精品解析：广西贵港市2023-2024年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2024年春季期高二年纪期末教学质量监测 数学试卷 注意事項： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交集，再求补集即可. 【详解】由题意得，所以． 故选：C. 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】含的项为， 所以所求的系数为． 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 4. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体外接球半径的等于长方体长方体体对角线的一半，再利用球的表面积公式计算得出结果； 【详解】由题意得该正四棱柱的外接球的半径为， 所以该正四棱柱的外接球的表面积为． 故选：D. 5. 若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的单射函数概念举反例判断即可. 【详解】当时，，所以不是单射函数． 当时，是单射函数． 故“”是“是单射函数”的既不充分也不必要条件． 故选: D. 6. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象变换得到，再利用对称中心和整体替换得到的最小值； 【详解】由题意得，由， 得，即．故的最小值为． 故选：C. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用函数导数的四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可. 【详解】令，则，所以单调递减． 由， 得，所以． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项； 【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误； 在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误； 故选：AC. 10. 已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的性质即可求解. 【详解】由题意得的导函数有两个异号零点， 由，得恒成立，A错误； 由，得， 令，得，B正确； 由，得， 令，得， 因为，所以有两个异号零点，C正确； 由，得， 令，得，D错误． 故选：BC. 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为，则该组数据的分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的求解方法解出答案； 【详解】该组数据从小到大依次为，一共有6个数据， 因为，所以该组数据的分位数为第四个数据. 故答案为：. 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理列等式，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】 由，，得， 而，由勾股定理有， 所以，所以，故． 故答案为：. 14. 至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有______个． 【答案】42 【解析】 【分析】运用确定平面的定理，结合组合可解. 【详解】如图，在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个． 因为，所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个， 类似于的平行线还有4组，则仅经过4个顶点的平面有个． 故所求的平面共有个． 故答案为：42． 四、解答题：本题共小题，共77分，解答应与中文丁以功，学习之语表示方法 15. 已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可； （2）运用面积公式得到方程，结合条件,求出,再用余弦定理求即可. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 又，所以，则，即． 因为，所以． 【小问2详解】 由， 得，结合，得． 由余弦定理得， 得． 16. 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. （1）求C的方程； （2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【小问1详解】 C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． 【小问2详解】 设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，设与相交于点，因为， ，所以为平行四边形，即为的中点． 连接，因为为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行； （2）利用向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面． 取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则 令，则，可得． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【小问1详解】 甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知， 要证，即证． 设，则． 令，则， 所以在上递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以． 因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以， 即． 【解析】 【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出的值； （2）将问题转化为证，然后构造函数和，分别利用导数求出的最大值和的最小值，只需即可. 【小问1详解】 解：由题意得， 由切线的斜率为，得， 则切线方程为， 当时，，所以，得． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为求两个函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季期高二年纪期末教学质量监测 数学试卷 注意事項： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为，则该组数据的分位数为______. 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为______． 14. 至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有______个． 四、解答题：本题共小题，共77分，解答应与中文丁以功，学习之语表示方法 15. 已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 16. 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. （1）求C的方程； （2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $