2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三）数学试题

2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三）保密★考试结束前 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．设是虚数单位，若，并且复数的实部与虚部相等，则 A． B． C． D． 2．椭圆=1上一点M到左焦点的距离为2， N是M的中点，则= A．2 B．4 C．6 D． 3．等差数列 满足 ，则 A．4 B． C． D． 4． 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是 A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，，则“”是“”的充分条件 C．若，则“”是“”的充要条件 D．若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 5．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有 A．144种 B．216种 C．264种 D．360种 6．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 7．某种产品的广告费支出 与销售额 （单位：百万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 70 根据上表提供的数据，求出 关于 的回归直线方程为 ，则 的值为 A．40 B．50 C．60 D．70 8．在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．已知 ， ，有下列四个式子：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．其中正确的序号是 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 10．已知函数，则下列结论正确的是 A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图像向右平移个单位后得函数 11．已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有 A．点P的坐标为 B． C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．数列满足且，则数列的通项公式是　 　． 13．在直角坐标系内，已知 是圆 上一点，折叠该圆两次使点 分别与圆上不相同的两点（异于点 ）重合，两次的折痕方程分别为 和 ，若圆 上存在点 ，使 ，其中 的坐标分别为 ，则实数 的取值集合为　 　． 14．已知 、 、 与 、 、 是 个不同的实数，若关于 的方程 的解集 是有限集，则集合 中最多有　 　个元素 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且满足 . （1)求角 ； （2)若 的面积为 ， ，求边 . 16．（15分） 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． （1）设，当为何值时，的面积最小？ （2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 17．（15分） 已知函数 ，其中k为常数， …为自然对数的底数. （1）若 ，求函数 的极值； （2）若函数 在区间 上单调，求k的取值范围. 18．（17分） 除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜. （1）当时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率； （2）现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为，求满足的的最小值. 注：若均为离散型随机变量，则. 19．（17分） 已知在平面直角坐标系中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1. （1）求点的轨迹方程并说明它是什么图形； （2）记的轨迹为曲线，，当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分，且不与轴垂直或是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三）保密★考试结束前 数学参考答案与评分标准2024.7 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B C C D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC ABD AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1)由 得： ∴ ∴ 又 ∴ ，即 .又 ，∴ （2)∵ 的面积为 ，∴∴ 又 ， ∴ ，即 16．（1）解：因为 ，所以 ， 由于 平面 ， ，故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）解：以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ，故 设 ，则 ； 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， ∵平面平面POF，∴ ，即 或 ， 故存在点，使得平面平面POF，且 或 17．（1）解： 即 当 时 ， 。 令 ，解得令 ， 。 1 2 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 的极小值为 ，极大值为 。 （2）解：由于 ， ， 因为函数 在区间 上单调， 所以 或 在区间 上恒成立 即 或 在区间 上恒成立 因此 或 所以k的取值范围为 18．（1）解：当时，满足条件的样本点总数为， 记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件， 则事件的结果数是4个元素的全错位排列，记表示4个元素的全错位排列， 可以分步计算： 第一步，让1来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3种选择； 第二步，若他选择了面前的菜，则让来夹，对于，可以分两类， 若选1面前的菜，则其余2人只有1种选择；若不选1面前的菜，可有2种选择，而余下的2人只有1种选择， 所以事件含有的样本点个数为， 所以. （2）解：方法一：将道菜编号，餐桌正中央的菜编号为0，其余菜编号为， . 则， 所以. 因为当时，， 所以. 由题意有， 所以. 因为， 故数列单调递增. 又，所以的最小值为9. 方法二：由题意得的可能取值为， 表示个人都夹取餐桌正中央的菜，， 表示个人中有1个人夹取他面前的菜，其余个人夹取餐桌正中央的菜，， 表示个人中有2个人夹取他面前的菜，其余个人夹取餐桌正中央的菜，， 表示个人中有个人夹取了他面前的菜，其余2个人都夹取餐桌正中央的菜，； 表示个人中有个人夹取他面前的菜，剩余1个人夹取餐桌正中央的菜，或者个人都夹取他面前的菜. 所以 令， 则. 两式相加得 所以. 所以. 设， 则， 所以数列为递增数列. 因为， 所以的最小值为9. 19．（1）解：已知如图所示： 设点则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为， 点到直线的距离为 且， 因此，，则或， 因此：或，图形为两组双曲线. （2）解：由题，轴平分，若在上，则由于在渐近线下方，无法与双曲线相切且在轴右侧最多一个交点，故由对称性，与轴垂直，故舍去，如图所示： 在：上 设，则与斜率和为0，， 若斜率不存在时，由题，则与相切，设：， 与：联立得， 由相切，令判别式为0，即，解得， 此时，所以：， 斜率存在时，由，得， 则， 整理得，故恒过定点，且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率， 设：，与交于，与交于，如图所示： 则，， 联立解得，， 则，当且仅当， 即斜率不存在时取等， 故面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学参考答案与评分标准 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B C C D 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 AC ABD AC 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．�� = 4�−1 − 1 13．[3,7] 14．3 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1)由 � = �cos� + 33 �sin� 得： sin� = sin�cos� + 3 3 sin�sin� ∴sin(� + �) = sin�cos� + cos�sin� = sin�cos� + 33 sin�sin� ∴cos�sin� = 33 sin�sin� 又 sin� > 0 ∴cos� = 33 sin� ，即 tan� = 3 .又 � ∈ (0, �) ，∴� = �3 （2)∵△ ��� 的面积为 5 3 4 ，∴12��sin� = 1 2��sin � 3 = 3 4 �� = 5 3 4 ∴�� = 5 又 cos� = � 2+�2−�2 2�� = (�+�)2−2��−�2 2�� ， � + � = 3 3 ∴27−10−� 2 10 = 1 2 ，即 � = 2 3 16．（1）解：因为�� = 2，�� = 1 ，所以�△��� = 1 2�� ⋅ �� ⋅ sin∠��� = sin∠��� ， 由于�� ⊥ 平面���� ， ∠��� = �，故在�����中，�� = sin�，�� = cos� ， 2024.7 保密★考试结束前 在△ ��� 中，∠��� = �2 − �由余弦定理可得�� 2 = ��2 +��2 − 2�� ⋅ ��cos( �2 − �) = 4 + cos2� − 2 × 2 × cos�sin� ， 在����� 中，��2 = ��2 + ��2 = sin2� + 4 + cos2� − 2 × 2 × cos�sin� = 5 − 2sin2� 在△ ��� 中，cos∠��� = �� 2+��2−��2 2��⋅�� = 1+4−(5−2sin2�) 4 = sin2� 2 因为� ∈ (0，�2 ) ，所以 2� ∈ (0，�)，当 sin2� = 1 时，即 2� = � 2 ⇒ � = � 4 ，cos∠��� 最大，此时 sin∠���，而�△��� = sin∠���也为最小值，故� = � 4 （2）解：以�为坐标原点，以��，�� 为�，� 轴的正方向，过� 向上作平面���� 的 垂线为� 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； �(0，0，0)，�(0，1，0)，�(2，0，0)，�(1，1，0)，�( 32， 1 2，0)， 当� = �4时，此时�是�� 中点，故�� = �� = 1，�� = 2 2 ，故�( 32， 1 2， 2 2 ) 设�(�，0，0)，(0 ≤ � ≤ 2) ，则 �� = (32− �， 1 2， 2 2 )，�� = (0，0， 22 )，�� = ( 32，− 1 2， 2 2 )) ； 设平面���的法向量为� = (�，�，�) ，所以 � ⋅ �� = 0 � ⋅ �� = 0 ⇒ ( 32− �)� + 1 2� + 2 2 � = 0 2 2 � = 0 ，取� = 1 ，则� = (1，2� − 3，0) 同理可得平面���的法向量为� = (1，�，�−32 )， ∵平面��� ⊥平面 POF，∴� ⊥ � ⇒� ⋅ � = 0 ，即 1 + 2�2 − 3� = 0 ⇒ � = 1 或� = 12 ， 故存在点�，使得平面��� ⊥平面 POF，且�� = � = 1 或�� = 12 17．（1）解： �'(�) = (�−1)� � �2 − �( − 1 �2 + 1 � ) = (�−1)�� �2 − � �−1 �2 即 �'(�) = (�−1)(� �−�) �2 当 � = � 2 时 �'(�) = (�−1)(� �−�2) �2 ， � > 0 。 令 �'(�) = 0 ，解得令 �1 = 1 ， �2 = 2 。 � (0，1) 1 (1，2) 2 (2， +∞) �'(�) + 0 − 0 + �(�) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 �(�) 的极小值为 �(2) =− �2ln2 ，极大值为 �(1) = � − �2 。 （2）解：由于 �'(�) = (�−1)(� �−�) �2 ， � ∈ (1，2) ， 因为函数 �(�) 在区间 (1，2) 上单调， 所以 �'(�) ≥ 0 或 �'(�) ≤ 0 在区间 (1，2) 上恒成立 即 �� − � ≥ 0 或 �� − � ≤ 0 在区间 (1，2) 上恒成立 因此 � ≤ � 或 � ≥ �2 所以 k的取值范围为 ( −∞，�] ∪ [�2，+∞) 18．（1）解：当� = 4时，满足条件的样本点总数为�54 = 120， 记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件�， 则事件�的结果数是 4个元素的全错位排列，记�4表示 4个元素的全错位排列， 可以分步计算�4： 第一步，让 1来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有 3种选择； 第二步，若他选择了�(2⩽�⩽4)面前的菜，则让�来夹，对于�，可以分两类， 若�选 1面前的菜，则其余 2人只有 1种选择；若�不选 1面前的菜，可有 2种选择，而 余下的 2人只有 1种选择， 所以事件�含有的样本点个数为 3 × (1 + 2) = 9， 所以�(�) = 9120 = 3 40. （2）解：方法一：将� + 1道菜编号，餐桌正中央的菜编号为 0，其余菜编号为 1,2,⋯, �， �� = 1,第�道菜未被夹, 0,第�道菜被夹, � = 0 , 1 , 2 , ⋯ , �. 则�(�0 = 1) = ( 1 2 ) �, �(�0 = 0) = 1 − �(�0 = 1) = 1 − ( 1 2 ) �， 所以�(�0) = 0 × �(�0 = 0) + 1 × �(�0 = 1) = ( 1 2 ) �. 因为当� = 1,2,⋯, �时，�(�� = 1) = 1 2 , �(�� = 0) = 1 2， 所以�(��) = 1 × 1 2 + 0 × 1 2 = 1 2. 由题意有�� = �+ 1 − (�0 + �1 +⋯+ ��)， 所以�(��) = � + 1 − �=0 � �(��) = � + 1 − [( 1 2 ) � + �2 ] = � 2 + 1 − ( 1 2 ) �. 因为�(��+1) − �(��) = �+1 2 + 1 − ( 1 2 ) �+1 − [�2 + 1 − ( 1 2 ) �] = 12 + ( 1 2 ) �+1 > 0， 故数列{�(��)}单调递增. 又�(�9) = 11 2 − ( 1 2 ) 9 > 5, �(�8) = 5 − ( 1 2 ) 8 < 5，所以�的最小值为 9. 方法二：由题意得��的可能取值为 1,2,3,⋯, �， �� = 1表示�个人都夹取餐桌正中央的菜，�(�� = 1) = ( 1 2 ) �， �� = 2表示�个人中有 1个人夹取他面前的菜，其余� − 1个人夹取餐桌正中央的菜， �(�� = 2) = ��1( 1 2 ) �， �� = 3表示�个人中有 2个人夹取他面前的菜，其余� − 2个人夹取餐桌正中央的菜， �(�� = 3) = ��2( 1 2 ) �， �� = �− 1表示�个人中有� − 2个人夹取了他面前的菜，其余 2个人都夹取餐桌正中央 的菜，�(�� = � − 1) = ���−2( 1 2 ) �； �� = �表示�个人中有� − 1个人夹取他面前的菜，剩余 1个人夹取餐桌正中央的菜，或 者�个人都夹取他面前的菜�(�� = �) = ���−1( 1 2 ) � + ���( 1 2 ) �. 所以�(��) = 1 × ( 1 2 ) � + 2 × ��1( 1 2 ) � + 3 × ��2( 1 2 ) � +⋯+ (� − 1) × ���−2( 1 2 ) � + � × ���−1( 1 2 ) � + � × ���( 1 2 ) � = ( 1 2 ) � × (1 + 2��1 +3��2 +⋯+ (� − 1)���−2 + ����−1 + ����) 令�� = 1 + ���� + 2��1 + 3��2 +⋯+ (� − 1)���−2 + ����−1， 则�� = 1 + � + ����−1 + (� − 1)���−2 +⋯+3 × ��2 + 2��1. 两式相加得 2�� = 2 + 2� + (� + 2)(��1 + ��2 +⋯+ ���−2 + ���−1) = 2 + 2� + (� + 2)(2� − 2) = (� + 2)2� − 2. 所以�� = (� + 2)2�−1 − 1. 所以�(��) = ( 1 2 ) �[(� + 2)2�−1 − 1] = �+22 − ( 1 2 ) �. 设�� = 1 2 (� + 2) − ( 1 2 ) �， 则��+1 − �� = 1 2 (� + 3) − ( 1 2 ) �+1 − 12 (� + 2) + ( 1 2 ) � = 12+ ( 1 2 ) �+1 > 0， 所以数列{��}为递增数列. 因为�8 = 5 − ( 1 2 ) 8 < 5, �9 = 11 2 − ( 1 2 ) 9 > 5， 所以�的最小值为 9. 19．（1）解：已知如图所示： 设点�(�0, �0)则直线��的方程为� − �0 =− 2(� − �0)， 联立 � − �0 =− 2(� − �0) � = 2� ，解得 � = �02 + 1 4�0 � = �02 + �0 ，即点�( �0 2 + 1 4�0, �0 2 + �0)， 直线��的方程为�0� − �0� = 0， 点�到直线��的距离为� = |�0( �0 2 + 1 4�0)−�0( �0 2 +�0)| �0 2+�0 2 = |�0 2−4�0 2| 4 �0 2+�0 2 且|��| = �02 + �02， 因此，�▱ ���� = 2�△��� = |��| ⋅ � = |�0 2−4�02| 4 = 1 ，则�0 2 4 − �0 2 = 1或�02 − �02 4 = 1 ， 因此�：�2 − � 2 4 = 1或 �2 4 − � 2 = 1，图形为两组双曲线. （2）解：由题，�轴平分∠���，若�在� 2 4 − � 2 = 1 上，则由于�在渐近线� = 2�下方， ��无法与双曲线相切且在�轴右侧最多一个交点，故由对称性，��与�轴垂直，故舍去， 如图所示： �在�：�2 − � 2 4 = 1上 设�(�1, �1)，则��与��斜率和为 0， �1 �1− 3 4 + �0 �0− 3 4 = 0， 若��斜率不存在时，由题，则��与�相切，设��：� = �(� − 34 )， 与�：�2 − � 2 4 = 1联立得(4 − � 2)�2 + 32� 2� − 916 � 2 − 4 = 0， 由相切，令判别式为 0，即94� 4 +4(4 − �2)( 916� 2 + 4) = 0，解得�2 = 647， 此时�0 = 3 2� 2 2(�2−4) = 4 3，所以 ��：� = 43， ��斜率存在时，由 �1 �1− 3 4 + �0 �0− 3 4 = 0，得�1�0 + �0�1 = 3 4 (�0 + �1)， 则�1�0 − �0�1 = �1 2�0 2−�0 2�1 2 �1�0+�0�1 = 4(1− �1 2 4 )�0 2−4(1− �0 2 4 )�1 2 3(�0+�1) = 4(�0 2−�1 2) 3(�0+�1) = 43 (�0 − �1) ， 整理得 �0 �0− 4 3 = �1 �1− 4 3 ，故��恒过定点( 43 , 0)，且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率， 设��：� = �� + 43 ( − 1 2 ≤ � ≤ 1 2 )，与�1交于�，与�2交于�，如图所示： 则 �� = ��� + 4 3 �� = 2�� ， �� = ��� + 4 3 �� =− 2�� ， 联立解得�� = 8 3−6�，�� =− 8 6�+3， 则�△��� = 1 2 ⋅ 4 3 ⋅ |�� − ��| = 2 3 ⋅ 16 3−12�2 ≥ 2 3 ⋅ 16 3 = 32 9，当且仅当� = 0， 即��斜率不存在时取等， 故面积的最小值为329 . 2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数 学 本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．设 i是虚数单位，若 z(1 + i) = a − i，并且复数 z的实部与虚部相等，则|z| = A．1 B． 2 C． 22 D．2 2．椭圆� 2 25+ �2 9 =1上一点M到左焦点 �1的距离为 2， N是M�1的中点，则 �� = A．2 B．4 C．6 D．32 3．等差数列 {��} 满足 �2 + �5 = 3，�6 = 2 ，则 �4 + �7 = A．4 B．134 C． 17 5 D． 19 5 4． 已知�, �是两条不重合的直线，�, �是两个不重合的平面，下列说法错误的是 A．若� ⊥ �，则“� ∥ �”是“� ⊥ �”的必要条件 B．若� ⊄ �，� ⊂ �，则“� ∥ �”是“� ∥ �”的充分条件 C．若� ⊥ �，则“� ⊥ �”是“� ∥ �”的充要条件 D．若� ∥ �，则“� ∥ �”是“� ∥ �”的既不充分也不必要条件 5．如图，用四种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一 种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同的颜色要全部用完，则 不同的涂色方法共有 A．144种 B．216种 C．264种 D．360种 6．已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 2024.7 保密★考试结束前 7．某种产品的广告费支出 � 与销售额 � （单位：百万元）之间有如下对应数据： � 2 4 5 6 8 � 30 40 � 50 70 根据上表提供的数据，求出 � 关于 � 的回归直线方程为 � = 6.5� + 17.5 ，则 � 的值为 A．40 B．50 C．60 D．70 8．在正四棱锥� − ����中，底面����的边长为 2， △ ���为正三角形，点�，�分别在��，��上， 且�� = 2��，�� = 2��，若过点�，�，�的截面交��于点�，则四棱锥� − ����的体积是 A．2 63 B． 4 6 3 C． 2 6 9 D． 4 6 9 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分。 9．已知 � = {� ∈ �|� ≥ 3} ， � = � ，有下列四个式子：（1） � ∈ � ；（2） � ⊆ � ；（3） {�} ⊆ � ； （4） {�} ∩ � = � ．其中正确的序号是 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 10．已知函数�(�) = sin(2� + �3 )，则下列结论正确的是 A．�(�)的一个周期为� B．� = �(�)的图象关于直线� = 7�12对称 C．�(�)在(0，�2 )上单调递增 D．�(�)的图像向右平移 � 6个单位后得函数� = sin2� 11．已知抛物线�2 = 2�，点�(�，− 1)，� ∈ [ 12，1]，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中 A， B为切点，且 A在第一象限，直线 AB与 y轴交于点 P，则下列结论正确的有 A．点 P的坐标为(0，1) B．�� ⊥ �� C．△���的面积的最大值为 3 3 D．|��||��|的取值范围是[2，2 + 3] 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共计 15 分。 12．数列 �� 满足�� = 4��−1 + 3 � ≥ 2 且�1 = 0，则数列 �� 的通项公式是 ． 13．在直角坐标系内，已知 �(3,2) 是圆 � 上一点，折叠该圆两次使点 � 分别与圆上不相同的两点 （异于点 � ）重合，两次的折痕方程分别为 � − � + 1 = 0 和 � + � − 7 = 0 ，若圆 � 上存在点 � ， 使 ∠��� = 90∘ ，其中 �,� 的坐标分别为 ( − �, 0), (�, 0) ，则实数 � 的取值集合为 ． 14．已知 �1 、 �2 、 �3 与 �1 、 �2 、 �3 是 6 个不同的实数，若关于 � 的方程 |� − �1| + |� − �2| + |� − �3| = |� − �1| + |� − �2| + |� − �3| 的解集 � 是有限集，则集合 � 中最多有 个 元素 四、解答题：本题共 5小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 在 △ ��� 中，角 � ， � ， � 的对边分别为 � ， � ， � .且满足 � = �cos� + 33 �sin� . （1)求角 � ； （2)若 △ ��� 的面积为 5 34 ， � + � = 3 3 ，求边 � . 16．（15 分） 如图，在矩形 ABCD中，�� = 1，�� = 2，E为边 AD上的动点，将△ ���沿 CE折起，记折起后 D 的位置为 P，且 P在平面 ABCD上的射影 O恰好落在折线 CE上． （1）设∠��� = �，当�为何值时，△ ���的面积最小？ （2）当△ ���的面积最小时，在线段 BC上是否存在一点 F，使平面��� ⊥平面 POF，若存在求出 BF的长，若不存在，请说明理由． 17．（15 分） 已知函数 �(�) = � � � − �( 1 � + ln�) ，其中 k为常数， � = 2.71828…为自然对数的底数. （1）若 � = �2 ，求函数 �(�) 的极值； （2）若函数 �(�) 在区间 (1，2) 上单调，求 k的取值范围. 18．（17 分） 除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家�(�⩾3)个人围 坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜. （1）当� = 4时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐 桌正中央和自己面前的菜的概率； （2）现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次 菜后，记被夹取过的菜数为��，求满足�(��) > 5的�的最小值. 注：若��(� = 1,2,⋯, �)均为离散型随机变量，则�( �=1 � �� ) = �=1 � � (��). 19．（17 分） 已知在平面直角坐标系���中，�1：� = 2�，�2：� =− 2�，平面内有一动点�，过�作��//�2交�1于�， ��//�1交�2于�，平行四边形����面积恒为 1. （1）求点�的轨迹方程并说明它是什么图形； （2）记�的轨迹为曲线�，�( 34 , 0)，当�在�轴右侧且不在�轴上时，在�轴右侧的�上一点�满足� 轴平分∠���，且��不与�轴垂直或��是�的一条切线，求��与�1，�2围成的三角形的面积最小值. ■口回▣ 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o [1] [1] 1] [1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 2 2 [2 [2 2 [2 [4 图 4到 注意事项： 恩 哥 恩 恩 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 [7] [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 91 [9 [97 [97 [9 91 [91 [9] [9] 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 1 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 8 [A]B][C][D] 、选抒题 9 [A][B][C][D] 1O[A][B][C]D] 11[AJ[B][c][D] 三、填空趣 12 13、 四、解答题 15、(13分) 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 8883 注意事项： 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 S60 D2S0566039 128456789 8353556 E8E3EEEEE S14560 2SH56838S 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9 9 [9 S03089 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [oj [o] [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 D2S0566039 H2S456C8 83 注意事项： 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 S60 S00 S010 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9] 9 [9] 5608S 1 91 [91 [9 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题 6■口口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o [o] [o] [o] [0] 1 [1] [1] [11 1] [1] [1] 1 学校 班级 姓名 试室号 座位号 [2 [2 [2 [2 [2] [2 [21 2 2 ] [3 ] [4 注意事项： 6 e 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 CEEE [81 [81 [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 r9] [9] r9] 9 [9] [9 [9] [9] 91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[AJ[B][c][D] 4[A][B][C][D] 5 [A][B][c][D] 6AJ[B][c][D] TtA][B][C】[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题 9 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、填空题 12、 13 14 四、解答题 15、(13分) 1 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 2 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [0 [o] [o] [0] [0] [o] 〔1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 0800 a 注意事项： 高 33EE 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 [8 35 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 ] [9] [9 9 [9 [9 [9 9 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 4 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（三） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [0] [0] C1] [1] C1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 a 注意事项： 阁 意 g 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 [8 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 ] [9] [91 91 [91 [9] [91 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题