第22章 二次函数 ——二次函数阅读理解及新定义 讲义 2024—2025学年人教版数学九年级上册

二次函数阅读理解及新定义专题 专题解读 近年来中考数学对新定义型题考查有增加趋势，主要分为几何新定义与函数新定义，它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。但函数新定义主要以二次函数的考察为主，基本上都会考察二次函数的图像与性质，其次是与方程的结合应用。所以解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用，达到知己知彼方能脱颖而出！ 典型例题 例1．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 例2．【发现问题】 随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：． 【提出问题】 （1）①已知点，则______； ②函数的图象如图1，B是图象上一点，若，则点B的坐标为______； （2）函数的图象如图2，该函数图象上是否存在点C，使？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】 （3）已知函数和函数的图象如图3，D是函数图象上的一点，E是函数图象上的一点，当和分别取到最小值的时候，请求出的值 巩固练习 1．定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（    ） A．点，都是点的“倍增点” B．若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为 C．抛物线上存在两个点是点的“倍增点” D．若点B是点的“倍增点”，则的最小值是 5．我们定义：如果点在某一个函数的图象上，那么我们称点P为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数n，恒有两个“好点”，则常数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．定义：在平面直角坐标系中，对于点当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”：②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 8．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），请完成下列两空： （1）图象具有对称性，对称轴是直线 ； （2）若关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为 ． 三、解答题 9．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 10．阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”．比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出．对偶的神兽或神人往往相对而列．多半会形成左右相对（包含左右对称）的样式．对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶． 定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如：当时，即或时，的值均为．那么我们称关于对偶．在学习二次函数时，我们知道二次函数的对称轴是直线，从“形”的角度看，多项式的对偶即二次函数图像的对称性． 运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对偶； (2)当或时，关于的多项式的值相等，求的值； (3)若整式关于对偶，求的值． 11．我们定义：二次函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)请直接写出二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数表达式； (2)若点在二次函数的图象上，请证明点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上． 12．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点） 【数学理解】 (1)①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________； (2)函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使． (3)函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 13．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)点的“3级变换点”是点________； (2)设点是点的“k级变换点”． ①为反比例函数的图像上，当时，判断m，q的大小关系：________； ②点A的坐标为，若，求点Q的坐标； (3)若以为圆心，1为半径的圆上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 14． 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数、的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴于，若的面积为，求点的坐标． 15．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”． (1)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ； (2)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由： (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ． 16．定义：对于二次函数，当自变量x满足时，函数值y的取值范围也为，则称二次函数．是上的“等域函数”．已知抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B． (1)若，且抛物线经过点，． ①求a，c的值； ②若是上的“等域函数”，求t的值： (2)在的情况下，记点B的横坐标为，经过点B的直线与抛物线交于点．若，是否存在二次函数是或上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 17．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”． (1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围． 18．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差” ，即该抛物线的“幸福值”为 ．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 参考答案： 例1．(1)（或）(2)是，理由见解析(3)或 (4)或 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下： 把点代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数    是正方形的“函数”； （3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为， 把点代入二次函数    中得：， ， ， 该函数图象的顶点坐标为， 在中，令得， 点在函数    的图象上， 函数    是正方形的“函数”，其图象经过点，， ①当时，抛物线顶点在轴上方， ， 解得， ； ②当时，函数  图象经过点，，则函数  一定是正方形的“函数”； 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，有，，抛物线开口向上， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点， ， 整理得：， 解得：，  （舍去）； 当时，抛物线开口向下， ①当，即时，有，， 点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点， ， 整理得  ，此方程无实数根，的值不存在； ②当，即时，有， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是点， ， 整理得， 解得； 综上所述，的值是或． 例2．（1）①5；②（2）不存在，理由见解析（3） 【详解】 解：（1）①∵点，点， ∴； 故答案为：5； ②设点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：； （2）不存在，理由如下： 设点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C； （3）设点D为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， 此时点D坐标为． 设点E为， ∴， 当时，， ∴当时，最小，最小值为2； 当时，， ∴当时，最小，最小值为3； ∴此时点E坐标为． ∴ 巩固练习 1．B 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 2．D 【详解】解：当时，二次函数的相关函数为 当时，二次函数的相关函数为， ∴二次函数的相关函数为， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线, 当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大； 二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 一次函数与轴的交点为 一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况： 一次函数分别与，相交一点， 则有， 解得； 一次函数与有两个交点，与不相交 ， 则有， 解得， 且， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， ∴的值可能是， 故选：D． 3．C 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确；故正确的有①③④，故选：C． 4．C 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， 则是的“倍增点”， ∵，， ∴，， 则是的“倍增点”，故A正确； B、由题意设“倍增点”， ∴，解得：， ∴点，故B正确； C、设抛物线的“倍增点”为， ∴，整理得：， ∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“倍增点”，故C错误； D、设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故D正确； 故选：C． 5．D 【详解】解：令， 有，整理得： ， 有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根 有， 即， ∵对于任意常数，恒有两个好点， ∴关于的一元二次方程无解， ∴ 解得：， 故选：D． 6．D 【详解】 解：依据题意，由“倍增点”的意义， ∵，， ∴点，都是点的“倍增点”． ∴①正确． 对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为， ∴． ∴． ∴． ∴②正确． 对于③，可设抛物线上的“倍增点”为， ∴． ∴． ∴此时满足题意的“倍增点”有两个． ∴③正确． 故选：D． 7．A 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 8． 【详解】解：（1）根据图像可知，函数的图像对称轴直线是， 故答案为：； （2）关于的方程可化为， ∴关于的方程的解的个数即为函数和图像交点的个数， ∵关于的方程四个不等实根， ∴函数和图像有四个交点， 如图，其中图像的最高点为时，对应的函数值，即， 由图像可得：， ∴． 故答案为：． 9．（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，若，则， ∴， ∴或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或； ②存在，m的值为0或或． 如图，设与对称轴的交点为H． 由（2）知，， ， ∴， ∴抛物线的极限分割线：， ∵直线垂直平分， ∴直线：， ∴点B到直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线：， ∵， ∴点P到直线的距离为|， ∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或或． 10．(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴多项式关于对偶． 故答案为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，关于的多项式的值相等， ∴， ∴； （3） ， ∵整式关于对偶， ∴． 11．(1)(2)详见解析 【详解】（1）解：∵二次函数与关于原点O互为“伴随函数”． ∴二次函数关于原点O互为“伴随函数”为； （2）∵点在二次函数的图象上， ∴， 该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数为， 当时，， ∴点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上； 12．(1)①3；②(2)证明过程见详解(3) 【详解】（1）解：①根据材料提示得，； ②， 设， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：； （2）证明：设， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴原方程无解， ∴反比例函数的图象上不存在点，使得； （3）解：二次函数， ∴， ∴二次函数与轴无交点， ∵点在二次函数图象上， ∴设， ∴，整理得，， ∴当时，的最小值为， ∴． 13．(1)(2)①；②(3) 【详解】（1）解：点的“3级变换点”为：，即：， 故答案为：， （2）解：∵是点的“k级变换点”， ∴，， ∴， ∴， ①将代入反比例函数，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②∵， ∴， 点所在直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴点在直线的上方， 过点作,垂足为， ∵为直线上一点， ∴设， 过点作轴的平行线，分别与过点、与轴的平行线交于点、， ∵, ∴， ∵,， ∴，， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，，， ∴解得：， ∴， 故答案为：①，②， （3）解：设圆上两点为、， 设，则其“1级变换点”为， 将代入，得：，整理得：， ∴点在直线上，， 同理可证点在直线上， ∵圆的半径为1，为圆心， ∴，与联立，整理得：， ∵、，为两个不同的交点， ∴，整理得：， 解方程，得， ∵开口向上， ∴当时，， 故答案为：． 14．(1)存在，“等值点”为，(2)点的坐标为或 【详解】（1）解：存在“等值点”，理由如下： 在中，令， 解得：或， ，是函数的“等值点”； （2）在中，令， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 在中，令， 解得：， ， 轴于， ， ， 的面积为， ， 当时，， 解得：， 点的坐标为：； 当时，， ， 方程无实数根， 当时，， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 15．(1)(2)是直角三角形，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则，解得， ∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是； （2）解：是直角三角形，理由如下： 当时，解得， ∴不妨设； ∵， ∴顶点C的坐标为， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”； ∵抛物线开口向上， ∴当时，直线与抛物线在范围内不存在交点； 当时，联立解得或 当时，由于抛物线的顶点坐标在直线， ∴当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的， 当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，即当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1， ∴当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为， ∴， 解得， 综上所述，． 16．(1)①；② (2)不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形．理由见解析 【详解】（1）解：①当时， ∵抛物线经过点，， ∴，解得； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在上， 当时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值0； 若是的“等域函数”， ∴， ∴，（舍去）， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∴， ∵经过点B的直线与抛物线交于点， 联立， ∴，即， ∴， ∴，， ∵直线与轴交点的纵坐标为，其中了， ∴， 又∵， ∴， ∴； ①当时，则， 解得，即， ∵， ∴，此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； ②当时，则， 解得，即， ∵， ∴， 此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而减少， 在上随的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； 综上，不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形． 17．(1)； (2)点M的坐标为或或； (3)． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为， 根据题意得，解得， ∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“制高点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向上平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 由，得； 由，得； ∴， 设函数， ∴当时， 函数的值随自变量的增大而减少， 当，； 当，； ∴， ∴． 18．(1)3(2)3(3) 【详解】（1）解：当时，， ∴，     即点的双减差为3． （2）解：可得：， 令，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴时，取最小值， ∴， ∴或， ∵， ∴． （3）解：∵抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上， ∴顶点坐标为， ∴抛物线为， 令，对称轴是直线， ∵， ∴， 当时，即，不合题意舍去； 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，该抛物线的解析式为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$