垂直的判定与性质讲义-2025届高三数学一轮复习

2025届高考一轮复习：垂直的判定与性质 知识点一 线面垂直的判定与性质 【基础指数框架】 1.线线垂直的判定 (1)等腰三角形中线 (2)勾股逆定理 (3)菱形对角线 (4)矩形邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 判定 性质 图形表示 数学语言表示 图形表示 数学语言表示 线 面 垂 直 【例题分析】 考向一 利用特殊平行四边形的性质证垂直 1．（2022·上海闵行·二模·节选）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点． (1)求证：平面PAD； 考向二 利用等腰三角形的性质证垂直 例2.如图，在三棱锥中，，，，．求证：； A C B P 考向三 利用勾股逆定理证垂直 3．（2024·山东枣庄·模拟预测·节选）如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． (1)证明：平面； 考向四 利用圆直径所对圆周角是直角证垂直 4．（2022·吉林·模拟预测·节选）如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点． (1)求证：平面； 5．（2022·山东泰安·模拟预测·节选）如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，. (1)证明：平面； 考向五 利用线面垂直的性质证垂直 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试·改编）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面. (2)证明：平面. 7．（2024·河北保定·二模·节选）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且． (1)证明：． 知识点二 面面垂直的判定 【基础指数框架】 面 面 垂 直 的 判 定 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 【例题分析】 例1．（2023秋·内蒙古包头·高三开学考·节选）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，.   (1)证明：平面平面； 例2．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，． (1)求证：平面平面ABCD； 例3.已知四边形是矩形，平面，，，分别是，的中点，求证：平面平面. 【变式训练】 1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）如图所示，在正方体中．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 2．（2022春·云南保山·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； 3．（2023春·广东广州·高一统考期末·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，， (1)证明：平面平面ABCD； 4．（2022·广州一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，. (1)求证：平面平面ACD； 知识点三 面面垂直的性质 【基础指数框架】 面 面 垂 直 的 性 质 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 例1．（2024·广东广州·二模·节选）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，. (1)证明：平面； 例2．（2024·广东深圳·一模·节选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． (1)求证：平面； 例3．（2023·广西玉林·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为的正方形，侧面侧面，为的中点． (1)求证：平面； 【变式训练】 1．（2022•集美区校级模拟）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，为正三角形，，分别是，上的动点． （1）求证：； 2．（2022•广州二模）如图，已知四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，． （1）求证：平面平面； 3．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$