数学(三)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(三 (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知等差数列a.的通项公式为a.一3一4n,则数列a.的首项与公差分别是 ) = A.1,4 B-1,一4 C.4.1 D.一4-1 2.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自已制订了7天的训练计划;第1天跑 ,_ 5000m,以后每天比前1天多跑200m,则这个同学7天一共将跑 ) B.39300m A.39200m C.39400m D.39 500m _ ,则前4项倒数的和为 ) = B C.1 D.2 4.一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s与时间7之间的函数关系为s一 ,_ 一2时,此木块在水平方向的瞬时速度为 _ C. D A.2 B.1 5.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则 -_ ) 2 B.一2为f(x)的极大值点 将 C.2为f(x)的极大值点 6.设函数f(x)=x十ax*,若曲线y=f(x)在点P(x,f(x。))处的切线方程为x十y=0,则 ( 点 P的坐标为 ) A.(0,0) B.(1,-1) C.(一1.1) D.(1,-1)或(-1,1) 3-1 7.已知函数f(x)=2sinx一ax十1的图象在(0,1)处的切线方程为v二x十1,则a三( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2 8.已知数列a.的前n项和为S.一n一2n十2,则数列a.的通项公式为 A.a.-2n-3 B.ā.-2n十3 1.n-1, 1,n-1, C.d_一 D.d一 2n-3,n二2 l2n十3,n二2 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 3n39 n十3 _ 数的正整数n的值为 _~ A.2 B.3 C.4 D.14 。 10.曲线y-x*-1与y-lnx _ A.在点(1,0)处相交 B.在点(1,0)处相切 C.存在相互平行的切线 D.有两个交点 11.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减 ( 一半,如此六日过其关”,则下列说法正确的是 ) A.此人第三天走了四十八里路 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C.此人第二天走的路程占全程的 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 12.已知函数f(x)一e一ax有两个零点x,x,且x<x,则下列说法正确的是 ) A.a>e B十>2 C.22>1 D.f(x)有极小值点。,且x十x。2x 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知数列{a.)的前n项和为S,若a-1,a-2,a。=2n-2a,ao,=a.+1,a+2= a.一n,则S。二(用数字作答). 3-2 14.已知函数f(x)=ax}十x十1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= 则9的取值范围是 16.已知数列a.)满足a-1,a.-a,=na.a.(nEN),则a。= 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设数列(a.)的前n项和为S..已知a.=a(a子3),a.,=S.+3”, N. (1)设6一S.一3”,求数列6.的通项公式; 3-3 (2)若a二a.,nN',求a的取值范围. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=一x+3x^*}+9x+a (1)求/(x)的单调递减区间; 3-4 (2)若f(x)2020对于Vx[-2,2]恒成立,求a的取值范围 19.(本小题满分12分)设S.是数列(a.)的前n项和,且a=-1,a..=S.·S1. 3-5 (2)求a的通项公式 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)-12-^{} (1)求曲线三/(x)的斜率等于一2的切线方程 3-6 (2)设曲线y三f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求 S()的最小值. 21.(本小题满分12分)各项均为正数的数列a.的前n项和为S.,且4S.一a^{}+2a.+1, nN. (1)求数列a的通项公式 3-7 (2)已知公比为q(qEN)的等比数列(.)满足b=a,且存在mEN.满足b=a, b一a,求数列b.的通项公式 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e+1,aR,试讨论函数f(x)的零点个数. )- 3-8累乘可得，am=n×(n一1)×(n-2)×…×3×2X1=n! 所以g(x)在(e,十o∞)递增，于是a≤g(e)= 故an=n!,(n∈N+) e2-2e (3a1=a,+n(1+7） 2(e-1 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B[当n=1时，a1=一1，n=2时，a2=3-4×2 -5,所以公差d=a2-a1=-4.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天.…，跑 n-21 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 2 则这个同学7天一共将跑5000×7+7X6×200= 2 a2-a1=In 39200(m).故选A.] 2n 3.D[设等比数列{am}的首项为a1,公比为g(q≠0)，因 又a1=2..am=lnn+2.(n∈N+) 为前4项的和为9，积为望所以1g2=9,且 1- 21.[解](1)设数列{am}的公差为d,{bn}的公比为g, 由693：得b1· a2=ai-即aig2=号则++ al a2 a3 1bg=b1g2=9, g=3. ∴.bn}的通项公式bn=b-1=3m-1. 又a1=b=1,a14=b1=3-1=27. -》 1 a10-.=2.故选D.] .1+(14-1)d=27,解得d=2. 1-q aig ∴.{am}的通项公式am=a1十(n-1)d=1十(n-1)X 2=2n-1(n∈N*). 4A[A= 22+a)-×2 41+2. 1 (2)设数列(cm}的前n项和为S :cn=am十bn=2n-1+3m-1， △ △i .Sw=c1十c2十c3十…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ 益-回（合+2）=2，故选A] 2m-1+30-1=2(1+2+…+m)-n+39×0-32 5.A[对于A选项，当-2<x<2时，∫(x)>0,当 1-3 =2xn+1)n-n+3。」 <<2时，fx)<0,号为f(x)的极大值点，A选 1 2 2 =n2+31 项正确： 2 对于B选项，当x<-2时，(x)<0,当-2<x< 即数列{c}的前n项和为n2+3”一1 2 时，f(x)>0,一2为∫(x)的极小值，点，B选项错误： 2.[解]（1)当a=1时，f)=lx+2r2-2x, 对于C选项，当<<2时，f(<0,当2时： f=2gt中.f)=0=- (x)>0,2为f(x)的极小值，点，C选项错误： 对于D选项，由于函数y=∫(x)为可导函数，且 所以所求切战方程为)=一是 ∫（告）<0，号不是fx)的权值点，D选项错误，故选 (2)f(x)=2-(a+1Dx+a_x-1D(x-a A. 6.D[f(x)=x3+a.x2,∴.f(x)=3.x2+2a.x, 当a=1时，f(x)在(0，十oo)递增： :曲线在点P(x0,f(xo)处的切线方程为x十y=0, 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十o∞)递增： .3.x+2axo=-1, 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， 在(1，十∞)递增； “o+x+ar6=0,0l成{0。-l. {a=-2 a=2 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减，在(a, 当x0=1时，f(xo)=-1, 十0∞)递增. 当xo=一1时，f(xo)=1,点P的坐标为(1，一1)或 (3)由fx>0得r-lhxa<2r2-x (一1,1).故选D. 7.B[f'(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 设y=x-lnxy=,于是y=r-lnr在0,1)递 十1的图象在(0,1)点处的切线方程为y=x十1，所以 f(0)=1,即f(0)=2-a=1,解得a=1,故选B.] 减，在(1，十o)递增，最小值为1.所以Hx∈(e,十o©)， 8.C[当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，am=Sw x-ln x>0. Sw-1=2n一3，由于a1的值不适合上式，故选C.] 1 于是只要考虑yr∈(e,+o),a<2d [由题嘉降 (2n-1)(a1十a2w-1） 2 x-In x' 9.ACD (2-1)(b1十b2m-1) 2 设g(x)= r-In r' 1 （2n-1a=4,则6-T-32=1+39 (x-1D(x+2-2lnx) (2n-1)b.bn (2n-1)+3 g'(x)= 3m+18=3+15 (z-In r)2 N十1 n十I 设hx)=r+2-21nx,h'(x)=X2,于是h(x)= x 由于公为整载，则m+1为15的正约载，则m十1的可 x+2-2lnx在(e,+o∞)递增，h(.x)>h(e)=e>0, 能取值有3,5,15， 因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.] 10.ACD[令f(x)=x2-1,g(x)=lnx,f(1)=g(1) =0,f(1)=2,g(1)=1,A正确，B错误. 15(受] [由y=-2-lnx,得y=1-x- fx)=2zeRg()=∈(0，+o),存在了 (x>0), =g(),C正确. 1-x- =1-(+）1-2…=- 当且仅当x=1时等号成立. 令F(x)=fx)-g(x),则F'(r)=2x-,故F(x) y≤一1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等 于-1， 在(0，号）上单润递减：在（停十∞）上单调递增，而 tan≤-1，又0∈[0，r), F(）=-2+2n2<0.r()>e)=2-20 0c(受] D正确.故选ACD.] 2 1l.ABD[设此人第n天走am里路，则{am}是首项为 wn+2nN[由巴知得一 16. antl an 1 a1,公比为g=2的等比数列. 1 =-1,11=-2, 1_1 an an-1 am-14m-2 a2 al 所以5,41-g[1-(侵)] =1.1-1=n("1D.1=2-n+2 an dl 2“am 2 =378. 1-4 1-2 2 a.--n+2m∈N*刀 解得a1=192. 17.[解](1)依题意得S4+1一Snm=am+1=Sm十3”， ag=a12=192×=48,所以A正确， 即Sm+1=2Sm+3”, 由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又192 由此得S+1-3"+1=2(S,-3"),即b+1=2h, 186=6,所以B正确. 又b=S1-3=a-3, a2=a19=192×2=96,而4s,=94.5<96. 因此，所求通项公式为bn=(a-3)2m-1,n∈N* (2)由(1)可知S=3+(a-3)2"-1,n∈N", 所以C不正确 于是，当n≥2时，aw=Sm-Sw-1=3"+(a-3)21 a+a+a=a11+g+g)=192×(1+2+） -3m-1-(a-3)2-2=2×3"-1+(a-3)2m-2, 336,则后3天走的路程为378-336=42而且42×8 aw+1一an=4X3"-1+(a-3)2w-2 =336,所以D正确.故选A、B、D.] 12.ABD[由题意，函效f(x)=er-ax,则f(x)=e =22(侵） 2+a-3小 -a,当a≤0时，广(x)=e一a>0在R上恒成立，所 所以，当n≥2时， 以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a>0时，令 f(x)=e-a>0,解得x>lna,令f(x)=er-a< 1≥a12(） 十a-3≥0→a≥-9， 0,解得x<lna,所以函教f(x)在（一o∞，lna)上单调 又a2=a1+3>a1,a≠3. 递减，在(lna,十∞)上单调递增，因为函数f(x)= 所以，所求a的取值范围是[一9,3)U(3,十o∞). e-ax有两个零点x1x2且x1<x2,则f(lna) 18.[解](1)f(x)=-3x2+6.x+9. ena-alna=a-alna=a(1-lna)<0,且a>0,所 由(x)<0,得x<-1或x>3, 以1一lna<0,解得a>e,所以A正确：文由x1十 所以函数f(x)的单调递减区间为（一∞，一1），(3，+∞). r2=In(a"rir2)=2In a+In(rir2)>2+In(zir2), (2)由f(x)=0,一2≤x2,得x=-1. 取a=号，则f(2)=e2-2a=0,x2=2,f(0)=1>00 因为f(-2)=2+a,f(2)=22+a,f(-1)=-5+a, 故当一2≤x≤2时，f(x)mim=-5+a. 所以0<1<1，所以x1十x2>2,所以B正确；由 要使f(.x)≥2020对于Vx∈[一2,2]恒成立，只需 f(0)=1>0,则0<x1<1,但x1x2>1不能确定，所 以C不正确；由函数f(x)在（一o,lna)上单调递 f(x)mim=-5十a≥2020，解得a≥2025. 减，在(lna,十o©)上单调递增，所以函数的极小值点 19.[解](1)证明：因为am+1=Sm+1一Sm,所以Sm+1 为xo=lna,且1十x2<2.xo=2lna,所以D正确.故 Sm=Snm·Sn+1. 选A、B、D.」 =-1. 13.75[a3m=2n-2am,a3n+1=am十1，a3m+2=am-1, 两边网牵以551，得 a1=1,a2=2,.a3=2-2a1=2-2=0,a4=a1+1=2, a5=41-1=0, 因为a1=-,所以-1 a3十a4十as=2. a3m=2n-2ana3m+1=am十1，a3m+?=an-1, 因此数列 台是首项为-1，公差为-1的等差数 ∴.把上面三个式子相加得a3m十a3m+1十a3m+2=n十1， 列. .a1o=a(3×3+1)=a3+1=0+1=1.∴.a30=a3×10=2× 10-2a10=18. (②)南1)得 =-1+(n-1)(-1)=-, ∴.Sw=a1十a2+(a3十a4十as)十(a6十ag十a8)十…十 (a+a8+a)+an=1+2+2+10)X9+18=75.] S=- 1.当n≥2时aw=Sm-1Sm=n(n-1D 2 -1,n=1, 14.1[由题意可得f(x)=3ax2+1,∴.f(1)=3a十1， 于是am= 1 又f(1)=a十2，.f(x)=a.x3+x+1的图象在点(1， n(n-1D≥2，n∈N f(1)处的切线方程为y-(a+2)=(3a十1)(x-1), 20.[解](1)f(.x)=-2x, 又此切线过点(2,7)， 令了(x)=一2，得-2.x=一2，解得x=1. .7-(a十2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.] f(1)=12-1=11, 5 所以切点为(1,11)， 则数列{am十1}是首项为一2.公比为一2的等比数列， 切线方程为y一11=一2(x一1)，即2.x十y一13=0. (2)二次函数f(x)=12-x2为偶函数，其图象是开 据此有：a2018十1=(-2)×(-2)2017=22018. 口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需考虑一侧 ∴a2018=22018-1.故选A.] 的情形即可 2.B[设(bn}的公差为d, 不妨考虑x>0时的情形. ,b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴.d=2. 设切点为(t,12-t),t>0,可求得切线方程为 y-(12-t2)=-21(.x-t). by=-2,.1=bg-2d=-2-4=-6. 得y=-21x+12+12, 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,12+12), 6+be++b=7a+2d o =7×(-6)+21×2=0. 又b1+b2+…+b=(a2-a1)十(a3-a2)+…+ S)=210A1·10B1= .2+12.（2+12)= 1 (a8-a7)=a8一a1=a8-3=0. 2 +242+144 .a8=3.故选B.] AL 3.B[因为公比q不为1，所以别去的数不是a1,a4.若 S(0=30+242-14-32+12(2-4 删去a2,则由2ag=a1十4得2a14=a1十a1g,又a1≠0，所 41 以2g=1+g,整理得g(q-1)=(q-1)(q十1).又q≠1， t,S(t),S(t)的变化情况如下表所示： (0,2) 2 (2,+0) 所以g=g十1，又9>0，得9=15若期去a则由 S'() 0 + 2a2=a1十a4得2a19=a1十a1g3.又a1≠0，所以2g=1 S() 极小值 +g,整理得g(q十1)(g-1)=q-1.又≠1，则可得 故当1=2时，S(t)取得最小值，为S(2)=32. qg十1D=1,又g>0,得q=一15.综上所速，9 21.[解](1)当n=1时，4S1=4a1=a1+2a1+1,整理 2 得(a1-1)2=0,.a1=1. ,4Sn=a7+2an+1,.4Sw+1=a7+1+2aw+1+1, 士1十5.故选B.] 2 两式相减得4am+1=a+1一a后十2an+1一2am, 4.C[(xo)的几何意义是曲线y=f(x)在点(xo, 即a7+1-a2-2aw+1-2an=0, ∫(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的 即(am+1十am)(am+1一an一2)=0， :数列{an}各项均为正数，an+1十am>0, 针率不存在，但存在切线.] …am+1au=2, ∴.数列{am}是首项为1，公差为2的等差数列， 2 故am=1+2(n-1)=2n-1. 5.C =1十A所以当4x→0时， (2)b1=a1=1,.bn=b1q-1=g-1 2m+5=1十 f(1)=2,即k=2.所以直线方程为y十2=2(x-1). 依题态释仔-2”和除样g-吉当 即y=2.x一4.故选C.] 6 2m-7∈N+, 6.D[因为f(x)=(x2+x-1)e2,所以∫(x)=(x2+ 3x)e,f(1)=e,则f(1)=4e. 2011或2加1=3所以四}浅0 19=3, 因此，切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. 当m=1时，bm=7w-1:当m=2时，bm=3"-1 故选D.] 综上所述，bm=7m-1或bn=3”-1. 7.C[由a+1=an十2√an+1+1得am+1+1=(Wan+I 22.[解]函数f(x)的定义城为{xx≠a}. (1)当z>a时，e>0,x-a>0,.f(x)>0 十1)2，所以√an+1+1-√/an十1=1，又a1=0,√am+I 即f(r)在(a,+o∞)上无零，点. =,am=n2-1,则a13=132-1=168.] (2)当x<a时，f(x）=e(r-a)+1 x-a 令g(.x)=c(x-a)+1,则g√(x)=er(x-a+1). &C[物连函量g)-,则g()- 由g'(x)=0得x=a-1. 当x<a-1时，g'(x)<0: (x)-f)十l>0,函教g(x)在R上单调递增. er-I 当x>a-1时，g'(x)>0, 又f(x)-1>e-1,g(1)=1, ∴.g(x)在（一c∞，a一1）上单调递减，在(a一1，十o∞) 上单调递增， ∴.原不等式等价于g(x)>g(1), .g(x)mim=g(a-1)=1-e4- 原不等式的解集为(1，十∞).故选C.] ∴.当a=1时，g(a-1)=0,∴.x=a-1是f(x)的唯 9.ABC[因为数列{ar}为等比数列，又a1·a4=32,所 一零点： 当a<1时，g(a1)=1--1>0.∴.fx)没有零点： 以a2·a3=32,又a2+ag=12, 当a>1时，g(a-1)=1--1<0,∴f(x)有两个零点。 fa2=4, a2=8, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（四） a2=4, 1.A[由题意可得：3Sm=2am-31,3Sm+1=2am+1 所以a=8,或ag=·又公比g为整数，则a=8 -3(+1), 1 q=2, 两式作差可得：3an+1=2au+1一2am一3，即am+1 q=2 g=2. -2am-3,am+1十1=-2(an十1)， 结合3S1=2a1-3=3a1可得：a1=-3,a1十1=-2， 即a,=2.5-2X0292=2+1-2. 1-2