2.1.1直线的倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 问题1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？ 1、过一点能不能确定一条直线? y x . 2、方向相同能不能确定一条直线? y x o 3 l x y O 两点确定一条直线 l1 x y O α1 α2 α3 一点和一个方向确定一条直线 A B 设为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线. O P x y l1 l2 l3 问题2：在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如图)，这些直线的区别是什么？ 追问：这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？ l4 这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，即它们与x轴所成的角不同。因此，可以利用这样的角表示直线的方向。 l x y O 规定：1、当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 2.当直线与轴垂直时，它的倾斜角为90° 直线与轴相交时,取轴为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角. 注: 平面内的任意一条直线都有确定的倾斜角α，其取值范围为： 6 练习 1. 如图，△AOB是等腰直角三角形，则直线OA、OB、AB的倾斜角分别为 3、设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）. A. B. C. D.或 2、如图所示， 直线的倾斜角为（ ）. . . . .不存在 问题3：设P1(x1，y1)， P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，由两点确定一条直线，那么直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系? 直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即.② 斜率 注: (1) 任何一条直线都有倾斜角, 但不一定有斜率. (2) 直线的斜率反映直线的倾斜程度． 10 若直线l的倾斜角为α,则α=90°时,直线l的斜率不存在;α≠90°时,直线l的斜率 k=tan α. 在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度． 成立，因为分子为0，分母不为0，所以k =0 . 追问1：1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？ 斜率不存在，因为分母为0. 追问2：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？ 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 时,斜率越大,倾斜角越大; 时,斜率越大,倾斜角越大. 问题4：直线的倾斜角逐渐增大时,斜率是如何变化的? 斜率范围：（-∞，+∞） O k α 15 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率与倾斜角对应关系 16 例1：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 例2：已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 4、若已知点,另有两点,,若过点的直线与线段有交点,则直线的斜率取值范围为________. 5、若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）. . . . . 练习 6.(多选题)下列说法中,错误的是 (　　)A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等 7.若直线的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍,则的斜率为 (　　) A.1　　B. 8.已知直线的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为 (　　)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) $$