第3章 勾股定理 复习课件 2023--2024学年苏科版八年级数学上册

《勾股定理》小结与思考 1 1．掌握勾股定理及其逆定理． 2．能运用勾股定理及其逆定理解决一些计算问题． 【学习目标】 2 1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 ， 那么这个三角形是直角三角形． 【知识梳理】 3 【典型例题】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9． （1）求AB的长； 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9， 由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=122+92=225， 所以 AB=15． 4 【典型例题】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9． （2）若AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，求AE的长； 解：连接BE，如图． ∵ED是AB的垂直平分线， ∴EA=EB． 设AE=x，则BE=x，EC=12−x． 在Rt△BCE中，由勾股定理得：x2=92+(12−x)2． 解得：x= ． ∴AE= ． 5 【典型例题】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9． （3）若AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，求CF的长． 解：连接AF，如图． ∵FD是AB的垂直平分线， ∴FA=FB． 设CF=y，则FA=FB=9+y． 在Rt△AFC中，由勾股定理得: 122+y2=(9+y)2．解得y=3.5． 即CF的长为3.5． 6 【题后小结】 2、如果“已知a，c±b或b，c±a，求 b和 c”问题，可以通过设未知数， 运用勾股定理“列方程”来解决． 在直角三角形中： 1、如果“已知a，b或a，c或b，c，求c或b或a”问题，我们就可以直接 运用勾股定理“计算”求出第三边； 7 【典型例题】 变式1 一根旗杆在折断之前有24m，折断后旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处， 求旗杆断裂处离底部的高度． 解： 如图，设旗杆断裂处离底部AC为x m． 则AB=24−x． 在Rt△ABC中，由勾股定理得： x2+122=(24−x)2， 解得 x=9． 答：旗杆断裂处离底部为9 m． 8 【典型例题】 变式2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=1.5，BD=2.5， 求AC的长． 解：过D点作DE⊥AB，垂足为E，如图． 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE=2． 设AC=AE =x， 在Rt△ABC中，有x2+42=(x+2)2， 解得x=3．即AC=3． ∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，AD=AD， ∴△ACD≌△AED(AAS)． ∴DE=DC=1.5，AC=AE． 9 【典型例题】 变式3 如图，已知等腰△ABC的底边BC=20，D是腰AB上一点，且CD=16，BD=12，求△ABC的周长． 解：在△BCD中， ∵BD2+DC2=122+162=202=BC2， ∴CD⊥AB． 设AD=x，则AC=AB=12+x． 在Rt△ADC中，由勾股定理得： x 2+162= (12+ x )2，解得x = ． 故△ABC的周长为2AB+BC = ． 10 【典型例题】 变式4 如图，一梯子AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A到墙角O的距离AO=8米，若梯子的顶端A下滑2米，底端B恰好向右也滑行2米，求梯子AB的长． 解：如图，设BO=x米． 在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB2= 82+x2， 在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD2= 62+(x+2)2， ∵AB=CD， ∴82+x2=62+(x+2)2， 解得：x=6． ∴AB2= 82+62 =100，∴AB=10． 答：梯子AB的长为10米． 11 【典型例题】 变式5 如图，等腰三角形ABC的底边BC为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以1cm/s的速度移动．当动点P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直? 解： 如图，过点A作AD⊥BC，交BC于点D． ∵AB=AC，BC=8，∴BD=CD=4． ∴由勾股定理得：AD=3． 当点P运动x秒后有PA⊥AC时，则CP=8−x，PD=4−x． 由勾股定理得：AP2=PD2+AD2=PC2−AC2， 即(4−x)2+32=(8−x)2−52． 解得：x= ； 12 【典型例题】 变式5 如图，等腰三角形ABC的底边BC为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以1cm/s的速度移动．当动点P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直? 解： 如图，过点A作AD⊥BC，交BC于点D． ∵AB=AC，BC=8，∴BD=CD=4． ∴由勾股定理得：AD=3． 当点P运动x秒后有PA⊥AB时，则CP=8−x，PD=x−4． 由勾股定理得：AP2=PD2+AD2=PB2−AB2， 即(x−4)2+32=x2−52． 解得：x= ． 故当P运动 s或 s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直． 13 【典型例题】 例2 如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，求重叠部分△AFC的面积． 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B=90°，AB∥CD．∴∠DCA=∠FAC． ∵长方形沿AC折叠，∴∠DCA=∠FCA． ∴∠FAC=∠FCA，∴AF=CF． 设AF=CF=x，则BF=8−x． 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+BF2=CF2， 即42+（8−x）2=x2，解得：x=5，即AF=5． ∴S△ACF= AF•BC= ×5×4=10． 14 【题后小结】 解决这类折叠问题，首先抓住折叠变换是全等变换，折叠前后的对应边（角）大小不变；然后结合其他条件进行推理和转化；最后把所有条件集中到一个直角三角形中，用勾股定理列方程解得． 15 【典型例题】 变式1 如图，长方形纸片ABCD的长AB=9，宽AD=3，沿EF将其折叠，使点B与点D重合，求重叠部分△DEF的面积． 解：设AE=x， 由题意得：∠DEF=∠BEF=∠DFE， ∴DF=DE=BE=9−x． 在Rt△ADE中，由勾股定理得： 32+x2=(9−x)2，解得：x=4． ∴AE=4，∴DF=DE=5． ∴S△DEF= DF•AD= ×5×3=7.5． 16 【典型例题】 变式2 如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=10，将长方形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，求CE的长． 解：由题意得：AF=AD=BC=10． 在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF=6． 所以FC=BC−BF=10−6=4． 设CE=x，则EF=ED=8−x． 在Rt△CEF中，由勾股定理得：42+x2=(8−x)2． 解得x=3，即CE=3． 17 【典型例题】 变式3 如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=10，将长方形沿MN折叠，使点B落在CD边上的中点E处，求AM的长． 解一：如图，连接ME． 由折叠性质可知MF=MA，EF=AB=8． ∵点E是CD的中点，∴DE=4． 设AM=x，则DM=10−x． ∴在Rt△EFM中，有MF2+EF2=ME2， 在Rt△DEM中，有MD2+DE2=ME2， ∴MF2+EF2=MD2+DE2． 即 x2+82 = (10−x)2+42． 解得x= ，即AM= ． 18 【典型例题】 变式3 如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=10，将长方形沿MN折叠，使点B落在CD边上的中点E处，求AM的长． 解二：如图，连接MB、ME． 由折叠性质可知MB=ME． ∵点E是CD的中点，∴DE=4． 设AM=x，则DM=10−x， ∴在Rt△ABM中，有AM2+AB2=BM2， 在Rt△DEM中，有DM2+DE2=EM2， ∴AM2+AB2=DM2+DE2． 即x2+82=(10−x)2+42． 解得x= ，即AM= ． 19 【典型例题】 变式4 如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，且DF=6，求BE的长． 解：由题意得：∠AFE=∠B=90°，AF=AB=8，FE=BE． 在△ADF中，∵AF2+DF2=82+62=100=102=AD2， ∴∠AFD=90°．∴∠AFD+∠AFE=180°． ∴D、F、E在一条直线上． 设BE=x，则EF=x，DE=6+x，EC=10−x． 在Rt△DCE中，由勾股定理得： (10−x)2+82=(6+x)2． 解得x=4．∴BE=4． 20 【典型例题】 变式5 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．求证：BG=CG． 证明：连接AG，如图． 由题意得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，DE=EF． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=AF． 在Rt△ABG和Rt△AFG中， AG＝AG，AB＝AF， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．∴BG=FG． ∵CD=AB=6，DE=2，∴CE=4． 设BG=x，则CG=6−x，EG=x+2． 在Rt△CEG中，由勾股定理得： (6−x)2+42=(x+2)2， 解得x=3．∴BG=CG=3． 21 例3 如图，在△ABC中，已知：AB=13，BC=14，AC=15．求△ABC的面积． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2=132−x2； 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=152−(14−x)2． ∴132−x2=152−(14−x)2，解得x=5． ∴AD2=132−52=144，∴AD=12． 故S△ABC= BC×AD= ×14×12=84． 【典型例题】 解：过点A作BC的高，交BC于点D，如图， 设BD=x，则CD=14−x． 22 变式 如图，在△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面积． 在Rt△ABD中，根据勾股定理有：AD2=102−x2； 在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AD2=172−(x+9)2． ∴102−x2=172−(x+9)2，解得x=6．∴AD=8． 故S△ABC= BC×AD= ×9×8=36． 【典型例题】 解：过点A作BC的高，交CB的延长线于点D，如图， 设BD=x，则CD=x+9． 23 【题后小结】 如果题目中没有直角三角形，我们可以作高构造直角三角形，“化斜为直”将一般三角形问题转化为直角三角形的问题求解；在用勾股定理列方程时，需要注意选择合适的线段设为未知数，必要时可多次使用勾股定理． 24 【课堂总结】 1、勾股定理和勾股定理的逆定理： 2、直角三角形中，如果已知两边，则运用勾股定理通过“计算”求第三边． 3、直角三角形中，如果已知a，c±b或b，c±a，求b和c”问题，我们可以通过设未知数，运用勾股定理“列方程”来解决． 4、如果题目中没有直角三角形，我们可以作高构造直角三角形，“化斜为直”将一般三角形问题转化为直角三角形的问题求解． 25 谢谢！ 26 变式1 如图，在△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面积． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2=102−x2； 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2=92−(17−x)2． ∴102−x2=92−(17−x)2，解得x= ．∴BD= ． 故S△ABC= AC×BD= ×17× =36． 课下思考 解一：过点B作AC的高，交CA于点D，如图，设AD=x． 27 变式2 如图，在△ABC中，若AC=4，AB=5，BC=6，AD为高，AE为中线． 求DE的长． 解：设DE=x，则BD=3+x，CD=3−x． 在Rt△ABD中，根据勾股定理有：AD2=52−(3+x)2； 在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AD2=42−(3−x)2． ∴52−(3+x)2=42−(3−x)2． 解得x= ．即DE = ． 【典型例题】 28 $$