第三部分综合检测-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

第三部分 综合检测 (本卷满分150分,用时120分钟) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.(2024·上饶一模)已知 R为实数集,集合 A={x|x2-3x-4≤0},B={x|y= lnx-1 },则A∪∁RB= ( ) A.{x|1<x≤4} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x≥-1} D.{x|x≤4} 2.(2024· 烟 台 一 模)若 loga a2+1 < loga2a <0,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.0,12 C.12 ,1 D.0,1 ∪ 1,+∞ 3.(2024·晋中模拟)在等差数列 an 中, a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则公差 d= ( ) A.-3 B.0 C.3 D.0或3 4.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若 S1=1, S4 S2 =4,则 S6 S4 的值为 ( ) A.32 B. 5 4 C.94 D.4 5.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等 或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2-m1= 5 2lg E1 E2 ,其中星等为mk 的星的 亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是 -26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与 天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1 6.设x>0,y>0,若ex+lny>x+y,则下列 选项正确的是 ( ) A.x>y B.x>lny C.x<y D.x<lny 7.若函数f(x)=lnx-1x ,则不等式f(1-x)> f(2x-1)的解集为 ( ) A.-∞,23 B.0,23 C.12 ,2 3 D.23,1 8.已知函数y=a+2lnxx∈ 1e ,e􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的图象 上存在点P,函数y=-x2-2的图象上存 在点Q,且P,Q 关于原点对称,则a的取 值范围是 ( ) A.[3,e2] B.[e2,+∞) C.4+1e2 ,e2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.3,4+1e 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部 分分,有选错的得0分. 9.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数, f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f x = x3,则下列结论错误的是 ( ) A.f(2025)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.当x∈(1,3)时,fx = 1-x 3 D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z) 10.若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3n (n∈N+),其前n项和为Sn,则下列结论 正确的是 ( ) A.a2022=3031 B.a2n-1=3n-1 C.an+1-an=1 D.S2n=3n2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 高二数学(配BSD版) 11.关于函数f(x)=1x+lnx ,下列说法正确 的是 ( ) A.f(1)是f(x)的极大值 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.f(x)在(0,1)上单调递减 D.设g(x)=xf(x),则g 1e <g(e) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共 15分. 12.设函数f(x)=xlnx,则在点(1,0)处的 切线方程是 ;函数f(x)=xlnx 的最小值为 . 13.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到 大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 . 14.已知f(x)=x2+bx+c有极小值点-1, 设bn=f (n) n ,若对于任意的n∈N+,都有 bn≥b4 成立,则实数c的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等比数列{an}的前n 项和 Sn=2n+r,其中r为常数. (1)求r的值; (2)设bn=2(1+log2an),若数列{bn}中去 掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺 序组成数列{cn},求c1+c2+c3+…+c100 的值. 16.(15分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数 fx =aex+a -x. (1)讨论fx 的单调性; (2)证明:当a>0时,fx >2lna+32. 17.(15分)为进一步推进国家森林城市建 设,我市准备制定生态环境改造投资方 案,该方案要求同时具备下列两个条件: ①每年用于风景区改造的费用y随每年 改造 生 态 环 境 总 费 用x 增 加 而 增 加; ②每年用于风景区改造的费用y不得低 于每年改造生态环境总费用x 的15%, 但不得高于每年改造生态环境总费用x 的25%.若每年改造生态环境的总费用 至少1亿元,至多4亿元;请你分析能否 采用函数模型y= 1100 (x3+4x+16)作为 生态环境改造投资方案. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— 18.(17分)已知函数f(x)=x-aex,a∈R. (1)当a=1e 时,证明:f(x)+lnx-x+1≤0 在(0,+∞)上恒成立; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若 1 2≤ an+1 an ≤2(n∈N+),则称{an}是“紧密 数列”. (1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前 5项依次为1,32 ,9 4 ,x,8116 ,求x 的取值 范围; (2)若 数 列{an}的 前 n 项 和 为 Sn = 1 4 (n2+3n),判断{an}是 不 是“紧 密 数 列”,并说明理由; (3)设数列{an}是公比为q的等比数列, 若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— 高二数学(配BSD版) ∴1a+ a b2 +b的最小值为2 2. 答案 2 2 考点三 1.C ∵f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3), ∴-b2= -1+3 2 ,解得b=-2. ∴f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, ∴f(x)>0的解集为{x|x≠1}. 2.解析 由题意得不等式(x+m)(2-x)<1, 即x2+(m-2)x+1-2m>0对任意x∈R恒成立, 因此Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0, 则m2+4m<0,解得-4<m<0. 答案 (-4,0) 3.解析 由题意a≠0,设y=ax2+8(a+1)x+2a+3, 又对于任意a∈Z,要使y≥0只有有限个整数解, 所以a<0. 又x=0是其中的一个解, 所以2a+3≥0,从而-32≤a<0 (a∈Z), 因此a=-1. 当a=-1时,则原不等式化为-x2+1≥0. 所以-1≤x≤1,不等式的整数解为-1,0,1. 从而全部整数解的和为-1+0+1=0. 答案 -1 0 4.解析 由题意知f(x)=x2+ax+b= x+a2 2 +b -a 2 4. ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b-a 2 4=0 , ∴f(x)= x+a2 2 . 又∵f(x)<c,∴ x+a2 2 <c, 解之得-a2-c<x<- a 2+c , ∴ -a2-c=m ,① -a2+c=m+6 ,② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由②-①,得2c=6,∴c=9. 答案 9 【真题体验】 1.BC 由x2+y2-xy=1得 x-y2 2 + 3 2y 2 =1, 令 x-y2=cosθ , 3 2y=sinθ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ x= 33sinθ+cosθ , y=2 33sinθ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故x+y= 3sinθ+cosθ=2sinθ+π6 ∈[-2,2],故 A错误,B正确; x2+y2= 33sinθ+cosθ 2 + 2 3 3sinθ 2 = 33sin2θ- 1 3cos2θ+ 4 3 =23sin (2θ-φ)+ 4 3∈ 2 3 ,2 其中tanφ= 33 , 故C正确,D错误. 2.解析 依题意得12a+ 1 2b+ 8 a+b= a+b 2ab+ 8 a+b= a+b 2 + 8 a+b≥2 a+b 2 × 8 a+b=4 ,当 且 仅 当 a>0, b>0, ab=1, a+b 2 = 8 a+b , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 ab=1, a+b=4 时,等号成立.因此,12a+12b+ 8a+b的最小值 为4. 答案 4 【易错警示】 [示例1] [解析] ①当 m=0时,3>0恒成立,满足 条件. ②当m≠0时,则Δ=16m2-12m<0,解得0<m<34. 综上可得实数m 的取值范围是 m 0≤m<34 . [答案] m 0≤m<34 [示例2] [解析] a+1a 2 + b+1b 2 =a2+b2+1 a2 +1 b2 +4 =(a2+b2)1+ 1a2b2 +4 =(1-2ab)1+ 1a2b2 +4. ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤ a+b2 2 =14 , ∴1-2ab≥1-12= 1 2 ,且 1 a2b2 ≥16,1+ 1 a2b2 ≥17. ∴原式≥12×17+4= 25 2 当且仅当a=b=12时,等号 成立 , ∴ a+1a 2 + b+1b 2 的最小值是25 2. [答案] 252 第三部分 综合检测 1.D 由x2-3x-4≤0,即(x-4)(x+1)≤0,解得-1≤ x≤4,即A={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4},又 B={x|y=ln x-1 }={x|x>1},所 以∁RB= x|x≤1 ,所以A∪∁RB={x|x≤4},故选D. 2.C 由题意知a>0且a≠1,则a2+1>2a, 又loga a2+1 <loga 2a <0, 所以 0<a<1, 2a>1, 解得12<a<1. 3.D ∵{an}为等差数列,且a4=9,a2,a4,a10构成等比数列, ∴ a4=9, a24=a2·a10, 即 a1+3d=9 , a1+d a1+9d =81, 解得d=0或d=3.故选D. 4.C 设公差为d,则S4=4a1+6d,S2=2a1+d,结合S4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— =4S2,a1=S1=1,得d=2,所以S4=16,S6=36,所以 S6 S4 =94. 5.A 由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天 狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E1,则由m2-m1= 5 2lg E1 E2 ,得-26.7+1.45=52lg E1 E2 , 则5 2lg E1 E2 =-25.25. ∴lg E1 E2 =-10.1,lg E2 E1 =10.1,∴ E2 E1 =1010.1. 6.B 不等式ex+lny>x+y等价于ex-x>y-lny, 令f(x)=ex-x, 则f(lny)=elny-lny=y-lny, ∴不等式ex-x>y-lny等价于f(x)>f(lny), ∵f'(x)=ex-1, ∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)=ex-1>0,f(x)在区间 (0,+∞)上单调递增, ∴若y∈(1,+∞),则lny∈(0,+∞), 由f(x)>f(lny),得x>lny; 若y∈(0,1],则lny≤0,由x>0,得x>lny. 综上所述,则有x>lny恒成立.故选B. 7.C 由函数f(x)=lnx-1x ,因为y=lnx在定义域(0, +∞)上单调递增,y=-1x 在区间(0,+∞)上单调递 增,故函数f(x)=lnx-1x 在区间(0,+∞)上为增函 数,所以只需1-x>2x-1>0,得12<x< 2 3 ,故选C. 8.A 函数y=-x2-2的 图 象 与 函 数y=x2+2的 图 象关于原点 对 称,若 函 数y=a+2lnx x∈ 1e ,e 的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图象上存在点 Q,且 P,Q 关 于 原 点 对 称,则 函 数 y=a+2lnx x∈ 1e ,e 的图象与函数y=x2+2的图象有交点, 即方程a+2lnx=x2+2x∈ 1e ,e 有解,即a=x2 +2-2lnx x∈ 1e ,e 有解,令f(x)=x2+2-2lnx x∈ 1e ,e ,则f'(x)=2(x 2-1) x , 当x∈ 1e ,1 时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(1,e]时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 故当x=1时,f(x)取最小值3, 由f 1e =1e2+4,f(e)=e2, 故当x=e时,f(x)取最大值e2, 故a∈[3,e2],故选A. 9.ABC ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(2-x)=f(x)=-f(-x), ∴f(2+x)=-f(x), ∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x), ∴f(x)的最小正周期是4,故B错误; ∴f(2025)=f(1)=1,故A错误; ∵当x∈[0,1]时,f x =x3,f(x)是定义在 R上的奇 函数, ∴当x∈[-1,1]时,f x =x3, 当x∈(1,3)时,2-x∈(-1,1), f x =f 2-x = 2-x 3,故C错误; 易知当x∈(0,2)时,f(x)>0, ∵f(x)的最小正周期是4, ∴f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z),故D正确. 10.ABD 因为an+an+1=3n,① 所以当n≥2,n∈N+ 时,有an-1+an=3(n-1),② ①-②,得an+1-an-1=3, 因为a1=2,a1+a2=3,所以a2=1, 由an+1-an-1=3可知该数列的奇数项是以2为首 项,3为公差的等差数列,该数列的偶数项是以1为首 项,3为公差的等差数列, 故a2022=a2×1011=1+(1011-1)×3=3031,故 A 正确; a2n-1=2+ 2n-1+1 2 -1 ×3=3n-1,故B正确; a2-a1=-1,故C不正确; S2n= n2+2+ 2n2-1 ×3 2 + n1+1+ 2n2-1 ×3 2 =3n2,故D正确. 故选ABD. 11.BCD 函数f(x)=1x +lnx 的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1x2 +1x= x-1 x2 , 当0<x<1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(0,1)上单调 递减, 当x>1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(1,+∞)上单调 递增, 所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为f(1)=1, 故A错误,C正确; 对于B,函数y=f(x)-x=1x+lnx-x ,其定义域为 (0,+∞), 则y'=-1x2 +1x-1= - x-12 2 -34 x2 <0, 故函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减, 又当x=1时,f(1)-1=0, 所以函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确; 对于D,g(x)=xf(x)=1+xlnx,其定义域为(0,+∞), 则g'(x)=lnx+1,令g'(x)=0,得x=1e , 当0<x<1e 时,g'(x)<0,则函数g(x)在 0,1e 上单 调递减, 当x>1e 时,g'(x)>0,则函数g(x)在 1e ,+∞ 上单 调递增, 所以当x=1e 时,函数g(x)取得极小值,也是最小值, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 高二数学(配BSD版) 为g 1e ,所以g 1e <g(e),故D正确. 12.解析 因为f'(x)=lnx+1, 所以所求切线的斜率k=f'(1)=1,所以切线方程为y =x-1;令f'(x)=0,解得x=1e ,当x∈ 0,1e 时, f'(x)<0;当x∈ 1e ,+∞ 时,f'(x)>0,所以f(x) 在 0,1e 上单调递减,在 1e,+∞ 上单调递增,所 以f x min=f 1 e =-1e. 答案 y=x-1 -1e 13.解析 解法一(观察归纳法) 数列{2n-1}的各项为 1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7, 10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7, 13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+ 6(n-1)=6n-5. 故前n 项 和 为Sn= n(a1+an) 2 = n(1+6n-5) 2 =3n 2 -2n. 解法二(引入参变量法) 令bn=2n-1,cm=3m-2, bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m 必为奇数. 令m=2t-1,则n=3t-2(t=1,2,3,…). at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5. 以下同方法一. 答案 3n2-2n 14.解析 因为f(x)=x2+bx+c有极小值点-1,所以 -b2=-1 ,解得b=2,故bn= n2+2n+c n =n+ c n +2 , 令g(x)=x+cx +2 (x≥1),则g'(x)=1-cx2 = x2-c x2 ,当c≤1时,g'(x)≥0,函数g(x)在[1,+∞)上 单调递增,此时{bn}是递增数列,不满足题意,故c>1. 当1<x<c时,g'(x)<0,当x>c时,g'(x)>0,即函 数g(x)在(1,c)上单调递减,在(c,+∞)上单调递 增,即数列{bn}先减后增,因为对于任意的n∈N+,都 有bn≥b4 成 立,所 以 只 需 b3≥b4 且 b4≤b5,即 5+c3≥6+ c 4 , 6+c4≤7+ c 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得12≤c≤20. 故c的取值范围为[12,20]. 答案 [12,20] 15.解析 (1)因为Sn=2n+r,所以当n=1时,S1=a1= 2+r. 当n=2时,S2=a1+a2=4+r,故a2=2. 当n=3时,S3=a1+a2+a3=8+r,故a3=4. 因为{an}是等比数列,所以a22=a1a3,即22=(2+r)× 4,化简得2+r=1,解得r=-1,此时Sn=2n-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1, 当n=1时,a1=S1=1适合上式, 所以r=-1满足题意. (2)因为an=2n-1,所以bn=2(1+log2an)=2n. 因为a1=1,a2=2=b1,a3=4=b2,a4=8=b4,a5=16 =b8,a6=32=b16,a7=64=b32,a8=128=b64,a9= 256=b128,所以c1+c2+c3+…+c100=(b1+b2+b3+ …+b107)-(a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)= 107×(2+214) 2 - 2(1-27) 1-2 =11302. 16.解析 (1)因为f(x)=a ex+a -x,定义域为 R,所 以f' x =aex-1, 当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f' x =aex-1 <0恒成立, 所以f x 在R上单调递减; 当a>0时,令f' x =aex-1=0, 解得x=-lna, 当 x < -ln a 时,f' x < 0,则 f x 在 -∞,-lna 上单调递减; 当 x > -ln a 时,f' x > 0,则 f x 在 -lna,+∞ 上单调递增; 综上:当a≤0时,f x 在R上单调递减; 当a>0时,f x 在 -∞,-lna 上单调递减,f x 在 -lna,+∞ 上单调递增. (2)证明 证法一 由(1)得,f x min=f -lna = a e-lna+a +lna=1+a2+lna, 要证f(x)>2lna+32 ,即证1+a2+lna>2lna+32 , 即证a2-12-lna>0 恒成立, 令g a =a2-12-lna a>0 , 则g' a =2a-1a= 2a2-1 a , 令g' a <0,则0<a< 22 ; 令g' a >0,则a> 22. 所以g a 在 0,22 上单调递减,在 22,+∞ 上单调 递增, 所以g a min=g 22 = 22 2 -12-ln 2 2=ln 2 >0,则g a >0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2lna+32 恒成立,证毕. 证法二 令h x =ex-x-1,则h' x =ex-1, 由于y=ex 在R上单调递增,所以h' x =ex-1在R 上单调递增,又h' 0 =e0-1=0, 所以当x<0时,h' x <0;当x>0时,h' x >0;所 以h x 在 -∞,0 上单调递减,在 0,+∞ 上单调 递增,故h x ≥h 0 =0,则ex≥x+1,当且仅当x= 0时,等号成立,因为f(x)=a ex+a -x=aex+a2 -x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x,当且仅当 x+lna=0,即x=-lna时,等号成立, 所以要证f(x)>2lna+32 ,即证x+lna+1+a2-x >2lna+32 ,即证a2-12-lna>0 , 令g a =a2-12-lna a>0 ,则g' a =2a-1a= 2a2-1 a ,令g' a <0,则0<a< 22 ;令g' a >0,则a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— > 22. 所以g a 在 0,22 上单调递减, 在 2 2 ,+∞ 上单调递增, 所以g a min=g 22 = 22 2 -12-ln 2 2=ln 2 >0,则g a >0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2lna+32 恒成立,证毕. 17.解析 ∵y'= 1100 (3x2+4)>0,x∈[1,4]. ∴当x∈[1,4]时,函数y= 1100 (x3+4x+16)是增函 数,满足条件①. 设g(x)=yx = 1 100x 2+4+16x . 则g'(x)= 11002x- 16 x2 =x 3-8 50x2 . 令g'(x)=0,得x=2. 当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表: x 1 (1,2) 2 (2,4) 4 g'(x) - 0 + g(x)21% ↘ 16% ↗ 24% 当x=2时,g(x)有最小值为16%>15%, 当x=4时,g(x)=24%<25%, 当x=1时,g(x)=21%<25%,满足条件②. 所以能采用函数模型y= 1100 (x3+4x+16)作为生态 环境改造投资方案. 18.解析 (1)证明 当a=1e 时,f(x)=x-ex-1,则 f'(x)=1-ex-1.由f'(x)>0得x<1,此时f(x)单调 递增,由f'(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减.所以 f(x)max=f(1)=0,即f(x)=x-ex-1≤0①,变形得x ≤ex-1,当x>0时,对x≤ex-1两边同时取自然对数, 得lnx≤x-1,当且仅当x=1时等号成立.所以lnx -x+1≤0②.①+②,得f(x)+lnx-x+1≤0.所以 当a=1e 时,f(x)+lnx-x+1≤0在(0,+∞)上恒 成立. (2)f(x)=0等价于x-aex=0,即xex =a.设h(x)= x ex ,则h'(x)=1-x ex ,当x<1时,h'(x)>0,h(x)单调 递增,当 x>1时,h'(x)<0,h(x)单 调 递 减,所 以 h(x)max=h(1)= 1 e. 又当x<0时,h(x)<0,当x>0 时,h(x)>0,且x→+∞时,h(x)→0,所 以 可 画 出 h(x)大致图象,如图所示.所以当a≤0或a=1e 时, f(x)在R上有唯一零点;当a>1e 时,f(x)在 R上无 零点;当0<a<1e 时,f(x)在R上有两个零点. 19.解析 (1)若 数 列{an}为“紧 密 数 列”,则 x≠0, 且 1 2≤ 4x 9≤2 , 1 2≤ 81 16x≤2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得81 32≤x≤ 9 2 ,故x的取值范围为 8132 ,9 2 . (2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下: 当n=1时,a1=S1= 1 4× (1+3)=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= 1 4 (n2+3n)-14 [(n-1)2 +3(n-1)]=12n+ 1 2 , 又1 2+ 1 2=1=a1 ,所以a1=1满足上式, 因此an= 1 2n+ 1 2 (n∈N+), 所以对任意n∈N+, an+1 an = 1 2 (n+1)+12 1 2n+ 1 2 =n+2n+1=1 + 1n+1 , 所以1 2< an+1 an =1+ 1n+1<2 , 因此数列{an}为“紧密数列”. (3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和 为Sn, 所以当q=1时,an=a1,Sn=na1, 所以1 2≤ an+1 an =1≤2,12≤ Sn+1 Sn =n+1n =1+ 1 n≤2 成立,满足题意, 当q≠1时,an=a1qn-1,Sn= a1(1-qn) 1-q , 因为{an}为“紧密数列”,所以 1 2≤ an+1 an =q≤2, 即1 2≤q<1 或1<q≤2, 当1 2≤q<1 时,Sn+1 Sn =1-q n+1 1-qn >1-q n 1-qn =1, Sn+1 Sn =1-q n+1 1-qn ≤1-q 2n 1-qn = (1+qn)(1-qn) 1-qn =1+qn <2, 所以1 2≤ Sn+1 Sn =1-q n+1 1-qn ≤2成立,满足{Sn}为“紧密 数列”; 当1<q≤2时, S2 S1 =1-q 2 1-q=1+q>2 ,不满足{Sn}为 “紧密数列”. 综上,实数q的取值范围是 12 ,1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26—