1.3正方形的性质与判定（第一课时）【课件】 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定（第一课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前导入 典例讲练 目录 CONTENTS 课前预习 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 正方形的定义. 有一组 相等，并且有一个角是 ⁠的平行四边形 叫做正方形. 2. 正方形的性质定理. （1）正方形的四个角都是 ，四条边 ⁠； （2）正方形的两条对角线 且互相 ⁠. 注：正方形具有一般平行四边形、菱形、矩形的一切性质. 邻边　 直角　 直角　 相等　 相等　 垂直平分　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 课前导入 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 矩 形 || || 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 证一证 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： ， 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 数学 九年级上册 BS版 0 3 典例讲练 下列关于正方形的说法中，正确的是 （填序号）. ①它的四条边相等，四个角相等；②两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；③是轴对称图形，但不是中心对称图形；④它的对称轴有4条. 【思路导航】根据正方形具有菱形和矩形的所有性质，以及正 方形的特有性质判断即可. ①②④　 【解析】正方形的四条边相等，四个角都是直角，故①正确；根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可得出两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，故②正确；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故③错误；正方形有4条对称轴，故④正确.故答案为①②④. 【点拨】（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质.（2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.（3）正方形既是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；又是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 下列描述中，错误的是（　C　） A. 正方形的四个角都是直角 B. 正方形的对角线相等且互相垂直 C. 菱形、矩形的对角线都相等 D. 正方形、矩形、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图,在正方形 ABCD 中,连接 BD ，点 O 是 BD 的中点.点 M , N 是边 AD 上的两点,连接 MO , NO ,并分别延长交边 BC 于点 M ', N ',则图中的全等三角形共有（　C　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 C 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF . 【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°.∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ，∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°.∴∠ CBE ＝∠ DCF . 在△ BCE 和△ CDF 中， ∴△ BCE ≌△ CDF （AAS）. ∴ BE ＝ CF ， CE ＝ DF . ∴ CE ＝ CF ＋ EF ＝ BE ＋ EF . ∴ DF ＝ BE ＋ EF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝1，点 E ， F 分 别是正方形的边 BC ， DC 上的一点，且∠ EAF ＝45°. （1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形， 答图 ∴∠ D ＝∠ ABC ＝90°.∴∠ ABF '＝90°.∴∠ F ' BC ＝180°. ∴点 F '， B ， E 在同一直线上. ∵ AF ＝ AF '，∠ F ' AE ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－∠ EAF ＝ 90°－45°＝45°＝∠ EAF ， AE ＝ AE ， ∴△ AF ' E ≌△ AFE . ∴ EF '＝ EF . ∵ EF '＝ BE ＋ BF '，∴ EF ＝ BE ＋ DF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）求△ CEF 的周长. （2）解：由（1）可知， EF ＝ BE ＋ DF . ∵ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ EF ， ∴ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ BE ＋ DF ＝ BC ＋ CD . ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ CD ＝ BC ＝ AB ＝1. ∴ C△ CEF ＝1＋1＝2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 F 是线段 AD 上的一个动点，连接 CF ，以 CF 为对角线作正方形 CGFE （点 C ， G ， F ， E 按逆时针方向排列），连接 BE ， DG . 求证： （1） BE ＝ DG ；（2） CD － FD ＝ BE . 【思路导航】（1）判定△ BCE 和△ DCG 全等，从而根据三角形全等的性质推断出 BE ＝ DG ；（2）在线段 CD 上截取 CH ＝ FD ，连接 HG ，判定△ FDG 和△ CHG 全等，从而得到∠ DGH ＝90°，再利用勾股定理得出 DH ＝ DG ＝ BE ，从而可以证明结论成立. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：（1）∵四边形 ABCD ，四边形 CGFE 都是正方形， ∴∠ BCD ＝∠ ECG ＝90°， CB ＝ CD ， CE ＝ CG . ∴∠ BCD －∠ ECD ＝∠ ECG －∠ ECD ， 即∠ BCE ＝∠ DCG . 在△ BCE 和△ DCG 中， ∴△ BCE △ DCG . ∴ BE ＝ DG . 【点拨】解与正方形有关的问题时，要充分利用正方形的四边相等、四个角为直角和对角线互相垂直平分且相等的性质，再结合全等三角形的性质和判定、勾股定理进行综合运用. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，在线段 CD 上截取 CH ＝ FD ，连接 HG ，设 FG 与 CD 相交于点 M . ∵四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形，∴∠ ADC ＝∠ CGF ＝90°， GC ＝ GF . ∴∠ MFD ＋∠ FMD ＝90°，∠ MCG ＋∠ CMG ＝90°. ∵∠ FMD ＝∠ CMG ，∴∠ MFD ＝∠ MCG . 在△ FDG 和△ CHG 中， ∴△ FDG ≌△ CHG . ∴ DG ＝ HG ，∠ DGF ＝∠ HGC . ∴∠ DGF ＋∠ FGH ＝∠ HGC ＋∠ FGH ＝90°， 即∠ DGH ＝90°. 在Rt△ DGH 中，∵ DH2＝ DG2＋ HG2＝2 DG2， ​ ∴ DH ＝ DG ＝ BE . ∵ CD － FD ＝ CD － HC ＝ DH ， ∴ CD － FD ＝ BE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 E 是 BC 边上一动点（不与点 B ， C 重合），连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右侧作正方形 AEFG ，连接 CF . 当点 E 运动时，∠ ECF 的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出∠ ECF 的度数. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：∠ ECF 的大小不会变化.理由如下： 如答图，过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H . ∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， ∴∠ H ＝∠ ABC ＝∠ AEF ＝90°， AE ＝ EF . ∴∠ EAB ＋∠ AEB ＝90°＝∠ AEB ＋∠ FEH . ∴∠ EAB ＝∠ FEH . 在△ ABE 和△ EHF 中， 答图 ∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$