重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破02 解三角形图形类问题 目录 01 方法技巧与总结 2 02 题型归纳与总结 2 题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 2 题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 4 题型三：张角定理与等面积法 5 题型四：角平分线问题 6 题型五：中线问题 7 题型六：高问题 9 题型七：重心性质及其应用 10 题型八：外心及外接圆问题 12 题型九：两边夹问题 13 题型十：内心及内切圆问题 14 03 过关测试 15 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【典例1-2】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【变式1-1】如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求； (2)若，求． 【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求. 【变式1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 【典例2-1】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【典例2-2】如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角； (2)若点在上，，，求的值. 【变式2-2】平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 题型三：张角定理与等面积法 【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）的内角的对边分别是，且， (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积． 【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小; (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，，求的面积． 【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在中，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值. 题型四：角平分线问题 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 【典例4-2】如图所示，在中，，AD平分，且. (1)若，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若，求k为何值时，BC最短. 【变式4-1】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，. (1)求； (2)作角的平分线，交边于点，若，求的长度； (3)在（2）的条件下，求的面积. 【变式4-2】已知的内角的对边分别为，其面积为，且 (1)求角A的大小； (2)若的平分线交边于点，求的长. 题型五：中线问题 【典例5-1】如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点． (1)求的正弦值； (2)当点为中点时，求的余弦值． (3)当取得最小值时，设，求的值． 【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求b边的长度； (2)求的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 【变式5-2】在中，内角，，所对的边分别为，，， (1)已知， （i）求； （ii）若，为边上的中点，求的长. (2)若为锐角三角形，求证： 【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积. (1)求角的大小； (2)设是边的中点，若，求的长. 题型六：高问题 【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为. (1)求的面积； (2)求边上的高. 【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边上的高. 【变式6-1】在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若是边上的高，且，求． 题型七：重心性质及其应用 【典例7-1】（2024·四川内江·一模）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c.且 (1)求∠ACB的大小； (2)若，求的大小. 【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，①直接写出______；②设，求的值 (2)求的取值范围． 【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 题型八：外心及外接圆问题 【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在中，角的对边分别为. (1)求角的余弦值； (2)设点为的外心（外接圆的圆心），求的值. 【典例8-2】已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 【变式8-1】的内角的对边分别为的面积为. (1)求； (2)设点为外心，且满足，求. 【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点． (1)若，求面积的最大值； (2)证明：． 【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求角的大小和边的取值范围； (2)如图，若是的外心，求的最大值. 题型九：两边夹问题 【典例9-1】在中，角所对的边分别为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】在中，、、分别是、、所对边的边长.若，则的值是（    ）. A．1 B． C． D．2 【变式9-1】在中，已知边所对的角分别为，若，则 _________________ 【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在中，已知边所对的角分别为，若，则_____． 【变式9-3】在中，已知边、、所对的角分别为、、，若，，则的面积______. 【变式9-4】在中，若，则角__． 题型十：内心及内切圆问题 【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求的周长的取值范围； (2)若的内切圆半径，求的面积S. 【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在中，设所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若的内切圆半径，求的面积． 【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求内切圆半径取值范围． 【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求的外接圆半径R； (2)求内切圆半径r的取值范围． 【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 . (1)求; (2)求的内切圆半径 的取值范围 1．如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 2．如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 3．（2024·全国·模拟预测）在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 4．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. (1)当为边中点时，若，求的长度； (2)当为的平分线时，若，求的最大值. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，角A为△ABC的内角，且． (1)求角A的大小； (2)如图，若角A为锐角，，且△ABC的面积S为，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长． 6．（2024·全国·模拟预测）在中，角，的对边分别为，的面积为，． (1)求角． (2)若的面积为，，为边的中点，求的长． 7．（2024·四川成都·三模）在中，． (1)求的长； (2)求边上的高． 8．（2024·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 9．（2024·高三·河南·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的高为，求． 10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长. 11．在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且． (1)把表示为（，）的形式，并判断能否等于？说明理由． (2)已知，均不是直角，设是的重心，，，求的值． 12．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 13．（2024·河南开封·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知为的重心． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 14．（2024·辽宁抚顺·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列. (1)若，求的面积. (2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由. 16．（2024·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 17．在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求内切圆周长的最大值. 19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为. (1)求的值； (2)若点在上，且三点共线，求的值. 21．（2024·贵州·模拟预测）在中，，，，为的中点，的角平分线交于点. (1)求的长； (2)求的面积. 22．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 23．（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知 (1)求b； (2)D为边上一点， ，求的长度和 的大小. 24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破02 解三角形图形类问题 目录 01 方法技巧与总结 2 02 题型归纳与总结 2 题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 2 题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 8 题型三：张角定理与等面积法 12 题型四：角平分线问题 16 题型五：中线问题 21 题型六：高问题 30 题型七：重心性质及其应用 33 题型八：外心及外接圆问题 37 题型九：两边夹问题 42 题型十：内心及内切圆问题 44 03 过关测试 49 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【解析】（1）如图所示， 在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示， 当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 【典例1-2】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【解析】（1） 设， ， ，， ， （2）由（1）知：， 中，， ，故得：， 设中， ， ， 中，，， ， 两式相除得：， ， ，， ， 为锐角，故. 【变式1-1】如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求； (2)若，求． 【解析】（1）在中，，所以， 在中，，所以，又， 所以， 在中由余弦定理， 即， 所以. （2）由已知可得，又，所以，， 设，，则， 在中由正弦定理，即，所以， 在中由正弦定理，即，所以， 又，所以，解得或， 由， 当时， 当时， 所以或. 【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求. 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简可得，由余弦定理可得， 因为，所以，. （2）因为，则为锐角，所以，， 因为，所以，， 所以，， 设，则， 在和中，由正弦定理得，， 因为，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以，. 【变式1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得； ，，，则； （2） ，，； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ， 即， 题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 【典例2-1】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【解析】（1）中，设，则，解得 ，； （2）设，则 设，， 中， 中， ，，可得，化简得，即 又，，即 ，解得 【典例2-2】如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 【解析】（1）连接BD． 因为，所以． 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② 由，，结合①②可得． （2）由（1）知，， ，又，所以，则． 连接BD， 在中，由余弦定理得 ； 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得或． 当时，连接AC，在中，由余弦定理，得 ， 所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意， 此时梯形ABCD的高， 当时，梯形ABCD的面积； 所以梯形ABCD的面积为． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角； (2)若点在上，，，求的值. 【解析】（1）因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，即， 因为，所以. （2）如图，因为，，设，，    在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【变式2-2】平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 【解析】（1）因为，，所以， 在中由余弦定理 ； （2）在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； （3）因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. 题型三：张角定理与等面积法 【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）的内角的对边分别是，且， (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 所以由余弦定理得，又因为， 所以. （2）如图所示 因为即， 化简得①, 又由余弦定理得即②， ①②联立解得（舍去）或， 所以. 【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小; (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【解析】（1）由已知，得， 根据正弦定理，得， 即， 即， 由于，， 所以，所以； （2）因为， 所以， 因为直线为的平分线， 所以， 所以， 则，即， 由余弦定理得，即， 所以， 解得或（舍）， 故的周长为. 【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得． 因为，所以． （2）如图所示，因为， 所以． 又因为，所以． 由余弦定理得， 联立方程组，可得，即， 解得或（舍去）， 所以． 【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在中，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值. 【解析】（1）∵， ∴， 又∵， ∴. 在中，， ∴. （2）∵， ∴， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 在中， 由余弦定理得. ∴， ∴. 题型四：角平分线问题 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 【解析】（1）方法一：由余弦定理得 ， 所以（当且仅当时取等号）． 又因为， 所以． 故的最大值为. 方法二：由知，点A在的优弧上运动（如图所示）． 显然，当点A在的中垂线上时，即点位于点处时，边上的高最大． 此时△为等腰三角形， 又，故△为正三角形， 根据得．故的最大值为. （2）方法一：因为， 所以， 所以， 即． 由正弦定理得， 结合（1）可得，所以， 所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为是边上的中线，所以， 所以． 方法二：同方法一可得． 又因为，所以△是以角为直角的直角三角形． 由于平分是边的中线，且 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 方法三：由得， 则． 又因为，所以． 由是角平分线知， 在中易得， 又因为，所以， 所以． 【典例4-2】如图所示，在中，，AD平分，且. (1)若，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若，求k为何值时，BC最短. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以，得， 所以； （2）因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （3）由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为， 所以，所以， 由（2）知， 所以， 即当时，最短. 【变式4-1】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，. (1)求； (2)作角的平分线，交边于点，若，求的长度； (3)在（2）的条件下，求的面积. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 由，得，则， 于是， 整理得，而，则， 所以. （2）由AD为的平分线，得，由（1）知，， 在中，由正弦定理，则， 由余弦定理得，即， 整理得，而， 所以. （3）由（2）知，， 由正弦定理得，则， 所以的面积． 【变式4-2】已知的内角的对边分别为，其面积为，且 (1)求角A的大小； (2)若的平分线交边于点，求的长. 【解析】（1）， 由正弦定理得：，即 即，即 所以， 因为，所以. （2）由（1）知：，所以， 即，解得：， 由余弦定理得：，所以， 解得：，解得：或 当得：， 则， 所以， 在三角形ABT中，由正弦定理得：，， 即，解得：； 当时，同理可得：； 综上： 题型五：中线问题 【典例5-1】如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点． (1)求的正弦值； (2)当点为中点时，求的余弦值． (3)当取得最小值时，设，求的值． 【解析】（1）解法1、由余弦定理得， 即，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为与互补，所以，解得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以． 解法2、由题意可得，， 由为边上的中线，则， 两边同时平方得，， 故， 因为为边中点，则的面积为面积的， 所以， 即， 化简得，． 解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系 则，，， 所以，， 所以， 因为，所以． （2））方法1、在中，由余弦定理， 得， 所以， 由，分别为边，上的中线可知为重心， 可得，， 在中，由余弦定理，得， 又由，所以． 解法2：因为为边上的中线，所以， ， ，即． 所以． 解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系： 则，，，， 所以，． 所以． （3）设，， 当即时，取最小值， ， ，， ， ，，三点共线， . 【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求b边的长度； (2)求的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【解析】（1）由已知条件可知： 在中，由正弦定理 得 在中，由余弦定理 得 ，又 （2）设 为BC边上中线 则 ① 或 由①，得 （3）设，，（） ， 根据三点共线公式，得 （，为∠BAC） 【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 【解析】（1） 如图所示， 由余弦定理得，， 代值计算得到，求得； 由于，代值计算得，求得 （2）在中，； 在中，； 两式相加，且，得到，则原式得证． （3）由于 则由正弦定理，得， 即， 去分母整理得到，即． 且，则，则． 由于，且，即 联立解出 由于，则， 解得，则（负数不满足）. 由余弦定理得到，代值计算，， 则， 则． 【变式5-2】在中，内角，，所对的边分别为，，， (1)已知， （i）求； （ii）若，为边上的中点，求的长. (2)若为锐角三角形，求证： 【解析】（1）（i）因为，，所以， 由正弦定理可得：，即， 因为在，，， 则， 因为，所以或； （ii），所以，则，则， 由正弦定理可得：，即， 又，解得，， 因为为中点，则， 在中，由余弦定理可得：， 即，则. （2）因为为锐角三角形，，则，则， 要证，即证， 由于 ， 由，则，所以， 故，则，则，证毕. 【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积. (1)求角的大小； (2)设是边的中点，若，求的长. 【解析】（1）据，可得， 即， 结合正弦定理可得. 在中，， 所以， 整理得. 因为，，故，即， 又，所以. （2） 法一：因为是边的中点，，所以. 在中，，则. 在中，，，， 据正弦定理可得，，即， 所以. 所以，即， 所以， 又，， 所以，解得， 所以. 法二：因为是边的中点，故， 所以，即， 整理得① 在中，据余弦定理得，， 即② 联立①②，可得，. 在中，据勾股定理得，， 所以. 法三：延长到点，使得. 在中，，，故， 又是的中点，所以是的中点， 所以，，且. 在中，，，， 所以，且. 所以，即，解得（负舍）， 所以. 法四：延长到，使，连结，. 因为是的中点，且， 故四边形是平行四边形，. 又，所以. 在中，，，，， 所以，且. 在中，，，，， 据勾股定理，可得， 将代入上式，可得（负舍）， 所以. 题型六：高问题 【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为. (1)求的面积； (2)求边上的高. 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，，则， 根据余弦定理，得， 所以，所以， 所以. （2），所以. 【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边上的高. 【解析】（1）∵， 由正弦定理可得：， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）如图所示， ∵， ∴. 由余弦定理可知. 而，解得， 所以AB边上的高为. 【变式6-1】在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【解析】（1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2） 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若是边上的高，且，求． 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，， 则有，得． （2）方法一 ：，，， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 方法二 ：中，由余弦定理得， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 所以． 由平面向量基本定理知，， 所以． 题型七：重心性质及其应用 【典例7-1】（2024·四川内江·一模）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理可得,，，即， 所以，，， 故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且，在中，，，即， 在和中，,化简得， 所以，故， 所以的面积为． 【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c.且 (1)求∠ACB的大小； (2)若，求的大小. 【解析】（1）由题意知，，， 由正弦定理，得， 整理，得，又， 所以， 有，又，所以， 由，得，即. （2）由题意知，点C是的重心， 如图，延长DA、BC分别交AB、AD于点E、F，则E、F分别是AB、AD的中点， 由（1）知，又，则，得， 由，知为等边三角形，有，所以， 在直角中，，所以， 在中，由余弦定理， 得， 由，得， 即的值为. 【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，①直接写出______；②设，求的值 (2)求的取值范围． 【解析】（1）①设的中点为，则三点共线且， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以在中，由余弦定理得， 所以. 故答案为：. ②以为原点，所在直线为轴建立如图平面直角坐标系，设，则 ，，， ，，故， 所以， 所以. （2）设，则，， ，故，即 所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 即. 【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 【解析】（1）在中，由O是重心，得 ，即有， 于是，解得， 而，所以. （2）由（1）得，又O是重心， 所以的面积. 题型八：外心及外接圆问题 【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在中，角的对边分别为. (1)求角的余弦值； (2)设点为的外心（外接圆的圆心），求的值. 【解析】（1）在中，， 由余弦定理； （2）设的中点分别为， 则， 同理. 【典例8-2】已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 【解析】（1），在中，由正弦定理得， 又，则，即， ，即， ，， ； （2）由（1）得，设的外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 则，在中，由余弦定理得， ，，， 在中，由正弦定理得， ，即是等边三角形， 的面积为. 【变式8-1】的内角的对边分别为的面积为. (1)求； (2)设点为外心，且满足，求. 【解析】（1）， 两式相除得：， 又，∴. （2）为外心，故. 由正弦定理可知：. 【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点． (1)若，求面积的最大值； (2)证明：． 【解析】（1）由正弦定理，得， 所以， 又，所以或， 当时， 由余弦定理，得 ， 所以，的面积， 当且仅当时，取等号； 当时， 同理可得，的面积， 当且仅当时，取等号． 综上，面积的最大值为； （2）证明：设， 由余弦定理知，， 因为， 所以， 化简整理得， 而，因此， 又因为是外心，故， 同理可知， 因为恰为的中点， 因此，所以． 【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求角的大小和边的取值范围； (2)如图，若是的外心，求的最大值. 【解析】（1）在中，由结合正弦定理可得： ， 因为，则， 化简得，即， 又因为，则， 所以，解得， 由正弦定理，化简得， 因为，所以，所以. （2）解法1：由正弦定理得，且， 因为 ， 当点O不在外部时（如图）， ； 当点O在外部时（如图），， ； 由（1）可知， 即当时，则的最大值为. 解法2：由题可知：， 如图，分别取线段的中点， 由于O是的外心，则， 则 ， 所以， 由余弦定理得，即， 整理得， 所以， 由（1）可知， 即当时，则的最大值为. 题型九：两边夹问题 【典例9-1】在中，角所对的边分别为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 所以， 可得， 所以， 由正弦函数与余弦函数的性质，可得且， 因为且， 所以，解得，所以， 又由正弦定理可得. 故选：C. 【典例9-2】在中，、、分别是、、所对边的边长.若，则的值是（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 即 所以，所以，所以，故选B. 【变式9-1】在中，已知边所对的角分别为，若，则 _________________ 【答案】 【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得,即 因为 所以 【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在中，已知边所对的角分别为，若，则_____． 【答案】-1 【解析】由得 由正弦定理得 ， 由余弦定理得,即 因为 所以 【变式9-3】在中，已知边、、所对的角分别为、、，若，，则的面积______. 【答案】 【解析】正弦定理得， 由余弦定理得， 即， 因为， 故， 故可得，当且仅当，即时取得. 也即当时取得等号， 所以，即. 所以的面积为. 故答案为：. 【变式9-4】在中，若，则角__． 【答案】 【解析】，， 即， ，， ，等价于且， 为的内角，所以且，即． 则是等腰直角三角形，． 故答案为：． 题型十：内心及内切圆问题 【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求的周长的取值范围； (2)若的内切圆半径，求的面积S. 【解析】（1）由及余弦定理得， ，即， 所以． 又，所以， 所以由正弦定理得， 所以，， 则 ， 又因为，所以，所以， 即，即， 故的周长的取值范围为； （2）解法一： 由（1）得，因为， ，，所以， 由得， 从而， 即， 解得或（舍去）， 所以． 解法二： 如图，设圆O是的内切圆，各切点分别为D，E，H． 由（1）知，所以． 又因为， 所以由切线长定理得， 于是，， 又，即， 所以． 【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在中，设所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若的内切圆半径，求的面积． 【解析】（1）在中，由得， 即, 故，由于， 故，而，故. （2）由可得，而， 故，则， 由的内切圆半径，可得， 即，即， 故，解得， 故的面积. 【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【解析】（1）由及正弦定理， 得， 故， 即， 即． 由，则，故，即． 因为，所以． （2）由（1）和余弦定理可得，， 故，， 即，当且仅当时等号成立． 故． 由利用等面积法求得的最大值，易知， 故，故， 利用正弦定理，所以的最小值为2． 【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求内切圆半径取值范围． 【解析】（1）由题意得，即，，故． （2）因为，为内切圆半径， 所以． 设，则， 又因为，，，， 所以三角形内切圆半径的取值范围为． 【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求的外接圆半径R； (2)求内切圆半径r的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由，则. （2）由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故. 【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 . (1)求; (2)求的内切圆半径 的取值范围 【解析】（1）由正弦定理可得，，即， 所以， 由可知，， 所以，故. （2）因为的内切圆半径 ， 所以， 即， 又因为，所以， 所以， 由正弦定理 ， 又，则， 所以，故， 所以. 1．如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【解析】（1）由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 2．如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 【解析】（1）在中， ， 因此，当且仅当时取等号． 故周长的最大值是． （2）设，则，． 在中，， 在中，． 两式相除得，，， 因为， ， ，故． 3．（2024·全国·模拟预测）在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 【解析】（1）因为， 又， 所以．又，所以，所以． 因为，所以． （2）设，则． 由余弦定理，得，故． 由角平分线的性质及三角形的面积公式，知，故． 在中，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以，即． 又，所以为锐角，故． 4．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. (1)当为边中点时，若，求的长度； (2)当为的平分线时，若，求的最大值. 【解析】（1）因为， 所以，即. 由正弦定理，得. 因为，所以. 因为，所以. 又因为，所以，所以. 因为为边中点，所以，则. 又， 所以，即，即， 所以. （2）在中，由余弦定理，得. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以. 因为平分， 所以， 所以， 所以. 令，则. 因为在上单调递增， 所以当即时，取得最大值为， 所以的最大值为. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，角A为△ABC的内角，且． (1)求角A的大小； (2)如图，若角A为锐角，，且△ABC的面积S为，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长． 【解析】（1） ， 则， 因为，所以，所以， 所以或； （2）若角A为锐角，则， 设角的对边分别为， 则，所以， 如图，连接， 因为点E、F为边AB上的三等分点，所以为的中点， 因为点D为边AC的中点，所以点为的重心， 则， 所以， 又， 所以， 即线段AM的长为． 6．（2024·全国·模拟预测）在中，角，的对边分别为，的面积为，． (1)求角． (2)若的面积为，，为边的中点，求的长． 【解析】（1）由题意得 ， 由正弦定理，得，即， 所以．又，所以． （2）因为的面积为， 所以，所以． 因为，所以， 即，所以． 因为是边的中点，所以， 所以， 所以，所以的长为． 7．（2024·四川成都·三模）在中，． (1)求的长； (2)求边上的高． 【解析】（1）由题，，，，由余弦定理得， ，解得，即. （2）在中，，，设边上的高为， 则，即，解得. 所以边上的高为. 8．（2024·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 9．（2024·高三·河南·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的高为，求． 【解析】（1）由正弦定理有， 有， 又由余弦定理有； （2）由得， 又由余弦定理和，有， ， 又由边上的高为2，有， 有，可得， 有，可得， 联立方程组，解得或. 10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 由正弦定理得，即； （2）由题意得，， 由余弦定理得， 解得（负值舍去）， 因为边上的高为， 所以， 则，所以，， 故的周长． 11．在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且． (1)把表示为（，）的形式，并判断能否等于？说明理由． (2)已知，均不是直角，设是的重心，，，求的值． 【解析】（1）∵，∴， ∴ ， 当且仅当，即时，取得最大值． 如图, 设为等腰直角三角形，即满足, 过作的平行线, 由平面几何的知识得， 在平行线上存在一点,使得满足， 故存在，当时 （2） 如图：连结并延长交于E，作于D， 因为，所以， 因为是的重心，所以， 因为,所以D与E不会重合， 所以， 在中，E是的中点，则， 所以， . 12．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故，所以， 所以的面积为． 13．（2024·河南开封·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知为的重心． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【解析】（1）因为， 所以，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，， 因为，整理得，解得， 所以 （2）由（1）知，记边的中点为 因为为的重心，， 所以，边上的中线长为，即， 因为， 所以， 因为， 所以，当为锐角时，，则由得，解得或，不满足题意，舍去； 当为钝角时，，则由得，解得或， 所以，当，的面积为 当，的面积为. 14．（2024·辽宁抚顺·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故， 所以， 所以的面积为． 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列. (1)若，求的面积. (2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由. 【解析】（1），由正弦定理得， a，b，c是公差为2的等差数列，，， ，，，， ， ，且，， 故的面积为. （2）假设存在正整数b，使得的外心在的外部，则为钝角三角形， 依题意可知，则C为钝角，则， 所以，解得， ，， ， 存在正整数b，使得的外心在的外部，此时整数b的取值集合为. 16．（2024·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【解析】（1）证明：设， 由余弦定理知：，， 由是外心知， 而， 所以， 即， 而，因此， 同理可知， 因此， 所以； （2）由（1）知， 由余弦定理知：，， 代入得， 设，则， 因此， 当且仅当时取到等号， 因此的最大值为. 17．在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求内切圆周长的最大值. 【解析】（1）由已知， 由正弦定理可得. 又，， 得， 上式化简得， 所以，因为， 所以； （2）由余弦定理可得， 得到，所以. 设内切圆的半径为，， 所以， 又， 又，，且， 则， ，， 所以， 故内切圆周长为. 19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 【解析】（1）在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. （2）根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故， 即. 20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为. (1)求的值； (2)若点在上，且三点共线，求的值. 【解析】（1）在中，由余弦定理得： ，即 设内切圆的半径为，则 （2）在中，由（1）结合余弦定理得， 平分点到的距离相等，故， 而 21．（2024·贵州·模拟预测）在中，，，，为的中点，的角平分线交于点. (1)求的长； (2)求的面积. 【解析】（1）∵， 即， ∴， ∴， ∴（舍）或， ∵为的中点， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴. 22．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 23．（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知 (1)求b； (2)D为边上一点， ，求的长度和 的大小. 【解析】（1）由题意知在中，， 故，即， 由于，故； （2）由（1）知，结合，得， 又，故，又， 则， 又，则， 故，即，即， 结合，解得， 则，， 而为锐角，故. 24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【解析】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$