数学(十)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（十） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知数列{a,的通项公式为a,=8+2,7,若其最大项和最小项分别为M和m,则m十 20 圜 M的值为 A号 号 c D. 435 32 如 2.若{an}是公差为1的等差数列，则{a2m-1十2a2n}是 A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 章 3.已知在等差数列{an}中，an=一4n十5，等比数列{bn}的公比g满足g=am一a,-1(n≥2)且 b1=a2,则b+|b2|+…+|bn|= 长 A.1-4" B.4"-1 C.14 3 D.4”1 3 4.函数f(x)=x2一1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为 Z 的 A.3 B.2 C.1 D.4 5.给出下列命题： 批 ①y=ln2.则y-2@y-之则y1-=一易：③y=2,则y=21n2:国y=1og:,则 2 1 y aln 2' 构 其中正确命题的个数为 装 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列各式中正确的是 朝 A.(1ogc)'=1 B.(logr)'=In 10 C.(3)=3.x D.(3)'=3r1n3 7.设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2am=（n-1)am-1十(n十1)am+1(n≥2且n∈N), 则a18= A号 26 b. C.3 D 28 9 10-1 8.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是() 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则 A.当x=一2时，函数y=f(x)取得极值 B.当x=1时，函数y=f(x)取得极值 C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零 D.函数y=f(x)在区间（一2,2）上单调递增 10.已知数列{a,}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有 A.数列{an}是等比数列 B.数列{anaw+1}是等比数列 C.数列{lga}是等比数列 D.数列是等比数列 d 11.设数列{a.},{b,}均是公差为d(d≠0)的等差数列，则下列数列中是等差数列的是 ( A.{man}(m为常数) B.(az2) C.a-b D.a,b 12.设函数f(x)=n,g(r)=f(@,则下列命题正确的是 ( A.不等式g(x)>0的解集为(，+∞》 B.函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减 C.当x>x>0时，g(x-x)>f(x)-f(x)恒成立，则m≥1 D.若函数F(.x)=f(x)一a.x2有两个极值点，则实数a∈(0,1) 10-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在等差数列{a,}中，a1>0,ao·a1<0,若此数列的前10项和S。=36,前18项和Sg=12,则 数列{am》的前18项和T1s的值是 14.已知函数f()=x3-2x+e-】,其中e是自然对数的底数.若f(4-1)十f(2a)≤0， e 则实数a的取值范围是 15.已知等比数列{aw}是递增数列，Sn是{a.}的前n项和.若a1,ag是方程x一5x十4=0的 两个根，则S=一 16.已知曲线y=)=,,y=g()=,它们的交点坐标为 ,过两曲线的交点作两 条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 .(第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)在各项均为负的等比数列{a,}中，2a,=3a+1,且a·a,一27 8 (1)求数列{an}的通项公式. (2)- 8是否为该数列的项？若是，为第几项？ 10-3 18.(本小题满分12分)在曲线y=x2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y=4.x一5： (2)垂直于直线2x一6y十5=0： (3)倾斜角为135. 分别求出满足上述条件的点的坐标 10-4 19.(本小题满分12分)已知{am}是等差数列，{bn}是等比数列，a1=1,b=2,b2=2a2,b3= 2a3+2. (1)求{am},{bn}的通项公式： (2)若合的前n项和为5，求证：S,<2. 10-5 20.(本小题满分12分)设a∈R,函数f(x)=a.x3一3x2. (1)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求实数a的值： (2)若函数g(x)=ef(x)在[0,2]上是单调减函数，求实数a的取值范围. 106 21.(本小题满分12分)等比数例{an}中，a1=2且2，a2十1，a3成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (②)数列6，〉满足aaaa,=2,求数列公的前n项和. 10-7 2.(本小题满分12分)已知函数x)=lnx+竿aE). (1)若函数f(x)在区间(0,4)上有两个极值点，求a的取值范围； (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=2x相切，求a的值. 10-8六2u2=a1+(ag-1)=aag=3=2. 那么n=k+1时，ak+1=3ak一4k=3(2k十1)-4k= a2 2k+3=2(k+1)+1也成立. aw=a1g”1=2"-l(n∈N*. 则对任意的n∈N”,都有am=2n十1成立； (2)由(1)知bw=2n-1+an=2n-1+2m-1, (2)由(1)可知，am·2”=(2n十1)·2 ∴.Sm=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+ Sm=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2m-1+ 2-1)=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+… (2n+1)·2”, ⊙ +2-1+少+号-+2-1 2Sm=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2" 2 (2n+1)X2+1, ② Sm-(n2+2")=-1<0,∴.Sm<n2+2" 由①-②得：一Sm=6十2×(22+23+…+2”)-(2n 20.[解](1)由题意得(x)=e-a(x∈R), +1)×2"+ ①当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在R上单调递 增： =6+2×2×-2-(2m+1)×2+1=1 1-2 ②当a>0时，由f(x)=0,得x=lna, 当x<lna时，f(x)<0,f(x)在(-o∞，lna)上单调 2n)×2m+1-2, 递减： 即m=(2n-1)·2"+1+2. 当x>lna时，f(x)>0,f(x)在(lna,+o∞)上单调 22.[解](1)：f(x)=ae(x+1),g'(x)=2x+2,由 通增. (2)由于f(x)有两个零点x1,x2,不妨设x1<c2, 已如可得00. 由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不特 即 2ae=解得a=2,b=-1,c=2 合题意： lae=3+b=c,' e 当a>0时，x∈R,f(xr）mim=f(lna)=a-a(lna+1) ∴.切线的斜率g'(1)=4, =-a·lna<0,脚lna>0,解得a>1, .切线1的方程为y一2=4(.x一1)，即4x-y-2=0. 此时有f(-1)=1>0,f(0)=1-a<0,所以存在 (2)由(1)可得f(x)=2.xe1,g(x)=x2+2x-1, 设h(x)=k[ef(x)]-g(x)=2k.xe-(.x2+2x-1), x1∈（一1,0），使得f(x1)=0, 即h(x)≥0，对任意x∈[一1，+∞)恒成立，从而 由于y=e-x-lnx-1(x>1),所以y'=er-1- h(x)min≥0.， 】在(1，十∞)上单调递增， ∴.h'(.x)=2k(x+1)e'-2(.x+1)=2(.x+1)(ke-1). ①当k0时，h'(x)≤0，h(x)在[一1，十oo)上单调 所以当x>1时，y>e-2>0,所以y=e-x-lnx 递减，又h(1)=2ke-2<0,显然h(x)≥0不恒成立， 一1在(1，十∞)上单调递增， ②当k>0时，h'(x)=0,解得x1=-1,x2=-lnk, 所以当x>1时，y=e-x-lnx-1>e-2>0: (i)当一lnk<-1时，即k>e时，h'(x)≥0，h(x)单 所以f(a十lna)=e+ha-a(a十lna十1)=a(e“-a 调递增， -na-1)>0. 所以存在x2∈(lna,a十lna),使得f(x2)=0, 又h(x)mn=h(-1)=-2张+2=2(e-2<0. 综上，当a>1时，f(x)有两个零点x1r2. 显然h(x)≥0不恒成立， 证明：由于e=a(x1十1)，e5=a(x2十1)，且-1< (i)当-lnk=-1时，即k=e时，h'(x)>0,h(x)单 xr1<0<lna<x2,则0<x1十1<x2十1， 调递增， 所以x=lna+ln(x+1),x2=lna+ln(xg+1), 所以2-=1n十 h(x)m=h(-1)=-2张+2=2e2=0,即 e x1十1' h(x)≥0恒成立， 设2十1 2+1 +>1),有+ +1=ln1 (川)当-lnk>-1时，即0<k<e时， 则 1-1' 当x∈[-1，一lnk)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当 x-x=In t. +1=h1 x∈(-lnk,十oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 1-11 .h(x)min =h(-In k)=-2In-(In2k-2In k-1) 要证r1+2>0,只需证十》ln1-2>0. t-1 =1-1n2k≥0.解得】≤k≤e. 即证ln>2-1) 十1 ≤k<e e 设h(t)=lnt- 2(t-1 t+1 2(>1) 综上所迷得】≤k≤e. 则方'()=1- 4二(1-1)2 5.（1+1)21+1)2>0, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（十） 所以h(t)在(1，十oo)上单调递增， D[若数列{@，}的最大预为第n项，则二 1.D 所以当>1时，h()>h1)=0,即1n>2-D。 t+1 ·a,=8+2m-7 8+222>8+2027. 20一1 故x1十x2>0. 21.[解](1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3= 3a2-8=15-8=7, 8+2g2≥8+2-3. 2+7 由数列{am}的前三项可猜想数列{am}是以3为首项， 11 2为公差的等差数列， 解得 ≤2' 即um=2n十1. 9 证明如下： n☑2 当n=1时，a1=3成立： n∈N",∴.n=5,a5= 假设1=k时，ak=2k十1成立. 250为数列{an的最大项，当n 32 18 越近于+时a,地近于8“a=号教到a的装 1l.ABC[等差数列{am},{bm}的公差均为d(d≠0)， 对于A,由mam+1一man=n(am+1一an）=md(常 小项为号m十M的值为号+智-罗故选D] 数)，知数列{mam}是等差数列：对于B,由(a+1 b层+1)-(a员-b层)=(am+1-am)(an+1+am)-(bm+l 2.C[令bn=a21-1十2a2m,则bw+1=a2m+1十2a2m+2,所 -bm)(bm+1+bm)=d[2a1+(2n1)d]-d[2b1+(2n 以bm+1-bn=a2m+1+2a2m+2-（a2m-1+2a2m）= 一1)d门=2d(a1-b1)为常数，知数列(a后-b品}是等差 (a2m+1一a2m-1)+2(a2a+2-a2m)=2d+4d=6d=6X 数列：对于C,由am+1一bm+1一(am一bm)=(aw+1 1=6.故选C. am)一(bn+1一bm)=0为常数，知数列(an一bm}是等差 3.B[因为g=aw一am-1=一4，b1=a2=-3,所以bm= 数列：对于D,由an+1ba+1一anbm=(an十d)(bn十d) b1-1=3X(-4)"-1-.所以6n=-3×(-4)-11= 一abn=d2十d(am十bn)不为常数，知数列{abn}不 3×4"一1，即{b)是首项为3，公比为4的等比数列.所以 是等差数列.故选A、B、C.] 6+1b1十+1h=3二49=4-1.故选B] 12.AC[f(x)=xlnx的导函数为f'(x)=1+lnx,则 1-4 4.B[由已知得，m2-1-2-卫=3， g)-2-1n兰，g)-兰，时手A m-1 g(x)>0,即1中nI>0,解得x>,故A正确：对 ,m一1≠0， x .m+1=3,.m=2.故选B.] 手Bg(x)=三，当∈(0,1时，g(x)>0, 5.C[对于①y=0,故①错：对于②，：y=-马 g(x)在(0,1)上单调递增，故B错误：对于C, y,-=品故②王瑞：显热③国正瑰，故选C] 受(i-i)>)-)可化为fx)-受 反D[由grY=da可知AB均特：由3y=3n3 >)受.设g)=f)-受2，又>>0， 可知D正确.] ∴g(x)在(0，十∞)上单洞递减，∴g'(x)=1十lnx 7.B[令bn=nan,则2hm=bn-1+bn+1(n≥2)， mx≤0在(0，十∞)上恒成立，即m≥1+nI在 所以{b}为等差数列，因为b1=1,b2=4,所以公差 d=3,则bn=3n一2，所以b18=52,即18a18=52,所以 (0,十∞)上恒成立，又gx)=1+lnr在(0,1)上单 as=9收选B] 调递增，在(1，十∞)上单调递减，g(x)在x=1处 取得最大值，g(1)=1,.m≥1，故C正确：对于D,若 8.D[根据题意，已知导函数的图象有三个零，点，且每 函数F(x)-f(x)一a.x2有两个极值，点，则f(x)=1 个零点的两边导函数值的符号相反，因此函效f(x)在 +lnx-2a.x有两个零，点，即1十lnx-2a.x=0有两 这些零点处取得极值，排除A、B:记导函数∫(x)的零 个不等实根.2a=1+ln工，又gx)=1中ln在(0,1)上 点从左到右分别为x1,x2,x3,又在（一oo,x1)上∫(x) <0,在(x1x2)上f(x)>0,所以函数f(x)在(-∞， 单调递增，在(1，十c∞)上单调递减，g(1)=1,x→十∞ x1)上单调递减，排除C,故选D.] 9,AD[由题图可知，x=一2是导函数f'(x)的一个变 时g)-0即2aE(0,Da∈(0，)故D错溪.故 号零点， 选A、C.] 故当x=一2时，函数f(x)取得极值，选项A正确， 13.60[由a1>0,a10·a11<0, x=1不是导函数f(x)的一个变号零点， 可知d<0,a10>0,a11<0, 故当x-1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误： ∴.T1g=a1十…十ai0一a11一…一a18 =S10-(S18-S1o)=60.] y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f(x)>0, 选项C错误： 14[-1,][)=r-2x+e-得- 当x∈（一2,2）时，f(x)>0,此时函数y=f(x)单调 递增，选项D正确.故选AD.] =-x3+2x+1 e=一f(),所以f(x)是R上的 10.ABD[根据题意，数列{am}是等比数列，设其公比 奇函数，又f(x)=3x2-2+e+1≥3x2-2+ 为g,则2”= an 对于A,数列la,,有a2里=gl,则为等比数 3已=3>0，当且仅当=0时取等号，所以 f(x)在其定义战内单调递增，所以不等式f(a一1) 列，A正确； +f(2a2)≤0=f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2)曰 对于B,数列{a,a+1,有ma=g2,则为等比 an-1a对 a-1<-22,解得-1<a<2,故实数a的取值范 数列，B正确： 对于C.数列{lga品}，若am=1,数列{am}是等比数 [-12]门 列，但数列lga}不是等比数列，C错误： 15.63[,a1,a3是方程x2一5.x十4=0的两个根， 且{an}是递增数列，∴.a3>a1.a3=4,a1=1. 对于D,数列 又a3=a1g2=4..g2=4. 又{am}是递增数列且a1=1>0,.q>0,.g=2. an-1 列，D正确.故选ABD.] ÷5。=11g2=1X129=63.] 1-q 1-2 19 y=Vr. 所以a=1,经检验，当a=1时，x=2是函数y=f(x) 16.(1.1)x-2y+1=0[由 的极值，点.即a=1. y= 1得/=1, 1y=1, (2)由题设，g'(x)=e(a.x3-3x2+3.x2-6.x), 两曲线的交点坐标为(1,1). 又e>0,所以Hx∈(0,2]，a.x3-3x2+3a.x2-6x≤0， 由f(x)=x,得子(1)=Iim 1+△x-1 △r 32+6r_3+6对x∈(0,2]恒 问题等价于不等式a≤+3722+3 1 1 四1+Ax+12 成立， 令h(x)=r+6 ∴.y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y一1= x2+3 ,(x∈(0.2] 即x-2y十1=0.] 则h'(.x)=- 3Cx+2)+21<0, 17.[解](1)因为2aw=3am+1, (.x2+3.x)2 所以h(x)在区间(0,2]上是减函数， 所以2=号量到a,是公比为号的等比数到， an 3 所以A()的最小值为62)=号 又a2·a5=271 所以a≤号.即实数a的取值范国为（一0，号）厂 所以（）=（）由于各项均为负， 21.[解](1)设数列{am}的公比为g(q≠0). 故a1=一 3 (号) 因为2，a2十1，a3成等差数列， 所以2(a2十1)=2十a3,即2(a1g十1)=2+a1g2. (2)设an=一 所以q2一2g=0,解得q=2或q=0(会去)， 所以数列的通项公式an=2"(n∈N”). (侵)广山=6，所以一是该数列的项：为第6项。 (2)因为a102ag…0n=21.22.2…2”=2Ψ=2% 18.[解]设y=fx),则f了(x)=1imx+△x)-z) △x 所以么-宁，从6-D 2 x+△)2-x=lim(2x+△x)=2x =lim- △x 2(日)所以 r-0 7- 设P(x0,y0)是满足条件的，点. s=[(-女)+(÷寸)+（分寸）++（女）] (1)因为点P处的切线与直线y=4x一5平行，所以 2x0=4,解得x0=2,所以y0=4,即P(2,4) 2(1)= (2)因为点P处的切线与直线2x一6y十5=0垂直， 22.[解] (1)f(x)=1+ar+1)-ar 且直线2z-6y十5=0的斜奉为日所以2，·号 (x+1)2 (r+1)2+a.x -1,解得m=一昌所以w=号即P(一是·)》 x(.x+1)2 :f(x)在区间(0,4)上有两个极值点， (3)因为点P处的切线的倾斜角为135，所以切线的 ∴.∫(x)=0在(0,4)上有两个根. 斜率为1an135°=-1，即2a0=一1，解得20=一2， 1 (x+1)2+4x=0,即-a=2+2+=x+1+2 所以%=即P()月 在(0,4)上有两个根， 19.[解](1)设{am)的公差为d,{bn}的公比为g,由题 即y=-a与y=x十上十2在(0,4)上有两个交点， 毫得0+2. 则-a∈(4.)故a的取值范围为(-5.-4)： 解释信或日。合 (2)设切点为(x0,y0),则y0=2x0: .an=n.bn=2". f(xo)=2,yo=In xo+azo (2运明：由也会-品 x0+1' 1+ (%+1)2=2@ a 2可2n 且2x0=lnxo+a0 2+3 6三3十23十2十十”2+”二1+ x6十 2n- 2+· 由D得a-(亿-)+1)代入②得2-nn 2m2+ +(2x0-1)(x0+1) -(合门 即lnxo十2x6-x0-1=0. 令Fx)=nr+2x2-x-1,则F(x)=+4r-l 1-2 =4.x2-x十1 =2-(）》-2 :4x2-x十1=0的△=-15<0，∴.4x2-x+1>0 .Sn<2. 恒成立， 20.[解](1)f(x)=3x(a.x-2). ∴.F(x)在(0，十o)上恒为正值， 因为x=2是函数的极值，点，所以厂(2)=0， ,.F(x)在(0，十o∞)上单调递增， 即6(2a-2)=0. F(1)=0,∴x0=1代入①式得a=4. 20