作业(八) 导数与函数的极值、最值-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

导数与函数的极值、最值 1.极值点与极值 (1)在包含x0 的一个区间(a,b)内,函数y= f(x)在任何不为x0 的一点处的函数值都 小于点x0 处的函数值,称点x0 为函数y= f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数 的极大值. 在包含x0 的一个区间(a,b)内,函数y= f(x)在任何不为x0 的一点处的函数值都 大于点x0 处的函数值,称点x0 为函数y= f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数 的极小值. (2)函数的极大值点与极小值点统称为极 值点,极大值与极小值统称为极值. 2.函数的最值 名称 意义 图示 最大 值点 函数y=f(x)在 区间[a,b]上的最 大值 点 x0 指 的 是:函数f(x)在 这个区间上所有 点处的函数值都 不超过f(x0) 最小 值点 函数y=f(x)在 区间[a,b]上的最 小值 点 x0 指 的 是:函数f(x)在 这个区间上所有 点处的函数值都 不小于f(x0) 最值 函数的最大值和最小值统称最值 [拓展] 最值与极值的关系 (1)最值是个整体概念,是整个区间上的最大值和最 小值,具有绝对性;而极值是个局部概念,是一些邻 近的点之间函数值大小的比较,具有相对性. (2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是 唯一的,而极值不一定唯一. (3)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区 间端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必 有极值;极值可能成为最值,最值只要不在端点必 为极值. 1.(教材改编)如图所示的是f(x)的导函数 f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(教材改编)函数y=xex 的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C.-1e D. 不存在 3.(多选)已知函数f(x)=(3x-5)ex,则下 列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)在 23 ,+∞ 上单调递减 B.函数f(x)的极小值点为x=23 C.函数f(x)无极大值 D.函数f(x)在[0,1]上的最大值为-5 4.当x=1时,函数f(x)=alnx+bx 取得最 大值-2,则f'(2)的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 高二数学(配BSD版) 1.(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数y= xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函 数f(x)的导函数),下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数 B.函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性 C.函数f(x)在x=-12 处取得极大值 D.函数f(x)在x=1处取得极小值 2.下列关于函数f(x)=xex 的说法正确的是 ( ) A.f(x)没有最小值,有最大值 B.f(x)有最小值,没有最大值 C.f(x)有最小值,也有最大值 D.f(x)没有最小值,也没有最大值 3.若函数f(x)=12x 2-x+alnx有两个不 同的极值点,则实数a的取值范围为 ( ) A.0,14 B.0,12 C.-∞,14 D.-∞,14 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 4.设函数f(x)=xsinx+cosx-x 2 4 ,则下列 为函数f(x)极大值点的是 ( ) A.5π3 B.- 5π 3 C.2π3 D.- π 3 5.(2024· 惠 州调研)已 知 x=1是 函 数 f(x)=(x2+ax)ex 的一个极值点,则曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为 . 6.(2024·天津质检)若函数f(x)=13x 3+ (a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取 值范围为 . 7.已知函数f(x)=lnx+tx (t∈R). (1)讨论f(x)的极值; (2)若t>0,求f(x)在[e,e2]上的最大 值g(t). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 8.(2024·济南月考)设函数f(x)=[ax2- (4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线与x轴平行,求实数a的值; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的 取值范围. 1.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)= alnx+bx+ c x2 (a≠0)既有极大值也有极 小值,则 ( ) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 2.(2023·全国乙卷)函数fx =x3+ax+2 存在3个零点,则a的取值范围是 ( ) A.-∞,-2 B.-∞,-3 C.-4,-1 D.-3,0 3.(2022·新高考全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同 的最小值.则实数a的值为 . 易错一 忽略函数的定义域致误 [示例1] 函数f(x)=2x2-lnx的极值 点为 ( ) A.0,12 ,-12 B. 1 2 ,-12 C.12 D.- 1 2 [名师叮嘱] 研究函数,要坚持定义域优先的原 则,否则极易出错. 易错二 误把导数为零作为函数取得极值 的充要条件 [示例2] 已知函数f(x)=x3-3mx2+ nx+m2 在x=-1处取得极值0,则m+n 的值为 . [名师叮嘱] 根据函数极值的定义可知,当可导 函数在某点取得极值时,f'(x)=0一定成立,但当 f'(x)=0时,函数不一定取得极值,如函数f(x)= x3,其导数为f'(x)=3x2,当x=0时,f'(x)=0,但 函数f(x)=x3 单调递增,无极值.所以y=f(x)在 一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极 值的必要不充分条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— 高二数学(配BSD版) ③当a=-12 时,f'(x)≤0, 故f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间. ④当a<-12 时,1 a>-2 , 令f'(x)>0,得-2<x<1a ; 令f'(x)<0,得x>1a 或x<-2. 故f(x)的单调递增区间为 -2,1a ,单调递减区间为 (-∞,-2),1a ,+∞ . 综上,当a<-12 时,函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 -2,1a ,单调递减区间为(-∞,-2), 1a,+∞ ; 当a=-12 时,函数f(x)的单调递减区间为 R,无单调 递增区间;当-12<a<0 时,函数f(x)的单调递增区 间为 1 a ,-2 ,单 调 递 减 区 间 为 -∞,1a ,(-2, +∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞, -2),1a ,+∞ ,单调递减区间为 -2,1a . 【真题体验】 1.C f'(x)=aex-1x≥0 对∀x∈(1,2)恒成立, ∴a≥ 1 xex , g(x)= 1xex 在(1,2)单调递减,∴g(x)<g(1)=1e , ∴a≥1e ,选C. 2.解析 由函数的解析式可得f' x =axlna+ 1+a x· ln1+a ≥0在区间 0,+∞ 上恒成立, 则 1+a xln1+a ≥-axlna, 即 1+a a x ≥- lnaln1+a 在区间 0,+∞ 上恒成立, 故 1+a a 0 =1≥- lnaln1+a ,而a+1∈ 1,2 , 故 ln 1+a > 0, 故 lna+1 ≥-lna, 0<a<1, 即 a a+1 ≥1, 0<a<1, 故 5-12 ≤a<1,结合题意可得实数a的 取值范围是 5-1 2 ,1 .故答案为 5-12 ,1 . 答案 5-1 2 ,1 3.解析 f'(x)=a-cosxcos 3x+3sinxcos2xsinx cos6x =a-cos 2x+3sin2x cos4x =a-3-2cos 2x cos4x , 令cos2x=t,则t∈(0,1), 则f'(x)=g(t)=a-3-2tt2 =at 2+2t-3 t2 , 当a=8时, f'(x)=g(t)=8t 2+2t-3 t2 = (2t-1)(4t+3) t2 , 当t∈ 0,12 ,即x∈ π4,π2 时,f'(x)<0. 当t∈ 12 ,1 ,即x∈ 0,π4 时,f'(x)>0. 所以f(x)在 0,π4 上单调递 增,在 π4,π2 上 单 调 递减. 【易错警示】 [示例1] [解析] 函数f(x)=x2-2lnx 的定义域是 (0,+∞),f'(x)=2x-2x= 2(x-1)(x+1) x ,令f'(x) <0,因为x>0,所以解得0<x<1,即函数f(x)=x2- 2lnx的单调递减区间是(0,1). [答案] (0,1) [示例2] [解析] 由已知,得f'(x)=2x+a-1x2 ,若函 数 f (x)在 13 ,+∞ 上 是 增 函 数,则 当 x ∈ 1 3 ,+∞ 时,2x+a-1x2≥0恒成立,即a≥1x2-2x恒 成立,即a≥ 1x2 -2x max,设u(x)=1x2-2x,则u'(x) =-2 x3 -2<0,即函数u(x)在 13 ,+∞ 上单调递减, 所以当x=13 时,函数u(x)取得最大值u 13 =253,所 以a≥253. 故实数a的取值范围是 253 ,+∞ . [答案] 253 ,+∞ 作业(八) 导数与函数的极值、最值 【基础诊断】 1.A 2.C 3.BCD 4.-12 【综合应用】 1.AD 由函数y=xf'(x)的图象知: 当x∈(-∞,-1)时,由xf'(x)<0,可得f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈(-1,0)时,由xf'(x)>0,可得f'(x)<0,f(x) 单调递减; 当x∈(0,1)时,由xf'(x)<0,可得f'(x)<0,f(x)单 调递减. 故当x∈(1,+∞)时,由xf'(x)>0,可得f'(x)>0, f(x)单调递增. 故当x=-1时,f(x)取得极大值;当x=1时,f(x)取 得极小值,故选AD. 2.A 易知函数f(x)的定义域为 R,f'(x)=e x-xex (ex)2 = 1-x ex ,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调 递减,所以当x=1时,f(x)取得极大值,也是最大值, f(x)没有最小值.故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 3.A 由题意得f'(x)=x-1+ax = x2-x+a x =0 有两个 不同的正实数根,即x2-x+a=0有两个不同的正实数 根,所以 Δ=1-4a>0, x1+x2=1>0, x1x2=a>0, 解得0<a<14,故实数a的取 值范围为 0,14 . 4.D f'(x)=sinx +xcosx -sinx - x2 = x cosx-12 . 令f'(x)=0,得x=0或x=2kπ±π3 ,k∈Z. 当x∈ -7π3 ,-5π3 ,-π3,0 , π3,5π3 时, f'(x)<0;当x∈ -5π3 ,-π3 ,0,π3 ,5π3,7π3 时, f'(x)>0. 所 以 函 数 f (x)在 -7π3 ,-5π3 , -π3,0 , π 3 ,5π 3 上 单 调 递 减;在 -5π3,-π3 , 0,π3 , 5π 3 ,7π 3 上单调递增. 因此结合选项知x=-π3 是函数f(x)的极大值点. 5.解析 由f(x)=(x2+ax)ex, 得f'(x)=(x2+ax+2x+a)ex, 因为x=1是函数f(x)=(x2+ax)ex 的一个极值点, 所以f'(1)=(3+2a)e=0,解得a=-32 , 所以f'(x)= x2+12x- 3 2 ex, 故所求切线斜率k=f'(0)=-32. 答案 -32 6.解析 易得f'(x)=x2+2(a-1)x+1. 因为函数f(x)没有极值,所以f'(x)≥0恒成立,所以Δ =4(a-1)2-4≤0,解得0≤a≤2. 答案 [0,2] 7.解析 (1)易得f'(x)=1x- t x2 =x-t x2 . 当t≤0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增, 无极值; 当t>0时,令f'(x)=0,得x=t,所以当x∈(0,t)时, f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(t,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x) 有极小值,为f(t)=lnt+1. 综上,当t≤0时,f(x)无极值;当t>0时,f(x)有极小 值lnt+1. (2)由(1)知,当t>0时,f(x)在(0,t)上单调递减,在 (t,+∞)上单调递增, 所以当0<t≤e时,g(t)=f(e2)=2+te2 . 当e<t<e2时,g(t)=max{f(e),f(e2)}, 令f(e)=f(e2),则1+te=2+ t e2 ,得t= e 2 e-1. 当e<t< e 2 e-1 时,1+te<2+ t e2 ,即f(e)<f(e2),所以 g(t)=f(e2)=2+te2 ; 当 e 2 e-1≤t<e 2时,1+te≥2+ t e2 ,即f(e)≥f(e2),所 以g(t)=f(e)=1+te. 当t≥e2时,g(t)=f(e)=1+te. 综上,g(t)= 2+t e2 ,0<t< e 2 e-1 , 1+te ,t≥ e 2 e-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 8.解析 (1)易得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex, 由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率 为0,故f'(1)=(a-2a-1+2)e=0,解得a=1. (2)f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(x-2)·(ax- 1)ex. ①当a<0时,1a<2 ,此时f(x)在 1a ,2 上单调递增, 在(2,+∞),-∞,1a 上单调递减,故f(x)在x=2处 取得极大值,不符合题意; ②当a=0时,f'(x)=-(x-2)ex,若x<2,则f'(x)>0, f(x)单调递增,若x>2,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在x=2处取得极大值,不符合题意; ③当0<a<12 时,1 a>2 ,此时f(x)在 2,1a 上单调 递减,在 1 a ,+∞ ,(-∞,2)上单调递增, 故f(x)在x=2处取得极大值,不符合题意; ④当a=12 时,f'(x)=12 (x-2)2ex≥0,f(x)在R上单 调递增,无极值,不符合题意; ⑤当a>12 时,1 a<2 ,此时f(x)在 1a ,2 上单调递 减,在(2,+∞),-∞,1a 上单调递增, 故f(x)在x=2处取得极小值,符合题意. 综上可得,a的取值范围是 12 ,+∞ . 【真题体验】 1.BCD ∵f'(x)=ax - b x2 -2c x3 =ax 2-bx-2c x3 =0有两 个正根x1,x2, ∴x1+x2= b a>0 ,x1x2= -2c a >0 ,Δ=b2+8ac>0, ∴ab>0,ac<0,则bc<0,选BCD. 2.B f(x)=x3+ax+2,则f'(x)=3x2+a, 若f x 存在3个零点,则f x 存在极大值和极小值, 则a<0, 令f'(x)=3x2+a=0,解得x=- -a3 或x= -a3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 高二数学(配BSD版) 且当x∈ -∞,- -a3 ∪ -a3 ,+∞ 时,f'(x)>0, 当x∈ - -a3 , -a 3 时,f'(x)<0, 故f x 的极大值为f - -a3 ,极小值为f -a3 , 若f x 存在3个零点,则 f - -a3 >0, f -a3 <0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 即 a 3 -a 3 -a -a 3 +2>0 , -a 3 -a 3 +a -a 3 +2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a<-3, 故选B. 3.解析 (1)f'(x)=ex-a,g'(x)=a-1x. ①a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在 R上单调递 增,即f(x)没有最小值,该类情况应舍去. ②a>0时,f'(x)在(-∞,lna)上 小 于0,在(lna, +∞)上大于0, 所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上 单调递增, 所以f(x)在x=lna处有最小值为f(lna)=a-alna, 因为g'(x)在 0,1a 上小于0,在 1a,+∞ 上大于0, 所以g(x)在 0,1a 上单调递减,在 1a,+∞ 上单调 递增, 所以g(x)在x=1a 处有最小值为g 1a =1+lna, 因为f(x)=ex-ax 和g(x)=ax-lnx 有相同的最 小值. 所以有f(lna)=a-alna=g 1a =1+lna, 即a-alna=1+lna, 因为a>0,所以上式等价于lna-a-1a+1=0 , 令h(x)=lnx-x-1x+1 (x>0), 则h'(x)= x 2+1 x(x+1)2 >0恒成立,所以h(x)在(0,+∞) 上单调递增, 又因为h(1)=0=h(a)且a>0,所以a=1. 答案 1 【易错警示】 [示例1] [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 4x-1x ,令f'(x)=0,易得x=12. 故选C. [答案] C [示例2] [解析] f'(x)=3x2-6mx+n. 根据题意,f'(-1)=3+6m+n=0, f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 解得 m=-1, n=3, 或 m=-2,n=9. 当 m=-1,n=3 时, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,f(x)在 R上单调 递增,无极值点,故舍去.当 m=-2, n=9 时,f'(x)=3x2+ 12x+9=3(x+1)(x+3).当 x∈(- ∞,-3)和 x∈(-1,+ ∞)时,f'(x)>0,f(x)单 调 递 增;当 x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在 x=-1处有极小值,满足条件. 综上,m+n=-2+9=7. [答案] 7 作业(九) 实际问题中导数的意义和最值问题 【基础诊断】 1.B 2.B 3.8点 4.80 【综合应用】 1.C 设三棱柱底面边长为a,高为h,则体积V= 34a 2h, 表面积S=2× 34a 2+3ah= 32a 2+3a· 4V 3a2 = 32a 2+ 4 3V a . 求 导 得 S'= 3a-4 3V a2 .令 S'=0,解 得 a = 3 4V. 所以当底面边长为 3 4V时表面积最小. 2.D 设“如意金箍棒”变化前的长度为acm, ts时的体积为V(t), 则V(t)=π(12-t)2(a+20t),0≤t≤8, 所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π, 令12-t=10,解得t=2, 因为当底面半径为10cm时,V(t)最大, 所以V'(2)=0,解得a=60, 所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤t≤8, V'(t)=60π(t-12)(t-2), 当V'(t)>0,即t∈(0,2)时,V(t)单调递增, 当V'(t)<0,即t∈(2,8)时,V(t)单调递减, 因为V(0)=8640π,V(8)=3520π, 所以当t=8时,V(t)有最小值3520π, 所以“如意金箍棒”的底面半径为4cm.故选D. 3.C 由题意得,每分钟滴下药液的体积为πcm3. 当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-x16 , 所以h'=-116 ,此时0≤x≤144; 当1≤h<4时,xπ=π·42×9+π·22·(4-h), 即h=40-x4 ,所以h'=-14 ,此时144<x≤156, 所以函数在[0,156]上单调递减,且144<x≤156时,递 减的速度变快. 4.AB ①当小圆锥的底面与半球接触时, 设半球的半径为R,由43πR 3=10 15π,可得R= 15, 设小圆锥的高为h,小圆锥底面的半径为r, 则 MN2+r2=R2,即 MN2=15-r2, h=MN+6,小圆锥的体积为V=13πr 2(MN+6)= 1 3π (15-MN2)(MN+6)=13π (-MN3-6MN2+ 15MN+90), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35—