数学(四)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（四） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an一3n,则a218= 超 A.22018-1 B.32018-6 2018 201810 如 2.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且b,=a+1一a.(n∈N),若b=-2,bo=12,则 ag等于 ( A.0 B.3 C.8 D.11 邮 3.已知a1a2,a3,a依次成等比数列，且公比g不为1.将此数列删去一个数后得到的数列 (按原来的顺序)是等差数列，则正数g的值是 ( 长 A.1+5 B.±1+⑤ C.±1+3 D.-1+3 2 2 2 4.下面说法正确的是 Z A.若f(x。)不存在，则曲线y=f(x)在点(x。,f(x)处没有切线 那 B.若曲线y=f(x)在点(.x。,f(xo))处有切线，则f(x。)必存在 C.若f(xo)不存在，则曲线y=f(x)在点(xo,f(x)处的切线斜率不存在 批 D.若曲线y=f(x)在点(x,f(x)处没有切线，则f(xo)有可能存在 元曲线)=一二在点M1,-2)处的切线方程为 好 A.y=-2x+4 B.y=-2x-4 C.y=2.x-4 D.y=2x+4 6.已知函数f(x)=(x2十x一1)e,则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( A.y=3e.r-2e B.y=3ex-4e 阳 C.y=4ex-5e D.y=4ex-3e 7.已知数列{an}满足a1=0,am+1=an十2√a,+1十1，则a1a= ( ) A.143 B.156 C.168 D.195 8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)一f(x)<1,f(1)=2,则不等式 莹 f(.x)-1>e-的解集为 A.(-∞，1) B.(-o,2) C.(1,+o∞) D.(2,+∞) 4-1 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{a,的前n项和，若a1·a,=32,a2十a=12,则 下列说法正确的是 A.q=2 B.数列{S,十2}是等比数列 C.S.=510 D.数列1gam}是公差为2的等差数列 10.函数y=2x3一3.x2一12x+5在[一2,1]上的最值情况为 A.最大值为12 B.最大值为5 C.最小值为一8 D.最小值为一15 11.若数列{an}满足：对任意正整数n,{an+1一a.}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数 列”.给出下列数列{an}(n∈N·),其中是“差递减数列”的有 A.a =3n B.4,=n2+1 C.am=√n D.an=ln” n+1 12.下列结论中不正确的是 A若y=c0s子，则y=-n} B.若y=sinx2,则y=2 xcos x C.若y=cos5.x,则y'=-sin5.x D,若y=2xsin2x.则)y=xsin2x 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.等差数列{an}的前11项和S,=88,则a3十a。= 14.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x一y十1=0，则点P的坐标是 15.已知函数)=号x-2十cx十d无极值，则实数c的取值范围为 16.在数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N,都有a1·a2·ag·…·an=n2,则a十 as= 4-2 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知等比数列{am}的前n项和为S。,若4，，ag,a5成等差数列，且 S=33,S4+1=-63. (1)求k及am: (2)求数列{an}的前n项和. 4-3 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3一3ax+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为3.x十y+m=0. (1)求实数a,m的值； (2)求f(x)在区间[1,2]上的最值. 4-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x一kx十k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 4-5 20.(本小题满分12分)在数列{an}中，设f(n)=a,且f(n)满足f(n十1)一2f(n)=2(n∈N), 且a1=1. （1)设6=2品，证明数列么为等差数列： (2)求数列{a.}的前n项和Sm, 4-6 21.(本小题满分12分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2,a=a2十4. (1)求{am}的通项公式； (2)设{b}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an十bn}的前n项和Sm· 4-7 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1nx十x2. (1)求h(x)=f(x)一3x的极值： (2)若函数g(x)=f(x)一a.x在定义域内为增函数，求实数a的取值范围. 4-8所以切点为(1,11)， 则数列{am十1}是首项为一2.公比为一2的等比数列， 切线方程为y一11=一2(x一1)，即2.x十y一13=0. (2)二次函数f(x)=12-x2为偶函数，其图象是开 据此有：a2018十1=(-2)×(-2)2017=22018. 口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需考虑一侧 ∴a2018=22018-1.故选A.] 的情形即可 2.B[设(bn}的公差为d, 不妨考虑x>0时的情形. ,b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴.d=2. 设切点为(t,12-t),t>0,可求得切线方程为 y-(12-t2)=-21(.x-t). by=-2,.1=bg-2d=-2-4=-6. 得y=-21x+12+12, 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,12+12), 6+be++b=7a+2d o =7×(-6)+21×2=0. 又b1+b2+…+b=(a2-a1)十(a3-a2)+…+ S)=210A1·10B1= .2+12.（2+12)= 1 (a8-a7)=a8一a1=a8-3=0. 2 +242+144 .a8=3.故选B.] AL 3.B[因为公比q不为1，所以别去的数不是a1,a4.若 S(0=30+242-14-32+12(2-4 删去a2,则由2ag=a1十4得2a14=a1十a1g,又a1≠0，所 41 以2g=1+g,整理得g(q-1)=(q-1)(q十1).又q≠1， t,S(t),S(t)的变化情况如下表所示： (0,2) 2 (2,+0) 所以g=g十1，又9>0，得9=15若期去a则由 S'() 0 + 2a2=a1十a4得2a19=a1十a1g3.又a1≠0，所以2g=1 S() 极小值 +g,整理得g(q十1)(g-1)=q-1.又≠1，则可得 故当1=2时，S(t)取得最小值，为S(2)=32. qg十1D=1,又g>0,得q=一15.综上所速，9 21.[解](1)当n=1时，4S1=4a1=a1+2a1+1,整理 2 得(a1-1)2=0,.a1=1. ,4Sn=a7+2an+1,.4Sw+1=a7+1+2aw+1+1, 士1十5.故选B.] 2 两式相减得4am+1=a+1一a后十2an+1一2am, 4.C[(xo)的几何意义是曲线y=f(x)在点(xo, 即a7+1-a2-2aw+1-2an=0, ∫(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的 即(am+1十am)(am+1一an一2)=0， :数列{an}各项均为正数，an+1十am>0, 针率不存在，但存在切线.] …am+1au=2, ∴.数列{am}是首项为1，公差为2的等差数列， 2 故am=1+2(n-1)=2n-1. 5.C =1十A所以当4x→0时， (2)b1=a1=1,.bn=b1q-1=g-1 2m+5=1十 f(1)=2,即k=2.所以直线方程为y十2=2(x-1). 依题态释仔-2”和除样g-吉当 即y=2.x一4.故选C.] 6 2m-7∈N+, 6.D[因为f(x)=(x2+x-1)e2,所以∫(x)=(x2+ 3x)e,f(1)=e,则f(1)=4e. 2011或2加1=3所以四}浅0 19=3, 因此，切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. 当m=1时，bm=7w-1:当m=2时，bm=3"-1 故选D.] 综上所述，bm=7m-1或bn=3”-1. 7.C[由a+1=an十2√an+1+1得am+1+1=(Wan+I 22.[解]函数f(x)的定义城为{xx≠a}. (1)当z>a时，e>0,x-a>0,.f(x)>0 十1)2，所以√an+1+1-√/an十1=1，又a1=0,√am+I 即f(r)在(a,+o∞)上无零，点. =,am=n2-1,则a13=132-1=168.] (2)当x<a时，f(x）=e(r-a)+1 x-a 令g(.x)=c(x-a)+1,则g√(x)=er(x-a+1). &C[物连函量g)-,则g()- 由g'(x)=0得x=a-1. 当x<a-1时，g'(x)<0: (x)-f)十l>0,函教g(x)在R上单调递增. er-I 当x>a-1时，g'(x)>0, 又f(x)-1>e-1,g(1)=1, ∴.g(x)在（一c∞，a一1）上单调递减，在(a一1，十o∞) 上单调递增， ∴.原不等式等价于g(x)>g(1), .g(x)mim=g(a-1)=1-e4- 原不等式的解集为(1，十∞).故选C.] ∴.当a=1时，g(a-1)=0,∴.x=a-1是f(x)的唯 9.ABC[因为数列{ar}为等比数列，又a1·a4=32,所 一零点： 当a<1时，g(a1)=1--1>0.∴.fx)没有零点： 以a2·a3=32,又a2+ag=12, 当a>1时，g(a-1)=1--1<0,∴f(x)有两个零点。 fa2=4, a2=8, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（四） a2=4, 1.A[由题意可得：3Sm=2am-31,3Sm+1=2am+1 所以a=8,或ag=·又公比g为整数，则a=8 -3(+1), 1 q=2, 两式作差可得：3an+1=2au+1一2am一3，即am+1 q=2 g=2. -2am-3,am+1十1=-2(an十1)， 结合3S1=2a1-3=3a1可得：a1=-3,a1十1=-2， 即a,=2.5-2X0292=2+1-2. 1-2 对于选项A,由上可得q=2.即选项A正确： 18.[解](1)f(x)=3x2-3a. 对于选项8十22-票-2，期数 :曲线f(x)=x3-3ax十2在x=1处的切线方程为 3.x+y+m=0, 列{Sm,十2}是等比数列，即选项B正确； 对于选项C,S8=2-2=510,即选项C正确： f0)3二3a二3解得a=2m=0. 1f(1)=3-3a=-3-m, 对于选项D,lgdm+1一lgam=(n十1)lg2-nlg2=lg2,即 (2)由(1)知，f(x)=x3-6x十2，则了(x)=3x2-6, 数列(1gam}是公差为lg2的等差数列，即选项D错 令f(x)=0,解得x=士V2, 误.故选ABC. ∴f(x)在[1，w2)上单调递减，在(2,2]上单调递增， 10.AC[y'=6.x2-6.x-12. 由y'=0→x=-1或x=2(舍去). 又f(1)=1-6+2=-3,f(2)=23-6×2+2=-2. x=一2时，y=1r=一1时，y=12.x=1时，y=一8. f(w2)=(w2)3-6×2+2=2-4√2. ·ymx=12,ymim=一8.故选AC.] .f(x)在区间[1,2]上的最大值为一2，最小值为 1L.CD[对A,若am=3n,则am+1-am=3(n十1)-3n 2-4w2. =3,所以{am+1一am}不为递减数列，故A错误； 19.[解](1)(x)=3.x2-k. 对B,若an=n2十1，则an+1一am=(十1)2-n2=2n 当k=0时，f(x)=x3,故f(.x)在（一∞，十o∞）单调 十1，所以{an+1一am}为递增数列，故B错误. 递增， 对C,若am=n,则am+1一am=√n十T一n= 当k<0时，f(x)=3x-k>0,故f(x)在(-c∞，十o) 1 单调递增. n+I+√ ,所以{an+一am}为递减数列，故C正确. 当>0时，令∫(x)=0,得x=士 对D,若a,=nn则a+1-an=n号 3 n+2 当x∈（ 帝=n}中-+》 o∞，-3k 3 时，f(x)>0: 当x∈（ 3,3k)时，(x)<0 由西量y=n(1+十2z)在0，十∞)递浅，所以数 3 k 列{am+1一am}为递减数列，故D正确.故选C,D.] 当xe(+)时fx>0. 12.ACD 13.16[:等差数列{an}的前11项和S11=88, 故)在(，-（匹，+单递增， 3 5n-11a,+am-88,a1十a1=16. 2 在(-巫，巫)单调递减。 根据等差数列性质：a3十ag=a1十a11=16.] 3 ·3 14.(e,e)[令f(x)=xlnx,则f(x)=lnx+l,设 (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在（一∞，十c∞）单调递 P(xo,yo),(o)=In .xo+1=2, 增，f(x)不可能有三个零点， .xo=e,此时yo=roln .ro=elne=e, 当k>0时，x=一 ∴.，点P的坐标为(e,e).门 3为(x)的极大值点， 3 [片十o四）[：fx)=2-x十c,要使fx)无极 15. =平为的极小值点。 值，则方程f(x)=x2一x十c=0没有变号的实数 解，从而△=1-40≥】 此时，-k-1<-3乐3 3 3 <k+1 61 16. [由题意知a1·a2·ag·…·am-1=(1-1)2, 且f(-k-1)<0,f(k+1)>0,f- 3k)>0 3 a= (m≥2.aa+as=()广+(）)】 根据)的单洞性，当里权当(） <0 即k2-2坠乐<0时x)有三个零点，解得<7 9 17.[解](1)2a3=a4+a5→2=q+q→(q+2)(g-1) =0→q=-2或q=1, 国此长的取值范周为(0，号) ①当q=1时：a+1=Sk+1-Sk=一96，这与S:=33 20.[解析](1)证明：由已知得a+1=2am十2”， 矛盾： ②当g=2时：5+1=11一 得b,_am+12a十2=24”+1=，+1， 2 1-g =-632a1=3: 所以bn+1一bn=1, (ak+1=a1·g=-96 又am=1,所以b1=1, k=5→am=3×(-2)"-1 所以{bm}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)bn=an=3n×(-2)m-【,则有： Tm=b1+b2+bg+…+bm-1+bm=3×[(-2)0+2× (2)由1知.6，=2是当=，所以a,=n,20- (-2)+…+(n-1)×(-2)4-2+n×(-2)”-1门， 所以Sm=1+2·21+3·22+…+n·2"-1, (-2)Tm=3×[(-2)1+2×(-2)2+…+(n-1)× 两边乘以2，得2Sm=1·21+2·22+…+(n-1)· (-2)"-1+n×(-2)], 2m-1+n·2", 所以，3Tm=3×[(-2)0+(一2)1十(-2)2+…+ 两式相减得-Sm=1十21+22+…十2”-1-n·2” (-2)m-1-n×(-2)"], =2-1-n·2"=(1-n)2"-1, 所以，T.=1X1-(-2) -n×(-2)”= 所以Sn=(n-1)·2"十1. 1-(-2) 3 21.[解](1)设g(g>0)为等比数列{am}的公比，则由 3n+1×(-2) a1=2,a3=a2十4得2g2=2g十4，即q2-q-2=0,解 3 得q=2或q=一1（含去），因此g=2. 所以{am}的通项公式为am=2·2-l=2" 即y=3.x6.x-2.x8. (2)S=20-29)+m×1+nn2D×2=2+1+ 又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0=0或 1-2 2 3 n2-2. x0=21 22.[解](1)由已知可得h(x)=f(x)-3x=lnx十 当x0=0时，直线方程为y=0. x2-3x, ()=22-3+(x>0. 南=0与ya+只-9相切可得a= 64 令=2-=0，可得x=号或= 当0=号时，直线方程为y识一7 则当x∈(0,2)U1,+∞)时'(x)>0, 由y=华一平与y=a2+只一9相切可得a=-1门 当xe(2)时，kx)0. 6.D[由于f()=-上fx)=kr-nx在区间 (1,十o0)单调递增一∫(x)=k-1≥0在(1，+00)上 “h(x)在(0，）小(1，十∞)上为增函数，在 (分1)上为减画数， 恒成立.由于≥子而0<<1，所以>1.即k的 取值范围为[1，十o∞).] 则h(x)板小谁=h(1)=一2， 7.A[:log3(2.x),log3(3.x),log3(4x+2)成等差数列， AC)太接=hA(合） -ln2. .log3(2.x)+log3(4x+2)=2log3(3x), .log3[2x(4x+2)]=log3(3x)2, (2)g(.x)=f(.x)-a.x=lnx+x2-a.x, 2x(4x十2)=(3.x)2, g)=+2x-ax>0 2x>0, 4x+2>0, 解得x=4. 由题意可知g'(x)≥0(x>0)恒成立， 3.x>0. 即<(2r+）m ∴.等差数列的前三项为log38,log312,log318, 0时，2x+≥2V2,当且仅当x=号时等号 :公差d=log12-logg8=log3之 3 立 “载列的第回项为kg18+l6g号=lkg:27=,选L] 2x+)=22. 8.A[f(x)=3x2-2x十1，故f(1)=2.所以切线l的 方程为y=2(x-1)+f(1)=2.x-1.令x=0.则y a≤22，即实数a的取值范围为(-∞，22]. 一1，故切线的纵截距为一1.故选A.] 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（五） 9.ABD[由等差数列的定义可知A,B,D均错误，只有 1.B[因为a1=1,a2=-1,ag=-2,代入依次求得 选项C正确.] a4=一1，a5=1,a6=2,a7=1,a8=一1，…，可知，数列 10.CD[由导数与函数单调性的关系知，当f(.x)>0 {am}是T=6的周期数列，每个周期内的和为0,2019 时，f(x)单调递增： =6×336十3，所以数列{am)的前2019项的和等于 当(x)<0时，f(x)单调递减。 a1十a2十a3=一2.故选B.] 结合所给图象知，当x∈(a,c)时，f(x)>0, 2.B[由等差数列(am}的性质，可得a1十a5=2a3= f(x)在(a,c)上单调递增： -14,所以ag=-7.又S=96a十a0)=-27,所以 当x∈(c,e)时，f(x)<0, 2 ∴.f(x)在(c,e)上单调递减： a1十ag=2a5=一6，所以a5=一3，所以公差 当x∈(e,十o∞)时，f(x)>0, d=5二a=2,所以数列{an}的通项公式4m=一7十 .f(x)在(e,十o∞)上单调递增. 5-3 .函数f(x)在x=c处取得极大值f(c),在x=e处 (n-3)×2=2n-13.令am≤0，得2n-13≤0，解得 取得极小值f(e), ≤号，所以数列{，的前6项为负数，从第7项开始 f(x)的极值点为c,e.故选CD.] 11.AC[因为Sm为数列{am}的前n项和，且Sm=2an 为正数，所以使得S取最小值时的n为6.故选B.] 十1(n∈N), 3.A[设数列{an}的公比为q,根据题意知S一S 所以S1=2a1+1,因此a1=一1， 当n≥2时，am=Sn-Sm-1=2an一2am-1,即am 1 1 61=g,所以q=,从而有a=32· 2an-1: 所以数列{am}是以一1为首项，以2为公比的等比数 27-2m,所以1og2an=7-2n,所以|log2aa|=|2n-7: 列，故C正确； 所以数列|log2am}的前10项和等于5+3+1+1+3 因此a5=一1×24=-16，故A正确： +5+7+9+1+13=3X5+D+7×,+132-58. 又Sw=2am十1=-2"+1，所以S5=-25+1=-31, 2 2 故B错误： 故选A.] 因为S1十1=0，所以数列(Snm十1}不是等比数列，故 1·2x-21nx D错误.故选AC.] 12.ABC[由x2f(x)+xf(x)=lnx得x>0. 4.D[依题意有f(x)= 2 2x 故f(号分)=2h2=2+1n2.故选D] 则f+)脚[zx'- 1 设g()=xfx),即g'(x)=n2>0得x>1, 5.A[设过点(1.0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0x8), 则切线方程为y一x=3.(xxo), 由g'(x)<0得0<x<1,即xf(x)在(1，十∞)上单 8