1.2 常用逻辑用语（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

1.2常用逻辑用语 题型1：命题及判断其真假 1．下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【分析】根据命题的概念即得. 【解析】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 3．下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）； （5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． 【答案】（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 【解析】根据命题的定义进行判断，再对命题进行真假判断即可. 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 【点睛】本题考查了命题的判断，考查了命题真假的判断，属于基础题. 4．判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 【分析】根据命题的定义逐项分析判断. 【解析】（1）当时，则恒成立， 所以方程有实根，是真命题． （2）例如，满足，但不成立，故是假命题． （3）对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题． 题型2：逆否命题及其真假的联系 5．写出下面两个的相关命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）命题：若，则. 逆命题：_______________________________________________________（        ） 逆否命题：_____________________________________________________（        ） （2）命题：设是实数，如果，那么有实数根． 否命题：_______________________________________________________（        ） 逆否命题：_____________________________________________________（        ） 【答案】（1）若，则；真命题；若，则：假命题 （2）设是实数，如果，那么没有实数根；假命题；设是实数，如果没有实数根，则；真命题 【分析】根据原命题直接写出其它几种命题，并判断真贱. 【解析】（1）命题：若，则. 逆命题：若，则，是真命题； 逆否命题：若，则，是假命题. （2）命题：设是实数，如果，那么有实数根． 否命题：设是实数，如果，那么没有实数根,是假命题， 逆否命题：设是实数，如果没有实数根，则，是真命题. 【点睛】本题考查四种命题间的关系及真假的判断，考查推理能力，属于简单题目. 6．写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假． 【答案】逆命题：若，则．（假命题） 否命题：，则．（假命题） 逆否命题：若，则．（假命题） 【分析】根据原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的关系直接写结果，再举例说明假命题. 【解析】因为命题“若，则”的逆命题为“若，则”； 否命题为“若，则”； 逆否命题为“若，则”； 所以 “若，则”的逆命题为：若，则；否命题：，则；逆否命题：若，则． 因为时，所以逆命题为假命题； 因为时，所以否命题为假命题； 因为时，所以逆否命题为假命题； 【点睛】本题考查四种命题关系、判断命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．写出命题“若方程的两根均大于，则”的一个等价命题是 . 【答案】若，则方程的两根不全大于. 【解析】本题利用原命题与逆否命题是等价命题求解，根据原命题为若，则，逆否命题为若，则的形式即可写出答案. 【解析】原命题与逆否命题是等价命题， 命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是“若，则方程的两根不全大于”. 故答案为：若，则方程的两根不全大于. 题型3：根据命题真假求参数范围 8．命题“若，则”的逆命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出命题“若，则”的逆命题，再写出逆命题的逆否命题即得解. 【解析】命题“若，则”的逆命题是“，则”, 命题“，则”的逆否命题是“，则” 由题得“，则”是真命题. 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 9．命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为 . 【答案】2 【分析】利用原命题和逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断，可得答案． 【解析】命题“若，则”为真，且它的逆否命题为真 命题“若，则”的逆命题为“若，则”为假，且它的逆命题为假 真命题的个数为个 故答案为： 【点睛】本题考查四种命题，考查判断命题的真假，属于基础题． 10．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解析】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 11．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 12．若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到方程有实数根，分与两种情况，结合根的判别式求出答案. 【解析】根据题意：方程有实数根， 当时，，解得：，满足题意； 当时，，解得：，故且， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【解析】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 题型4：充分条件与必要条件 14．在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来. (1)：实数满足，： 或 (2)：，：或（为全集） (3)：，： (4)：，： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据一元二次方程的解判断的关系； （2）根据交集的概念，判断的关系； （3）根据子集、交集的概念，判断的关系； （4）根据实数性质，判断的关系. 【解析】（1）因为当时必有或，所以； 另一方面，当或时，一定有，所以．因此． （2）当时，有且，所以， 又，，则，所以不能推出，即． （3）因为，所以． （4）因为当时必有或，所以； 另一方面，当时，一定有，所以．因此． 15．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【分析】（1）（2）（3）（4）根据，的关系逐一求解. 【解析】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 16．试用子集与推出关系说明是的什么条件. （1），； （2）是非零自然数，是正整数； （3），； （4），； （5）使得关于的方程有唯一实根的实数，. 【答案】（1）充分非必要；（2）充要；（3）必要非充分；（4）充分非必要；（5）必要非充分 【分析】先确定每个小题的集合元素，再确定集合之间关系，逐一判断即可. 【解析】解：（1）或，是的真子集，故是的充分非必要条件； （2）是非零自然数与是正整数完全等价，，故是的充要条件； （3），是的真子集，故是的必要非充分条件； （4）或，是的真子集，故是的充分非必要条件；； （5）对于使得关于的方程有唯一实根的实数， 时，，符合题意； 时，，符合题意； 是的真子集，故是的必要非充分条件. 【点睛】考查四种条件的判断，需用子集与推出关系说明两个命题的关系；基础题. 题型5：充分条件与必要条件的综合判定 17．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 18．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果. 【解析】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个， 则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 19．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【解析】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 20．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解析】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 题型6：逻辑推理，充分条件与必要条件的传递性 21．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【解析】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件. 故选:A. 22．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件. 【答案】必要非充分 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】由题意，，但，所以，是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 23．已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 【答案】 必要 必要 必要 【分析】根据充分、必要条件的定义判断可得答案. 【解析】是的必要条件，则，是的充分条件，则， 是的充分条件，，所以， 则是的必要条件，是的必要条件，是的必要条件. 故答案为：①必要；②必要；③必要. 24．已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，甲的年龄大于乙的年龄，易判断“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件. 【解析】若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄， 所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立． 故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件． 故选：C. 题型7：证明充要条件 25．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论； （2）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论. 【解析】（1）该命题是假命题.理由如下， 充分性：当时，，充分性成立， 必要性：由，得，，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，故该命题是假命题. （2）该命题是真命题.理由如下， 充分性：若，则，充分性成立， 必要性：若，则，必要性成立. 故该命题是真命题. 26．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】结合判别式、根与系数关系，先证得充分性，然后证得必要性. 【解析】①充分性： 因为， 所以方程的判别式，且两根积， 所以方程有两个同号且不相等的实根. ②必要性： 若方程有两个同号且不相等的实根， 设两根为， 则有，解得. 综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证. 27．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明详见解析. 【分析】先证充分性，由条件去推结论成立，然后再证必要性，由结论去推条件成立即可. 【解析】证明：（1）充分性（条件结论） 因为，， 所以成立； （2）必要性（结论条件） 因为，且， 所以 而，又，所以， 所以，所以成立， 综上：的充要条件是. 【点睛】本题考查了充要条件的证明，即证充分性，又证必要性，属于基础题. 题型8：根据充要条件求参数 28．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析求解. 【解析】由题意可知：是的真子集， 可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 29．若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【解析】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 30．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【解析】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 31．设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果. 【解析】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 32．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【解析】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 题型9：反证法 33．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【答案】至少有两个钝角 【分析】根据反证法思想作答． 【解析】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 34．用反证法证明命题“或”时要做的假设是 ． 【答案】“且” 【分析】根据题意，由反证法的证明方法即可得到结果. 【解析】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“且”. 故答案为：“且” 35．用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是 ． 【答案】假设，方程与都没有实根. 【分析】根据反证法假设方程都没有根. 【解析】用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是 假设，方程与都没有实根. 故答案为：假设，方程与都没有实根. 题型10：命题的否定 36．陈述句“或”的否定形式是 ． 【答案】且 【分析】根据命题的否定即可得到结论. 【解析】命题“或”的否定形式为“且”. 故答案为：且. 37．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 【答案】“有些自然数不是整数” 【分析】由全称命题的否定的定义即可得解. 【解析】“所有自然数都是整数”的否定为“有些自然数不是整数”. 故答案为：“有些自然数不是整数”. 38．命题“对任意一个实数，都有”的否定是（    ） A．存在实数，使得 B．对任意一个实数，都有 C．存在实数，使得 D．对任意一个实数，都有 【答案】A 【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可. 【解析】命题“对任意一个实数,都有”的否定是：存在实数，使得. 故选：A. 39．已知为一个非空数集，语句：“任意的，”的否定形式是 . 【答案】存在，． 【分析】根据命题的否定的定义求解． 【解析】命题的否定只要否定结论，同时存在题词与全称量词互换． “任意的，”的否定形式是：存在，． 故答案为：存在，． 题型11：用反证法证明 40．证明：是无理数. 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法证明即可. 【解析】假设是有理数， 因为，所以不是整数， 则不妨设（、为互质正整数）， 从而，所以， 因为是的倍数，所以是的倍数， 又是正整数，所以是的倍数， 设是正整数），则，则， 因为是的倍数，所以是的倍数， 又是正整数，所以也是的倍数， 这样，，就不是互质的正整数， 与假设矛盾，所以不可能（、为互质正整数）， 所以是无理数． 41．已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件利用反证法证明命题的步骤和方法直接证明即可. 【解析】假设a、b中没有一个大于等于0，即，，则有， 又，，，则， 这与假设所得结论矛盾，因此，假设不成立， 所以，a、b中至少有一个大于等于0. 42．已知集合，，且．用反证法证明． 【答案】证明见解析 【分析】求出集合A，假设，可得矛盾. 【解析】由，解得或3，所以， 假设，则必有，与矛盾，所以假设错误，所以． 一、填空题 1．已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 【答案】充要 【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【解析】由，则，故，充分性成立； 由，则，故，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 2．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据充分条件，必要条件和集合之间的关系等价法，即可求出. 【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集． 当，即时，，解得，又因为，所以； 当时，，显然是 的真子集． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 3．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【解析】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 4．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【解析】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 5．已知，均为正数，并且，给出下列四个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中小于2的数最多只有两个； ③中最大的数不小于2022； ④中最小的数不小于． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】对于①②③，用反证法可以证明；对于④，举出反例说明其错误. 【解析】对于①,假设存在两个小于1的正数,不妨设, 则,则, 这与矛盾, 故中小于1的数最多只有一个, ①正确; 对于②, 假设存在3个小于2的正数,不妨设, 则, 则，这与矛盾, 故中小于2的数最多只有两个, ②正确; 对于③,假设, 则, 则与矛盾, 故中最大的数不小于2022, ③正确; 对于④,不妨假设中最小数为,取, 则取, 则, 即说明中最小的数可以小于,④错误, 故答案为:①②③ 【点睛】方法点睛：对于关于最多或最少类命题的解决方法，一般可采用反证法；对于多个数中的最大数或最小数的范围判断问题，可以用反证法说明反面不成立，证明原命题成立，也可以举反例说明命题不成立. 二、单选题 6．已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可. 【解析】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 故选：C. 7．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 三、解答题 8．已知非空集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果. （2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果. 【解析】（1）方法一：当时，， 所以或． 因为， 所以或， 所以或． 方法二：当时，， 故， 所以或． （2）因为是成立的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，或 解得或， 综上，实数a的取值范围是． 9．设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 【答案】证明见解析 【分析】首先用反证法的思想证明在某个集合中有0，不妨设，则对任意，有，所以包含于，对于任意，有，所以包含于，所以. 【解析】由,，则，故，则三个集合中都有非负整数， 若三个集合都没有0，则取中最小的正整数a， 不妨设，取中的最小正整数b，不妨设，这时， （否则b不可能大于a，只能等于a，所以，矛盾）； 但是，这样就导致，且，与b为中的最小正整数矛盾． ∴三个集合中必有一个集合含有0． ∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设，则，有， ∴包含于，对于任意，有， ∴包含于，则． 综上所述，这三个集合中必有两个集合相等． 10．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解； （2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明. 【解析】（1）令，满足， 当时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点. 11．已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【解析】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2常用逻辑用语 题型1：命题及判断其真假 1．下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 3．下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）； （5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． 4．判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 题型2：逆否命题及其真假的联系 5．写出下面两个的相关命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）命题：若，则. 逆命题：_______________________________________________________（        ） 逆否命题：_____________________________________________________（        ） （2）命题：设是实数，如果，那么有实数根． 否命题：_______________________________________________________（        ） 逆否命题：_____________________________________________________（        ） 6．写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假． 7．写出命题“若方程的两根均大于，则”的一个等价命题是 . 题型3：根据命题真假求参数范围 8．命题“若，则”的逆命题是真命题，则的取值范围是 . 9．命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为 . 10．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 11．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 12．若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是 ． 13．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 题型4：充分条件与必要条件 14．在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来. (1)：实数满足，： 或 (2)：，：或（为全集） (3)：，： (4)：，： 15．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 16．试用子集与推出关系说明是的什么条件. （1），； （2）是非零自然数，是正整数； （3），； （4），； （5）使得关于的方程有唯一实根的实数，. 题型5：充分条件与必要条件的综合判定 17．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 18．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6：逻辑推理，充分条件与必要条件的传递性 21．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件. 23．已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 24．已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7：证明充要条件 25．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 26．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 27．已知，求证：的充要条件是. 题型8：根据充要条件求参数 28．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 29．若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 30．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 31．设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是 32．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 题型9：反证法 33．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 34．用反证法证明命题“或”时要做的假设是 ． 35．用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是 ． 题型10：命题的否定 36．陈述句“或”的否定形式是 ． 37．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 38．命题“对任意一个实数，都有”的否定是（    ） A．存在实数，使得 B．对任意一个实数，都有 C．存在实数，使得 D．对任意一个实数，都有 39．已知为一个非空数集，语句：“任意的，”的否定形式是 . 题型11：用反证法证明 40．证明：是无理数. 41．已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0． 42．已知集合，，且．用反证法证明． 一、填空题 1．已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）． 2．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 3．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 4．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 5．已知，均为正数，并且，给出下列四个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中小于2的数最多只有两个； ③中最大的数不小于2022； ④中最小的数不小于． 其中所有正确结论的序号为 ． 二、单选题 6．已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 8．已知非空集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 9．设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 10．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 11．已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$