1.2 常用逻辑概念（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.2常用逻辑概念 沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.2.1命题 在初中时已经知道，把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题(proposition).命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如，“4能被2整除”是真命题，“3能被2整除”是假命题. 复习引入 例1 下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?为什么?(1)个位数字是5的自然数能被5整除.(2)凡直角三角形都相似(3)请起立.(4)若两个角互为补角，则这两个角不相等.(5)若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形全等.(6)你是高一学生吗?(7)x>3. 解: (3)(6)(7)不是命题；(1)(2)(4)(5)是命题，其中(1)(5)是真命题，(2)(4)是假命题.(1)这是一个真命题.因为个位数字是5的自然数可写成10k+5的形式(k∈N),而10k+5=5(2k+1),它总能被5整除，所以个位数字是5的自然数能被5整除.(2)三个角分别为90°、45°、45°的直角三角形与三个角分别为90°、60°、30°的直角三角形是不相似的，所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题.(3)“请起立”无法判定真假，它不是一个命题.(4)取一个角为90°,另一个角也为90°,它们是互补的，同时它们也是相等的.所以“若两个角互为补角，则这两个角不相等”是一个假命题.(5)这是一个真命题，它是两个三角形全等的一个判定定理，在初中时已经学过其证明.(6)因为“你是高一学生吗?”不是陈述句，无法判断其真假，所以它不是命题.(7)虽然“x>3”是陈述句，但是它包含一个可变的对象x,无法判断其真假，因此它不是命题.当x被赋予不同的数时，它就成为不同的命题.例如当x=4时，“x>3”是真命题；当x=1时，“x>3”是假命题. 例1中的命题(4)与(5)具有“若α,则β”的形式.在保持含义不变的前提下，例1中的命题(1)与(2)也可改写为这种形式：若一个自然数的个位数字是5,则这个自然数能被5整除；若两个三角形都是直角三角形，则它们相似. 在形如 “若α,则β”的命题中，陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论. 命题“若α,则β”是真命题，是指对所有的满足条件α的对象都满足结论β.用集合的语言描述即是 {x|x满足α}⊆{x|x满足β}.所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明，如例1中的(1)与(5). 1 ．已知命题“如果 x = 1 ，那么 x > a ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 . 2 . α : x < 1 ， β : x < 3a - 2 ，且若α 则 β是真命题，求实 数 a 的取值范围是 . a < 1 a ≥ 1 练一练 命题“若α,则β”是假命题，是指存在满足条件α的对象，它不满足结论β.所以，要确定这类命题是假命题，可用处理例1中(2)与(4)的方法，举一个满足条件α而不满足结论β的例子就可以了. 定义 如果命题“若α,则β”是真命题，那么我们就称α推出β,记作α⟹ β(或β⟸ α).因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若α⟹ β且β⟹ y,则α⟹ y.它是证明和逻辑推理的基础. 例2 将下列命题改写成“若α,则β”的形式，并判断“α⟹ β”是否成立?(1)等腰三角形的两底角相等；(2)凡是素数都是奇数； 解: (1)若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等.这是一个真命题，在初中时已学过其证明.所以“α⟹ β”成立.(2)若n是素数，则n是奇数.这是一个假命题，因为2是素数，但它是偶数.所以“α⟹ β”不成立.(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等.这是一个真命题，在初中时已学过其证明.所以“α⟹ β”成立. 1．把下列命题改写成“若α , 则 β”的形式： （1） a > 0 ，函数 y = ax + b 的值随x 值的 增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点. 解：（1）a > 0 时，若x 的值增加，则函数y = ax + b 的值也随着增加. （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心， 则必过两圆的切点. 2．已知命题p:方程x2 + 4x + m —1 = 0 有两个不等的负根；命题 q:方程4x2 + 4x + m — 2 = 0无实根. （1）若p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）若p，q 两命题一真一假，求 m的取值范围； 【答案】（1） (1, 5) ；（2） (1, 3] [5, +∞) 沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.2.2充分条件与必要条件 我们先看一个校园生活的例子.“三好学生”是指德智体全面发展的学生.所以一个“三好学生”的学习成绩一定很出色；但学习成绩好的学生不一定是个“三好学生”,因为可能他的思想品德或身体素质等不是很好.也就是说，“成绩好”对于称为“三好学生”是不可缺少的，但只有“成绩好”还不够. 定义 对于两个陈述句α与β,如果α⟹ β,就称α是β的充分条件(sufficient condition),或称β是α的必要条件(necessary condition). 由例2知道，“一个三角形是等腰三角形”是“一个三角形有两个角相等”的充分条件，“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分条件，而“一个数是素数”不是“一个数是奇数”的充分条件。 推论：若命题为真命题，则命题中的条件p是结论q的充分条件；结论q是条件p的必要条件. 例3 判断下列“若p，则q”形式命题中，哪些命题中的p是q的充分条件. （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则当x的值增大时，y的值减少； （4）若当x为无理数时，则x2为无理数. 是 是 是 不是，如当 时，x2=3是有理数. 根据命题的逻辑关系，求解充分、必要条件. 1.设命题 ，则q成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 2.命题 的必要条件是（ ） A. B. C. D. A D 解：1.因为 ，所以 ，根据充分条件的定义可知，若p是q的充分条件，则 ，根据选项可得，答案为A； 2.因为 ，所以 或 ，根据必要条件的定义可知，若q是p的必要条件，则 ，根据选项可得，答案为D. 练一练 例4 判断下列两组中的α分别是β的什么条件，并说明理由. (1)α:四边形ABCD是正方形，β:四边形ABCD的四个内角都是直角； (2)α:x²是有理数，β:x是有理数. 解：(1)因为正方形的四个内角都是直角，所以命题“若α,则β”是真命题，α是β的充分条件.反之，因为四个内角都是直角的四边形也可以是长宽不等的矩形，所以命题“若β,则α”是假命题，α不是β的必要条件.(2)因为有理数 (r、s∈Z) 的平方 必是一个有理数，所以 “若β,则α”是真命题，α是β的必要条件.反之，因为(√2)²=2是有理数，但√2是无理数，所以“若α,则β”是假命题，α不是β的充分条件. 对于两个陈述句α与β,如果既有α⟹ β,又有β⟹ α,我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作α⇔β,读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”. 名师点拨(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)要证明（或判断）p是不是q的充要条件，需要进行两次证明：一证：p能否推出q（证充分性），二证：q能否推出p（证必要性）.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 证明：“ x = 1 是方程ax2 + bx + c = 0的实数根”的充要条件是“ a + b + c = 0 ” . 证明：①充分性，当a +b + c = 0 时，c = -a -b ， 代入方程ax2 + bx + c = 0 ，得 ax2 + bx - a -b = (ax + a +b)(x -1) = 0 ，解得x = 1 ，充分性成 立， ②必要性，当x =1 时，代入方程ax2 + bx + c = 0 ，则 a + b + c = 0 ，必要性成立， 综上，x = 1 是方程ax2 + bx + c = 0 的实数根的充要条件是 a +b + c = 0 . 练一练 课堂练习 沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.2.3 反证法 数学家哈代曾经说过：“反证法是数学家最好的武器之一”.在这小节我们学习如何用反证法证明一些命题. 在前面已经提到，要判断命题“若α,则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了. 但是要判断命题“若α,则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β.但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 例5 设n∈Z.证明：若n²是偶数，则n也是偶数. 证明：假设结论“n是偶数”不成立，即假设n是奇数.由n是奇数，可设n=2k+1,k∈Z.因为n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=4(k²+k)+1,这说明n²是奇数，与已知条件n²是偶数矛盾.所以一开始的假设不成立，即n是偶数. 上例的证明方法与以前的证明方法不同.它首先假设结论β不成立(β为假),然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或(已学)定理等相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的.这样的证明方法叫反证法. 应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论.这一步是十分关键的.只有这步表述得对了，接下来的逻辑推理才有意义. 陈述句β β的否定形式 x>5或x<1 x≤5且x≥1 至少有2个 最多有1个 所有的a∈A满足性质α 至少存在一个a∈A不满足性质α 所有的a∈A不满足性质α 至少存在一个a∈A满足性质α 表1-2 一些常用的否定形式 例6 已知x、y∈R.证明：若x+y>2,则x>1或y>1. 证明： 用反证法证明.假设x≤1且y≤1,则x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.所以假设不成立，即x>1或y>1.上述两个例子证明的都是“若α,则β”的命题. 分析 用反证法证明.假设结论“x>1或y>1”不成立，即“x与y中至少有一个大于1”不成立，也就是“x与y两个数都小于或等于1”.于是我们可假设x≤1且y≤1. 例7 证明：√2是无理数. 证明 ：用反证法证明.假设√2是有理数.则可设√2= ,其中m与n是互素的正整数，于是m=√2n.两边平方，得m²=2n².所以m²是偶数.由例5知m也是偶数.于是可设m=2k,k∈N.将其代入m²=2n²,得2n²=4k²,即n²=2k²,故n²是偶数.再根据例5知n也是偶数.于是m、n有公因子2,这与m、n互素的假设矛盾.所以假设不成立，即√2是无理数. 1. 用反证法证明命题：“已知x2 + y2 ≤ 1，则 | x |≤ 1且 | y| ≤ 1 ”时，应假设 . | x | > 1 或 | y | ＞1 课堂练习 2 ．设 n ∈ Z ．用反证法证明：若 n3 是奇数，则 n 是奇数. 则 n3 = 8k3 ，因为k ∈ Z ，所以k3 ∈ Z ，则8k3 是偶数，即 n3 为偶数， 证明：假设 n 不是奇数，则 n 是偶数，设 n = 2k, k ∈ Z ， 这与题设 n3 为奇数矛盾，所以假设不成立，即 n 是奇 数. 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING eq \a\vs4\al( ) 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，qeq \o(⇒,\s\up0(/)) p，则p是q的充分不必要条件； 若peq \o(⇒,\s\up0(/))q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若peq \o(⇒,\s\up0(/))q，qeq \o(⇒,\s\up0(/)) p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件．　 　 1．已知条件p：－1<x<1，条件q：x≥－2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A. 2．“x>a”是“x>|a|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若a≥0，由x>|a|得x>a，若a<0，则由x>|a|得x>－a，此时x>－a>a成立，即必要性成立，当a<0时，不妨设a＝－1，则由x>－1，不一定推出x>|－1|，即充分性不成立，则“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选B. 3．“x<2”是“eq \f(1,x－2)<0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由eq \f(1,x－2)<0得x－2<0得x<2，即“x<2”是“eq \f(1,x－2)<0”的充要条件，故选A. $$