专题4.12 相似三角形的性质（专项练习）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.12 相似三角形的性质（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 3．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南益阳·二模）如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，分别交，于点D，E，连接，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·云南楚雄·三模）如图，点D、E分别在的、边上，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·陕西商洛·期中）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．14 9．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在线段的延长线上，且．设，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，边在x轴上，边在y轴上，且点，．将先沿x轴向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，延长交x轴于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·江苏徐州·二模）如图，在中，点分别是边上的点，连接，若，且， ，则的值是 ． 12．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 13．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    14．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 15．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为 ． 16．（2024·山西晋城·三模）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点为延长线上一点，直线分别交，于点，，若，，则的长为 ． 17．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是 ． 18．（2024·河南郑州·三模）如图，中，，，，点，为，上的动点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为，射线交射线于点.当点落在线段的三等分点上时，的长为 . 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，．   （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 20．（8分）（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 21．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． （1）求证：； （2）求证：． 22．（10分）（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点． （1）若，求的长； （2）当最小时，连接，求与面积的比． 23．（10分）（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交 于点O，且，，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，．求的长； （3）若，求的度数． 24．（10分）（2024·江西九江·一模）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：，与的面积分別是25和16 与的相似比为：， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是4， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及相似三角形的判定以及性质，根据由作图可知∶垂直平分，可得出，，进一步证明，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即 【详解】解：由作图可知∶垂直平分， ∴， ∵， 即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，先求出，再证明，最后根据相似比即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键． 首先得到，通过，可以得到与的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．B 【分析】由三角形中位线定理知，，，于是得到，易知，则，以此去求得，进而，则． 本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟记“”字相似三角形模型是解题关键． 【详解】解：是的中位线， ，，， 又点为的中点， ， ∵， ∴， ， 即， ， ， ． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．过点作，证明，得出，再证明，根据对应边成比例即可解答． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ． 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，平移的性质，勾股定理等知识． 由勾股定理求出，，延长与x轴交于点D，证明，由相似三角形的性质可得出，由平移的性质可得出，，，即可得出，进一步即可求出，即可得出点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 如图，延长与x轴交于点D， 由题意可得： ∴， ∴， 由平移的性质可得出，，， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的横坐标为． 故选：A． 11． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 12．10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 13．/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，5， ∴， ∴． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ， 由勾股定理得，， ，，， ， ，即， 解得，． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；先证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 解得： 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及三角形全等，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先判定，求出的值，再求，最后利用列式求解即可． 【详解】解：正方形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 18．3或 【分析】本题考查了折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据题意可分两种情况：①当时，根据得，，根据，得，由折叠可知，垂直平分，即可得，，在中，得，根据得，即可得，根据得，则，即可得，即可得；②当时，根据得，，根据，得，由折叠可知，垂直平分，则，，在中，得，根据得，即可得，根据，可得，则，即，可得．掌握折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，要考虑两种情况是解题的关键． 【详解】解：①如图所示，当时， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 由折叠可知，垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②如图所示，当时， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 由折叠可知，垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上，的长为3或， 故答案为：3或． 19．(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比以及，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 20．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， 又， ∴； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，全等三角形的知识解题的关键是掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）根据等边三角形的性质，则，；根据，则，在根据三角形的内角和，，等量代换，相似三角形的判定，则，得，即可； （2）根据题意，当时，存在最小值，则 ；根据勾股定理求出，根据全等三角形的判定和性质，则，求得，再根据，等边三角形的判定，相似三角形的性质，即可． 【详解】（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵点为边上一点，点为边上的动点，， ∴当时，存在最小值， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）按照菱形的判定方法证明即可． （2）先利用菱形的性质得出，，由勾股定理求出，即可得出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出． （3）先证明，利用相似三角形的性质即可得出，进而得出，即，进一步即可求出． 【详解】（1）证明：在四边形中， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴ （3）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵在中， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握这些定理以及性质是解题的关键． 24．（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能． 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念，分类讨论，列式计算即可求解； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：（1）是比例三角形，且，， ①当时，得， 解得， ， （不符合题意，舍去）； ②当时，得， 解得. ， （不符合题意，舍去）； ③当时，得， 解得（负值已舍去）， 当时，是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①，知， ，即. ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$