10.3 直线与平面间的位置关系（第2课时）（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.3 直线与平面间的位置关系（第2课时） 题型1：直线与平面的垂直的性质定理及有关综合辨析 1．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ． 推论1  过一点有且只有一个 与给定的直线垂直． 推论2  这一点有且只有一条 与给定的平面垂直． 【答案】 互相平行 平面 直线 【分析】略 【解析】略 2．已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，根据直线和平面的位置关系得到答案. 【解析】因为，， 当时，满足条件； 当时，. 综上所述：或. 故答案为：或 3．已知不重合的直线a，b和平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】通过空间想象，结合图形直观判断可知ABC错误；根据线面垂直性质定理可判断D. 【解析】若，，则有可能平行，有可能异面，A错误； 若，，则有可能相交、异面、平行，B错误； 若，，则有可能在平面内，C错误； 由线面垂直性质定理可知，D正确. 故选：D    4．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 【答案】a与b相交 【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案. 【解析】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交. 故答案为：a与b相交 5．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M； ③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b 其中正确命题有 （填序号） 【答案】④ 【分析】对于①②③：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取特殊的平面和直线否定结论 对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明. 【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 对于①：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b， 满足a∥M，b∥M，但是a、b不平行.故①不正确； 对于②：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b， 满足bM，a∥b，但是aM.故②不正确； 对于③：取直线为直线a，直线为直线c，直线为直线b,满足 a⊥c，b⊥c，但是a、b不平行.故③不正确； 对于④：因为a⊥M，b⊥M，由线面垂直的性质定理可得：a∥b. 故④正确. 故答案为：④. 6．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥. 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的编号） 【答案】④ 【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可 【解析】解：对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误； 对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误； 对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误； 对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的， 故答案为：④ 【点睛】此题考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题 题型2：直线与平面的垂直的性质定理的解答证明 7．已知直线a、b和平面，若，，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用反正法，根据线面垂直的性质证明即可. 【解析】假设不平行， 取上不同于垂足B的一点A, 过A作，设，连接BC，如图，    则相交直线可确定一个平面ABC，且， ，，， 又，，在平面ABC内， ，这与矛盾， 故假设错误，所以. 8．如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．    【答案】6 【分析】先证四边形是平行四边形，进而可以得到，从而求出结果. 【解析】因为平面，平面，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形． 所以． 故答案为：6. 9．如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 【答案】见解析. 【分析】根据线面垂直的性质可得. 【解析】由长方体可得：, ，平面， 因为平面，故. 【点睛】本题考查线面垂直的性质即垂直于同一平面的两条直线是平行的，属于容易题. 10．如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．    求证：. 【答案】证明见详解. 【分析】连接，，，，根据线面垂直的判定定理，证明平面，推出；同理得到，推出平面；再证明平面；即可得出结论成立. 【解析】连接，，，， 因为在正方体中，平面，平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面，因此； 同理可证：， 又，平面，平面， 所以平面； 因为与异面直线、都垂直相交， 即，， 又在正方体中，与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，因此， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面； 因此.    【点睛】本题主要考查证明线线平行，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 题型3：直线与平面的垂直的判定定理 11．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【解析】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确； 对于②，如果，则结论不成立，错误； 对于③，如图：   ，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误； 对于④，，又，正确； 故答案为：①④. 12．给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（    ） A．充分条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理即可判定二者间的逻辑关系. 【解析】由直线l与平面内无数条直线垂直，可得l与平面相交或或； 由直线l与平面垂直，可得直线l与平面内任意一条直线垂直. 则“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件. 故选：C 13．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 14．给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中正确的命题共有 个． 【答案】2 【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解析】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，所以①不正确； ②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，所以②正确； ③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确； ④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确. 故答案为：2. 题型4：证明直线与平面的垂直 15．如图，在正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证； （2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可； 【解析】（1）连接，∵是正方体，，， ∵，分别是，的中点，∴，. ∴是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由（1）得，∵是正方体. ∴平面，∴，∴， ∵是正方体，∴是正方体， ∴，∴， ∵平面，平面，， ∴平面. 【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题 16．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得、，再由线面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案. 【解析】由且， 可得，所以， 又由为的中点，所以， 因为为的中点，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以，所以平面． 17．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作平面于点I，作于点G，于点K，连接，需证明I在上，再证明，结合，根据线面垂直的判定定理即可证明结论. 【解析】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形， 连接，交于O点，则O为的中点，连接， 因为E为的中点，故, 因为平面，平面， 故平面； （2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K， 连接， 因为，,故≌, 所以, ∵平面，平面，∴, 故≌,故, 又平面，平面,故,又， 平面,故平面， 平面，故,同理可证,结合， 可知I在的平分线上，即I在上，则平面， 而平面，平面,故, 又底面是菱形，则 , 平面，故平面. 18．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知 ，求点到的距离. 【答案】 【分析】过作于，连接，面，得出OP到直线BD的高，然后计算即可. 【解析】 过作于，连接， 直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面 ，为所求的距离， 在中， , 在中，, 19．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答； （2）通过证明面可得答案. 【解析】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点， ，又面ABCD，面ABCD， 平面； （2）底面是正方形， ， 又底面，面ABCD， ，面，面， 面，又面， . 题型5：三垂线定理 20．已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明． 【答案】答案见解析 【分析】按照定理内容转化成符合语言再证明即可. 【解析】解：已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 如图所示：若，是垂足，斜线，，，证明． 证明：，， ， ， 又，都在平面内， 平面， 平面， ． 21．已知，如图是平面外一点，是平面的斜线，交于点，过点作平面的垂线，垂足是，直线是在平面上的投影．求证：对平面上任一直线，是的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理分别证明充分性和必要性即可． 【解析】证明：充分性：，，， 又，，平面， 平面， 又平面， ， 必要性：，，， 又，，平面， 平面， 又平面， ， 综上，对平面上任一直线，是的充要条件． 题型6：直线与平面平行的判定与性质综合、点到平面的距离 22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，证得，即可得证. 【解析】（1）    连接，交于点，连接， ∵是正方形对角线交点，∴为的中点， 由已知为线段的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2），为线段的中点，， ∵平面，平面，， 在正方形中，，又，平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面； 23．如图，已知正方体的棱长为. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得、，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，利用等体积法即可求解. 【解析】（1）如图，连接，因为平面，平面,则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面. （2）由为的中点，得， 且， 所以， 由，得， 即，解得， 即点到平面的距离为. 24．如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出，再利用等体积法求解即得. 【解析】（1）在直三棱柱中，由，是的中点，得， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，而，平面， 所以平面. （2）在矩形中，由（1）知，，， 于是直角与直角相似，则，即， 因此，，，， ，， 设点到平面的距离为，由，得， ，解得， 所以点到平面的距离为. 25．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，由题意可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，先证，进而，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，由直角三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知且， 又，所以为的中点，因为， 所以为等腰三角形，则，又， 所以，连接，则， 又平面， 所以平面，而平面， 则. 因为，，所以，即， 又平面， 所以平面. 26．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段AD的三等分点，平面AEC外一点满足平面． (1)证明:; (2)求点到平面FED的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质证明，从而可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）利用等体积法求解即可. 【解析】（1）∵点为的中点，且为直径， ∴， ∵平面，平面，∴， 又平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）∵平面，且平面，∴， 又∵，∴， ∴， ∵平面，平面，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴点到平面的距离. 一、填空题 1．已知平面，四边形是平行四边形，若，则平行四边形一定是 ． 【答案】菱形 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，可得，从而可得出结论. 【解析】解：因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以平行四边形一定是菱形. 故答案为：菱形. 2．过三角形所在平面外一点，作，垂足为，若，且，则点是边的 点． 【答案】中 【分析】分析出，，，利用勾股定理可得出，可得出为的外心，再由可得出结论. 【解析】因为，、、，则，，， 因为，，，， 所以，，所以，为的外心， 因为，则的外心为的中点. 故答案为：中. 3．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为 . 【答案】 【分析】要求点P到直线BD的距离，需要作出P到直线BD的高，然后计算即可. 【解析】 过作于，连接， 直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面 .为所求的距离， 在中， , 在中，, 故答案为： 4．如图，在正方体中，M、N、P分别是、和AB的中点，则下列关系： ①BM⊥AB； ②BM∥平面； ③； ④⊥平面， 正确的编号为 ． 【答案】①②④ 【分析】①，由AB⊥面，得AB⊥BM，； ②，取的中点O，可得PO∥BM⇒BM∥面； ③，若，可得BM⊥面，与已知矛盾； ④，取中点，可得面，，即可得平面 【解析】对于①，∵AB⊥面，BM⊂面，∴AB⊥BM，故正确； 对于②，如图1，取A1C1的中点O，连接，又为中点，, 且,为中点，,，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， 所以，面，面，面，故正确； 对于③，若，由①知AB⊥BM，即, ，且面，BM⊥面，面 ，显然与已知矛盾，故错误； 对于④，如图2，取中点H， 根据平面几何关系，，所以 ，，得到， 为中点，故得面，面， 面，所以面, 而面，所以 正方体中，，面，面 ，又，面， 所以面， 而面，所以，面 所以面，故正确 故答案为：①②④. 5．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）． ①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD. 【答案】①②④ 【分析】连接MN交AE于点P， 对于①，根据面面平行的判定和性质可判断； 对于②，根据线面垂直的判定和性质可判断； 对于③，由NP∥AB可得不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB； 对于④，由在折起的过程中，根据线面垂直的判定和性质可判断． 【解析】解：连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB， ∵AB∥CD，∴NP∥CD. 对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确； 对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确； 对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确； 对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确． 故答案为：①②④. 二、单选题 6．如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面垂直的性质即可判断作答. 【解析】依题意，，，则，即都是直角三角形， 又，则，而，，平面，因此，平面， 平面，即，又AD是的斜边上的高，点D与B，C都不重合， 于是得都是直角三角形， 所以给定图中共有8个直角三角形. 故选：D 7．在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】D 【分析】根据正方体的线面关系证明平面，来验证命题①；求证平面，来验证命题②即可得结论. 【解析】对于①，如图，连接    在正方体中，有正方形，所以， 又，所以四边形为平行四边形，故确定唯一的平面， 又平面，平面，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确； 对于②，如图，连接交于，连接      由①得平面，又，所以四边形为平行四边形，所以，则平面， 因为平面，所以 又因为正方形，所以，又平面，平面，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面，又平面，所以 于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确. 故选：D. 三、解答题 8．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC． 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面，进而证明出，同理证明出，从而证明出平面PBC． 【解析】证明：如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE． ∵平面ABC，BC平面ABC，∴， ∵（由于O是的垂心），，∴平面 ∵平面，∴ 因为为的垂心，∴点Q在PE上． ∵平面，平面，∴① 连接BO并延长交AC于点F，则． 连接BQ并延长交PC于点M，则．连接MF． ∵平面ABC，平面ABC，∴ ∵，，∴平面 ∵平面，∴． ∴而，∴平面，而平面，∴② ∵，由①②知：平面PBC． 9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面. （1）当为何值时，平面？证明你的结论； （2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围. 【答案】（1），证明见详解；（2） 【分析】（1）要证平面，只需证垂直于平面内的两条相交直线，由题意可知，则只需证明，只有当四边形为正方形时满足. （2）由题意可知，若存在点，使，则平面，即，则点应是以为直径的圆和边的一个公共点，即半径，求解即可. 【解析】（1）当时，四边形为正方形，则. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，平面 所以平面. 故当时，平面. （2）设是符合条件的边上的点. 因为平面，平面 所以， 又，，平面，平面 所以平面， 因为平面， 所以. 因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点. 则半径， 即. 所以. 【点睛】本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数，属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 直线与平面间的位置关系（第2课时） 题型1：直线与平面的垂直的性质定理及有关综合辨析 1．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ． 推论1  过一点有且只有一个 与给定的直线垂直． 推论2  这一点有且只有一条 与给定的平面垂直． 2．已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是 ． 3．已知不重合的直线a，b和平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 5．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M； ③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b 其中正确命题有 （填序号） 6．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥. 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的编号） 题型2：直线与平面的垂直的性质定理的解答证明 7．已知直线a、b和平面，若，，求证：． 8．如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．    9．如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 10．如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．    求证：. 题型3：直线与平面的垂直的判定定理 11．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 12．给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（    ） A．充分条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 13．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 14．给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中正确的命题共有 个． 题型4：证明直线与平面的垂直 15．如图，在正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 17．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 18．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知 ，求点到的距离. 19．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型5：三垂线定理 20．已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明． 21．已知，如图是平面外一点，是平面的斜线，交于点，过点作平面的垂线，垂足是，直线是在平面上的投影．求证：对平面上任一直线，是的充要条件． 题型6：直线与平面平行的判定与性质综合、点到平面的距离 22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 23．如图，已知正方体的棱长为. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 24．如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 25．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 26．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段AD的三等分点，平面AEC外一点满足平面． (1)证明:; (2)求点到平面FED的距离． 一、填空题 1．已知平面，四边形是平行四边形，若，则平行四边形一定是 ． 2．过三角形所在平面外一点，作，垂足为，若，且，则点是边的 点． 3．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为 . 4．如图，在正方体中，M、N、P分别是、和AB的中点，则下列关系： ①BM⊥AB； ②BM∥平面； ③； ④⊥平面， 正确的编号为 ． 5．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）． ①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD. 二、单选题 6．如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 7．在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 三、解答题 8．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC． 9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面. （1）当为何值时，平面？证明你的结论； （2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$