平行的判定与性质 讲义——2025届高三数学一轮复习

2025届高考一轮复习：平行的判定与性质 知识点一 线面平行的判定 【基础指数框架】 1.线线平行的判定 （1）平行四边形的对边 （2）三角形的中位线或等高线 （3）线面平行与面面平行的性质 2.线面平行的判定 线 面 平 行 的 判 定 文字语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 【例题分析】 例1．（2024•甲卷•节选）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． （1）证明：平面； 例2．（2024•北京•节选）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，． （1）若为线段的中点，求证：平面． 例3. 如图，四边形为正方形，平面，，.若点在线段上，且满足, 求证：平面； 【变式训练】 1．（2023•天津•节选）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点． （Ⅰ）求证：平面； 2．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，. 证明：平面； 知识点二 线面平行的性质 【基础指数框架】 线 面 平 行 的 性 质 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 例1．（23-24高一下·北京·期中·节选）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； 例2．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习·节选）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式训练】 1．（23-24高二下·浙江衢州·期末·节选）如图，在棱长为1的正四面体中，是的中点，，分别在棱和上（不含端点），且平面. (1)证明：平面； 知识点三 面面平行的判定 【基础指数框架】 面 面 平 行 的 判 定 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【例题分析】 例1．（2024高二下·天津南开·学业考试·节选）如图，在正方体中， (1)求证：平面平面； 例2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习·节选）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； 【变式训练】 1．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习·节选）如图，在六面体中，，正方形的边长为2，． (1)证明：平面平面． 2．如图，在三棱柱中，且，点，分别为和的中点，与相交于点. （1）证明：平面平面； 知识点四 面面平行的性质 【基础指数框架】 面 面 平 行 的 性 质 文字语言 图形语言 符号语言 （1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． （2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. 【例题分析】 例1．（2023•上海•节选）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； 例2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，平面，平面，，，，.求证：. 例3．（2022.越秀期末.T22）在如图所示的圆台中，是圆台的轴截面，，分别是上、下底面圆的圆心，是下底面圆周上异于，的一点，设圆台的上、下底而圆的半径分别为与，高为，体积为. （1）若，外别是与的中点，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； 【变式训练】 1．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：． 2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$