 x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在 x=-1处有极小值,满足条件. 综上,m+n=-2+9=7. [答案] 7 作业(九) 实际问题中导数的意义和最值问题 【基础诊断】 1.B 2.B 3.8点 4.80 【综合应用】 1.C 设三棱柱底面边长为a,高为h,则体积V= 34a 2h, 表面积S=2× 34a 2+3ah= 32a 2+3a· 4V 3a2 = 32a 2+ 4 3V a . 求 导 得 S'= 3a-4 3V a2 .令 S'=0,解 得 a = 3 4V. 所以当底面边长为 3 4V时表面积最小. 2.D 设“如意金箍棒”变化前的长度为acm, ts时的体积为V(t), 则V(t)=π(12-t)2(a+20t),0≤t≤8, 所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π, 令12-t=10,解得t=2, 因为当底面半径为10cm时,V(t)最大, 所以V'(2)=0,解得a=60, 所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤t≤8, V'(t)=60π(t-12)(t-2), 当V'(t)>0,即t∈(0,2)时,V(t)单调递增, 当V'(t)<0,即t∈(2,8)时,V(t)单调递减, 因为V(0)=8640π,V(8)=3520π, 所以当t=8时,V(t)有最小值3520π, 所以“如意金箍棒”的底面半径为4cm.故选D. 3.C 由题意得,每分钟滴下药液的体积为πcm3. 当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-x16 , 所以h'=-116 ,此时0≤x≤144; 当1≤h<4时,xπ=π·42×9+π·22·(4-h), 即h=40-x4 ,所以h'=-14 ,此时144<x≤156, 所以函数在[0,156]上单调递减,且144<x≤156时,递 减的速度变快. 4.AB ①当小圆锥的底面与半球接触时, 设半球的半径为R,由43πR 3=10 15π,可得R= 15, 设小圆锥的高为h,小圆锥底面的半径为r, 则 MN2+r2=R2,即 MN2=15-r2, h=MN+6,小圆锥的体积为V=13πr 2(MN+6)= 1 3π (15-MN2)(MN+6)=13π (-MN3-6MN2+ 15MN+90), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 令f(t)=-t3-6t2+15t+90,0≤t≤ 15, f'(t)=-3t2-12t+15=-3(t-1)(t+5), 可得f(t)在(0,1)上递增,在(1, 15)上递减, ∴f(t)max=f(1)=98,Vmax= 98 3π. ②当小圆锥的底面与大圆锥接触时,小圆锥的体积可以 为不大于大圆锥体积的任何值,又大圆锥的体积V'= 1 3π× ( 15)2×6=30π,故选AB. 5.解析 设速度为xkm/h,甲、乙之间的距离为akm, 则总费用为y=f(x)=(kx3+200)ax =akx2+200x (x>0). ∵40=k·203=8000k,∴k= 1200 , ∴y=f(x)=a x 2 200+ 200 x (x>0), f'(x)=a x 100- 200 x2 =a(x 3-20000) 100x2 , 令f'(x)=0,则x=10 3 20. ∵f(x)只有一个极值点,∴此点也为最值点, ∴当火车行驶速度为10 3 20km/h时,费用最少. 答案 10 3 20km/h 6.解析 由题意,设矩形边长AD=2x, 则AB=4-x2, ∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2). ∴S'=8-6x2. 令S'=0,解得x1= 2 3 3 ,x2=- 2 3 3 (舍去). 当0<x<23 3 时,S'>0; 当2 3 3<x<2 时,S'<0. ∴当x=23 3 时,S取得最大值为32 39 , 即矩形的边长分别是4 3 3 ,8 3 时,矩形的面积最大. 答案 4 33 ,8 3 7.解析 (1)由于生产件数与年需求量x相等, 所以x=a-bp,p=a-xb . 由题意可知此时年利润l=h(x)=px-(c+dx) =a-xb x- (c+dx).h'(x)=-2bx+ a b -d , 令h'(x)=0,得x=12 (a-bd). 当x<12 (a-bd)时,h'(x)>0; 当x>12 (a-bd)时,h'(x)<0, 所以x=12 (a-bd)为极大值点,即最大值点. 故当x=12 (a-bd)时,l取得最大值14b (a-bd)2-c. (2)g(p)=a-bp,则需求量对价格的弹性为p ·g'(p) g(p) =p ·(a-bp)' a-bp =- bp a-bp. 令 - bpa-bp =1 ,得p=a2b. (3)若p=a4b ,则需求量对价格的弹性为 p·g'(p) g(p) =- bp a-bp=- b·a4b a-b·a4b =- a 4 a-a4 =-13. 它表示价格定为p=a4b 时,价格上升1%时,需求量相应 会减少33.3%. 8.解析 (1)由题意可知4πr 3 3 +πr 2l=64π3 ,∴l=64 3r2 -4r3. 又圆柱的侧面积为2πrl=128π3r - 8πr2 3 , 两端两个半球的表面积之和为4πr2. 所以y= 128π3r - 8πr2 3 ×3+4πr2×4 =128πr +8πr 2. 又l=64 3r2 -4r3>0⇒r<2 4 3, 所以定义域为 0,2 4 3 . (2)因为y'=-128πr2 +16πr=16π (r3-8) r2 , 所以令y'>0,得2<r<2 4 3; 令y'<0,得0<r<2. 所以当r=2m时,该容器的建造费用最少,为96π万元,此 时l=83 m. 【真题体验】 1.C 记三棱锥高与侧棱夹角为θ,高为h,底面中心到各 顶点的距离为 m,球的半径为R,则43πR 3=36π,解得 R=3,cosθ=3 2+l2-32 2×3×l = l 6∈ 1 2 ,3 2 ,则l=6cosθ, m=l·sinθ=6sinθcosθ, h= mtanθ= 6sinθcosθ sinθ cosθ =6cos2θ, S底=12×2m×2m=2m 2, 故V=13S底 ·h=13×2m 2h=144(sinθcos2θ)2, 令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+ x,x=sinθ∈ 1 2 ,3 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 高二数学(配BSD版) y'=-3x2+1,故x∈ 12 ,3 3 ,y'>0, x∈ 3 3 ,3 2 ,y'<0, 即Vmax=144y2max=144× 33× 6 3 2 2 =643 , Vmin=144× 32× 1 2 2 2 =274. 2.解析 (1)设AA1,BB1,CD1,EF1 都与 MN 垂直,A1, B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时, BB1=- 1 800×40 3+6×40=160,则AA1=160. 由1 40O'A 2=160,得O'A=80. 所以AB=O'A+O'B=80+40=120. 所以桥AB 的长度为120米. (2)以O 为原点,MN 所在直线为x 轴,OO'所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图所示). 设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=- 1 800x 3+6x, EF=160-y2=160+ 1 800x 3-6x. 因为CE=80,所以O'C=80-x. 设D(x-80,y1),则y1= 1 40 (80-x)2, 所以CD=160-y1=160- 1 40 (80-x)2=-140x 2+4x. 记桥墩CD 和EF 的总造价为f(x)万元, 则f(x)=k160+ 1800x 3-6x +32k -140x2+4x =k 1800x 3-380x 2+160 (0<x<40). f'(x)=k 3800x 2-340x =3k800x(x-20), 令f'(x)=0,得x=20. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x (0,20) 20 (20,40) f'(x) - 0 + f(x) 单调 递减 极小值 单调 递增 所以,当x=20时,f(x)取得极小值,也是最小值. 故当O'E 为20米时,桥墩CD 和EF 的总造价最低. 【易错警示】 [示例] [解析] (1)依题意得, W= -130x 3+8.1x-10(0≤x≤10), 170 3 -1.9x (x>10). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)设f(x)=-130x 3+8.1x-10,0≤x≤10,则f'(x) =-110x 2+8.1. 令f'(x)=0,得x=9或x=-9(舍去). 当0≤x<9时,f'(x)>0; 当9<x≤10时,f'(x)<0. 故当x=9时,f(x)取得最大值,为38.6. 当x>10时,1703 -1.9x< 113 3 <38.6. 综上可得,当 年 产 量 为9万 件 时,该 公 司 所 获 年 利 润 最大. 作业(十) 专项培优:导数与不等式、函数零点问题 【基础诊断】 1.解析 f(x)≥1⇔ax +lnx≥1⇔ a x ≥-lnx+1⇔a≥ -xlnx+x对任意x∈(0,1]恒成立. 令g(x)=-xlnx+x,x∈(0,1], 则g'(x)=-lnx-x·1x+1=-lnx≥0 ,x∈(0,1], 所以g(x)在(0,1]上 单 调 递 增,所 以g(x)max=g(1) =1, 所以a≥1,故a的取值范围为[1,+∞). 2.解析 令f(x)=x+1ex -a=0,得a=x+1 ex , 设g(x)=x+1ex ,则g'(x)=e x-(x+1)ex (ex)2 =-x ex , 当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0, 所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调 递减,所以g(x)≤g(0)=1, 而当x>-1时,g(x)>0,当x<-1时,g(x)<0, 所以g(x)的大致图象如图所示. ①当a>1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点; ②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解, 即f(x)有唯一的零点; ③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解, 即f(x)有两个零点; ④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解, 即f(x)有唯一的零点; 综上,当a>1时,f(x)没有零点; 当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点; 当0<a<1时,f(x)有两个零点. 【综合应用】 1.解析 (1)f(x)=ln (x+1) x + ln(x+1) 2 ,则f'(x)= 1 x(x+1)+ 1 2(x+1)- ln(x+1) x2 , 所以f'(2)=13- ln3 4 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55—