人教版数学七年级上册——九年级下册知识清单

七年级上 第1章 有理数 1.1正数和负数 1.2有理数 （1）有理数 整数和分数统称为有理数。 （2）数轴 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 （3）相反数 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （4）绝对值 ①一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 。 ② 如果a＞0，那么 =a。 如果a=0，那么 =a。 如果a＜0，那么 =-a。 ③a.正数大于0,0大于负数，正数大于负数。 b.两个负数，绝对值大的反而小。 （异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。） 1.3有理数的加减法 （1）有理数的加法 ①有理数加法法则： a.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 b.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. c.一个数同0相加，仍得这个数． ②加法交换律：a+b=b+a ③加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） （2） 有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即a-b=a+（-b）。 1.4有理数的乘除法 （1） 有理数的乘法 ①乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。 ②乘积是1的两个数互为倒数。 ③乘法交换律：ab=ba ④乘法结合律：（ab）)c=a（bc） ⑤乘法分配律：a（b+c）=ab+ac （2） 有理数的除法 ①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 1.5有理数的乘方 （1） 乘方 ①求n个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。 ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. ③有理数混合运算的运算顺序： a.先乘方，再乘除，最后加减； b.同级运算，从左到右进行； c.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．， （2）科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。 （3）近似数 第2章 整式的加减 2.1整式 （1）单项式 数、字母、数或字母的积叫做单项式。单项式中数字因数叫做单项式的系数。单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 （2）多项式 ①几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ②多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 （3）单项式与多项式统称整式。 2.2整式的加减 （1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项后，所得项的系数是合并前同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 （4）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符 号相反。 （5）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 第3章 一元一次方程 3.1从算式到方程 （1） 一元一次方程 ①列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含 有未知数的等式——方程。 ②方程都只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 （2） 等式的性质 ①等式的性质1：如果a=b，那么a+c=b+c。 ②等式的性质2：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么。 3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 （1） 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （2） 把等式一边的某项变号后移项到另一边，叫做移项。 3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母 3.4实际问题与一元一次方程 设未知数，列方程（一元一次方程）→解方程（一元一次方程的解（x=a））→检验（实际问题的答案） 设、列、解、检、答 第4章 几何图形初步 4.1几何图形 （1） 立体图形与平面图形 ①有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 ②有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 ③有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 （2） 点、线、面、体 ①长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 ②包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。 ③夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。面和面相交的地方形成线。 ④天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象。线和线相交的地方是点。 4.2直线、射线、线段 （1）两点确定一条直线。 （2）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公 共点叫做它们的交点。 （3）画一条线段等于已知线段a,可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段。在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 （4）点M把线段AB 分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。 （5）两点之间，线段最短。 （6）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 4.3角 （1） 角 ①角也是一种基本的几何图形。 ②把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份的角叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份的角叫做1秒的角，记作1″。 （2） 角的比较与运算 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做角平分线。 （3） 余角和补角 ①如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 ②如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 ③余角性质：同角（等角）的余角相等。 ④补角性质：同角（等角）的补角相等。 4.4课题学习（设计制作长方体形状的包装纸盒） 七年级下 第五章 相交线与平行线 5.1相交线 （1） 相交线 ①∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。 ②∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。（对顶角相等） （2） 垂线 ①a与b互相垂直，记作a⊥b。 ②两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。E （3） 同位角、内错角、同旁内角①图中的∠1和∠5,这两个角分别在直线AB,CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 ②∠3和∠5,这两个角都在直线AB,CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧），具有这种位置关系的一对角叫做内错角。 ③图中∠3和∠6也都在直线AB,CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。 11 4 8 5 3 2 6 7 B A D C F 5.2平行线及其判定 （1） 平行线 ①A与b互相平行，记作a∥b。 ②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 也就是说：如果b//a,c//a,那么b//c （2） 平行线的判定 ①判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。 ②判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ③判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 5.3平行线的性质 （1） 平行线的性质 ①性质1：两直线平行，同位角相等。 ②性质2：两直线平行，内错角相等。 ③性质3：两直线平行，同旁内角互补。 （2） 命题、定理、证明 ①判断一件事情的语句，叫做命题。 ②如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 ③如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 ④如果命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 ⑤一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。 5.4平移 （1） 图形的平移，不限于是水平的。 （2） 连接对应点可画出平移后的图形。 第六章 实数 6.1平方根 （1） 一般地，如果一个正数的x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”,a叫做被开方数。 （2） 0的算术平方根是0。 （3） 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 （4） 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 6.2立方根 （1） 一般地，如果一个数的立方等于a,即x2=a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。 （2） 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。 （3） 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”。其中a是被开方数，3是根指数。 6.3实数 （1） 无限不循环小数又叫做无理数。 （2） 有理数和无理数统称实数。 （3） 分类：有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 负无理数 正无理数 无限不循环小数 有限小数或无限循环小数 实数 实数 0 负实数 正实数 （4） 数a的相反数是-a。 （5）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0。 第七章 平面直角坐标系 7.1有序数对 把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）。 7.2平面直角坐标系 （1） 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数 轴成为X轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 （2） 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分称为象限。分别叫做第一象限（右上）、第二象限（左上）、第三象限（左下）、第四象限（右下）。 7.2坐标方法的简单应用 （1） 用坐标表示地理位置 （2） 用坐标表示平移 第八章 二元一次方程组 8.1二元一次方程组 （1） 每个方程中都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 （2） 把两个方程合在一起，就组成了一个方程组。方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 （3） 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 （4） 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 8.2消元——解二元一次方程组 （1）二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。 （2）把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代人另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 （3）当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组的解法 （1） 方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共 有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 （2） 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 第9章 不等式与不等式组 9.1不等式 （1） 不等式及其解集 ①用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。 ②把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 ③一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。 （2） 不等式的性质 ①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 ②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 ③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 9.2一元一次不等式 （1） 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 （2） 利用不等式的性质，采取与解一元一次方程组类似的步骤，就可以求出一元一 次不等式的解集。 9.3一元一次不等式组 （1） 类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 （2） 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 （3） 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 第10章 数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 （1） 考察全体对象的调查叫做全面调查。 （2） 抽样调查是只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。 （3） 抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。 10.2直方图 （1） 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。 （2） 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数。 （3） 直方图中： 10.3课题学习（从数据谈节水） 八年级上 第11章 三角形 11.1与三角形有关的线段 （1） 三角形的边 ①由不在同一条直接上的三条线段收尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 ②分类（按边的相等关系）：三角形 底边和腰不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 三边都不相等的三角形 D A B C 图1 ③三角形两边的和大于第三边。三角形两边的差小于第三边。 （2） 三角形的高、中线与角平分线 ①从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。（图1） ②连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。（图2） ③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。（图3） ④画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。（图4）图4 A B C D A B C F O D 图3 图2 A B C D E （3） 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。 11.2与三角形有关的角 （1） 三角形的内角A B C D 图5 ①三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 ②直角三角形的两个锐角互余。 ③有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2） 三角形的外角 ①像图5这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做 三角形的外角。 ②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 11.3多边形及其内角和 （1） 多边形 ①在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 ②连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 ③各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 （2） 多边形的内角和 ①n边形内角和等于（n-2）×180° ②多边形的外角和等于360°。 第十二章 全等三角形 12.1全等三角形 （1） 形状、大小完全相同的图形能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （3） 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 （4） 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 12.2三角形全等的判定 （1） 全等三角形的判定1：三边分别相等的两个三角形全等。（SSS） （2） 全等三角形的判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（SAS） （3） 全等三角形的判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（ASA） （4） 全等三角形的判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （5） 全等三角形的判定5（直角三角形）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 12.3角的平分线的性质 （1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 （2） 角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 第十三章 轴对称 13.1轴对称 （1） 轴对称 ①如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。 ②把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 ③经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ④如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线。 ⑤轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2） 线段的垂直平分线的性质 ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 ②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 13.2画轴对称图形 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 （2）几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一 些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形 的轴对称图形。 13.3等腰三角形 （1） 等腰三角形 ①性质1：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ②性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） ③判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） （2） 等边三角形 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边一半， 13.4课题学习（最短路径问题） 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 （1） 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 （2） 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3） 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （4） 整式的乘法 ①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式式的每一项，再把所得的积相加。 ③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 ④同底数幂相除，底数不变，指数相减。 ⑤任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑥单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑦多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 14.2乘法公式 （1） 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （2） 完全平方公式 ①两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 ②添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 14.3因式分解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 （1） 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （2） 公式法 把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 ①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 ②两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 补充： 十字相乘分解因式：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。1 1 1 2 1×2+1×1=3 第十五章 分式 15.1分式 （1） 从分数到分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。（如 ） 分式中，A叫做分子，B叫做分母，B≠0。 分式比分数更具有一般性。 （2） 分式的基本性质 ①分式的分子与分母乘（除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 = A·C B·C ②根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 ③根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 15.2分式的运算 （1） 分式的乘除 ①分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 （2） 分式的加减 ①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 （3）整数指数幂 ①分式的乘方法则： ②一般地，当n时正整数时，，也就是说是的 倒数。 ③运算性质： ④小于1的正数用科学计数法表示： 15.3分式方程 （1） 像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2） 解分式方程的一般方法：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即 方程两边乘最简公分母。 （3） 解分式方程的检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （4） 解分式方程的一般步骤：去分母，化成整式方程→解整式方程，x=a→检验（最简公分母不为0，x=a是分式方程的解；最简公分母为0，x=a不是分式方程的解） 八年级下 第16章 二次根式 16.1二次根式 （1） 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。“”称为二次根号。 （2） 一般地， （3） 一般地，根据算术平方根的意义：, （4） 如 它们都是用基本运算符号（基本运算包 括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 16.2二次根式的乘除 （1） 一般地，。 （2） 把反过来，就得到，，利用它可以进行二次根式的 化简。 （3） 一般地，二次根式的除法法则是 （4） 把反过来，就得到 （5） 最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 16.3二次根式的加减 （1）一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 第17章 勾股定理 17.1勾股定理 命题1（勾股定理）：如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为c，那么。 17.2勾股定理的逆定理 （1） 命题2：如果三角形的边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。 （2） 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 第18章 平行四边形 18.1平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“ ”表示。如平行四边形ABCD记作“ ABCD”。 （1） 平行四边形的性质 ①性质1：平行四边形的对边相等。 ②性质2：平行四边形的对角相等。 ③两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。 ④两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 ⑤性质3：平行四边形的对角线互相平分。 （2） 平行四边形的判定 ①判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ②判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ③判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ④判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ⑤在如图1△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。B A C D E 图1 ⑥三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 18.2特殊的平行四边形 （1） 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形，也就是长方形。 ②矩形的性质1：矩形的四个角都是直角。 ③矩形的性质2：矩形的对角线相等。 ④直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（另外补充：在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；在直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比等于） ⑤矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ⑥矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 ⑦矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。 （2） 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ②菱形的四边形都相等。 ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形的面积：×对角线的积 ⑤菱形的判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ⑥菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ⑦菱形的判定定理3：四条边相等的四边形是菱形。 （3） 正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。既有矩形的性质，又有菱形的性质。 第19章 一次函数 19.1函数 （1） 变量与函数 ①我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 ②一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。如果当时,那么叫做当自变量为时的函数值。 ③像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。 （2） 函数的图象 ①一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 ②描点法画函数图像的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。 ③写出函数解析式，或者列表格，或者画出函数图象，都可以表示具体的函数。这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法。 19.2一次函数 （1） 正比例函数 ①一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数。 ②一般地，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线。当时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小。 ③因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数的图象。一般地，过原点和点（1，k）的直线，即正比例函数的图象。 （2） 一次函数 ①一般地，形如的函数，叫做一次函数。当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 ②一次函数的图象可以由直线平移个单位长度得到（当b＞0，向上平移；当b＜0，向下平移）。 ③一次函数具有如下性质：当k＞0，y随着x的增大而增大；当k＜0，y随着x的增大而减小。 ④先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法。 选取 解出 选取 画出 函数解析式 满足条件的两定点与 一次函数的图象直线 （3） 一次函数与方程、不等式 方程（组）与函数之间相互联系，从函数的角度可以把它们统一起来。解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。 19.3课题学习（选择方案） 第二十章 数据的分析 20.1数据的集中趋势 （1） 平均数 ①根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中2,1,3,4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数分别称为听、说、读、写四项成绩的加权平均数。 ②一般地，若n个数的权分别是，则叫做这n个数的加权平均数。 ③在求n个数的平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次（这里），那么这n个数的平均数，也叫做这k个数的加权平均数，其中分别叫做的权。 （2） 中位数和众数 ①将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 ②一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 （3）平均数、中位数、众数的特点： ①平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用。但它受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大。 ②当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响。 ③中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。 20.2数据的波动程度 （1） 设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数。即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。 （2） 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 20.3课题学习（体质健康测试中的数据分析） 九年级上 第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 （2） 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 21.2解一元二次方程 （1） 配方法 ①一般地，对于方程, a.当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 b..当时，方程有两个相等的实数根 C.当时，因为对任意实数,都有,所以方程无实数根。 ②把方程中的二次项的次数从二降为一的过程，就是“降次”。 ③通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 ④一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： a.当时，方程有两个不等的实数根 b..当时，方程有两个相等的实数根 C.当时，因为对任意实数,都有,所以方程无实数根。 （2） 公式法 ①一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即。 ②由上可知： a.当时，方程有两个不等的实数根； b..当时，方程有两个相等的实数根； c.当时，方程无实数根。 ③当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 ③解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 （3） 因式分解法 解方程过程中，不是用开方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 归纳： 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 （4） 一元二次方程的根与系数的关系 方程的两个根和系数有如下关系：。 21.3实际问题与一元二次方程 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 （1） 二次函数 一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （2） 二次函数的图象和性质 归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。 （3） 二次函数的图象和性质 归纳： 一般地，抛物线与形状相同，位置不同。把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线，平移的方向、距离要根据h,k的值来决定。 抛物线有如下特点： ①当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。 ②对称轴是x=h。 ③顶点是（h，k）。 （4） 二次函数的图象和性质 一般地，二次函数通过配方化成的形式，即，因此抛物线的对称轴是，顶点是。 归纳：求二次函数的解析式，需求出的值。 由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于的方程组，求出的值，就可以写出二次函数的解析式。 22.2二次函数与一元二次方程 归纳： 一般地，从二次函数的图象可得如下结论． （1）如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0,因此是方程的一个根。 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 22.3实际问题与二次函数 第二十三章 旋转 23.1图形的旋转 （1） 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 （2） 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前、后的图形全等。 23.2中心对称 （1） 中心对称 ①把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 ②中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。 （2） 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（线段、平行四边形都是中心对称图形） （3） 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为。 23.3课题学习（图案设计） 第二十四章 圆 24.1圆的有关性质 （1） 圆 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作◉ O，读作“圆O”。 ②圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。因此圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 ③连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 大于半圆的弧用三个点表示，叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。 ④能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。 （2） 垂直于弦的直径 ①圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 ②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 弧、弦、圆心角 ①我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 （4） 圆周角 ①顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。 ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ③同弧或等弧所对的圆周角相等。 ④半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ⑤如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 ⑥圆内接多边形的对角互补。 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 （1） 点和圆的位置关系 ①设圆O的半径为r，点P到圆心的距离，则有： ②不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ③经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 ④假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。 （2） 直线和圆的位置关系 ①直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 ②直线和圆有一个公共点，这时说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 ③直线和圆有没有公共点，这时说这条直线和圆相离。 ④根据直线和圆相交、相切、相离的定义，可得（圆心O到直线l的距离为d）： ⑤经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ⑥切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ⑦经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 ⑧从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 ⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 24.3正多边形和圆 把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 24.4弧长和扇形面积 （1） n°的圆心角所对的弧长为。 （2） 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 （3） 圆心角为n°的所扇形面积是。 （4） 把连接圆锥顶点和地面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 第二十五章 概率初步 25.1随机事件与概率 （1） 随机事件 ①在一定条件下，有些事件必然会发生，称为必然事件。有些事件必然不会发生，称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称确定性事件。 ②在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 （2） 概率 ①一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 ②归纳：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 25.2用列举法求概率 （1） 列表法 （2） 画树状图法 25.3用频率估计概率 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。 九年级上 第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数 （1） 反比例函数 一般地，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 （2） 反比例函数的图象和性质 ①反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。 ②归纳： 一般地，对于反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质： a. 当时，双曲线的两支分别位于第一象限、第三象限；在每一个象限内，y随着x的增大而减小。 b. 当时，双曲线的两支分别位于第二象限、第四象限；在每一个象限内，y随着x的增大而增大。 ③一般地，反比例函数的图象既关于直线对称，又关于直线对称。 26.2实际问题与反比例函数 阻力×阻力臂=动力×动力臂 第二十七章 相似 27.1图形的相似 （1） 我们把形状相同的图形叫做相似图形。 （2） 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 27.2相似三角形 （1） 相似三角形的判定 ①在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。相似用“∽”表示，读作“相似于”。。 ②平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ③平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ④判定三角形相似的定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ⑤判定三角形相似的定理2：三边成比例的两个三角形相似。 ⑥判定三角形相似的定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ⑦判定三角形相似的定理4：两角分别相等的两个三角形相似。 ⑧判定直角三角形相似的定理5：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 ⑨判定直角三角形相似相似：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 （2） 相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 ②相似三角形对应线段的比等于相似比。 ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （3） 相似三角形应用举例 27.3位似 （1）如果一个图形上的点和另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一点O，，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心。 （2）对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形。 （3）一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为K，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点坐标为。 第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数（1） 在中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。即 （2）∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。 （3）30°，45°，60°的正弦值，余弦值，正切值如下表: 锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 28.2解直角三角形及其应用 （1） 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （2） 应用举例 归纳： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； ②根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； ③得到数学问题的答案； ④得到实际问题的答案． 第二十九章 投影与视图 29.1投影 （1） 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。由平行光线形成的投影叫做平行投影。由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 （2） 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。 29.2三视图 （1） 当我们从某一个方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 （2） 对于一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。 （3） 画三视图时，三个视图都要放在正确的位置，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。 29.3课题学习（制作立体模型） 学科网（北京）股份有限公司 $$