数学(九)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(九) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设数列{a.)满足:a-1,a=3,且2na.=(n-1)a十(n十1)a,则a的值是 _ C. D. 2.在等差数列(a.)中,S.为其前n项的和,S-5,S。一20,则a= ( ) B.-5 A.-3 C.3 D.5 = A.2 B.22 C.士2/2 D.士8 4.枪弹在枪简中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×10{}m/s^{},枪弹从枪口 。_ 射出时所用时间为1.6×10s,则枪弹射出枪口时的瞬时速度为 __ A.800m/s B.600m/s C.200m/s D.400m/s E 5.下列求导运算正确的是 ,_ .(1)- 1 B.(y*e)'-2xe C.(3cos2x)'-3'(ln3·cos2x-2sin2x) D.(11og:x)-2+1-n2 & & ( 6.函数f(x)一-3x*+2在区间[-1,1]上的最大值是 ) A.-2 C.2 B.0 D.4 将进 7.已知等差数列a.)的前n项和为S.,若S。一16,a。=1,则数列a.)的公差为 ) } C D 8.函数f(x)是定义在(1,十o)上的可导函数,f'(x)为其导函数,若f(x)十(x一1)/(x) -x^(x-2),且f(e^{})一0,则不等式f(e)<0的解集为 ,_ _~ A.(0.1) B.(0.2) C.(1,2) D.(2.十o) 9-1 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分 ,。_ 9.下列函数中,存在极值点的是 __ B.y-2x1 C.--2-x D. y-xlnx 的是 _ _ B.函数f(c)在区间(-0)单调减 A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增 C. 函数/(x)在x一1处取得极大值 D. 函数f(x)在x一0处取得极小值 11.如果a,a,...,a。为各项都大于零的等差数列,且公差d关0,则 ( ) A.aaaa: B.aa<aas C.a十a.-a.十a D.a-a 1 12.若函数f(x)一3x一x在区间(a{}-12,a)上有最小值,则实数a的可能取值是 __ B.1 A.0 C.2 D.3 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 15. 设定义域为R的函数f(x)满足f(x)>f(x),则不等式ef(x) f(2x-1)的解集为 16.已知函数f(x)一x-ln(x十a),若a一2,则f'(0)= ;又若/(x)的最小值为0. 其中a>0,则a的值为 ,(第一空2分,第二空3分) 9-2 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 92}-9n十2 17.(本小题满分10分)已知数列 9^{}-1 (1)求这个数列的第10项; (2) 是不是该数列中的项? 为什么? 9-3 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内 18.(本小题满分12分)设曲线=x”+(nCN)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标 9一4 19.(本小题满分12分)已知在等比数列a.)中,a-1,且a,a。,a。-1成等差数列 (1)求数列a的通项公式 (2)若数列满足=2n-1十a.(nCN),数列的前n项和为S.,试比较S. 与” 士2的大小. 9-5 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e一ax一a(aER) (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点x·x。,求实数a的取值范围,并证明x十x>0 9-6 21.(本小题满分12分)设数列{a.)满足a.-3,a,=3a-4n. (1)计算a。,a。,猜想a.的通项公式并加以证明; (2)求数列2。的前n项和$。 9-7 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=axe,g(x)=x^{}+2x十b.若曲线y=f(x)与曲线 y一g(x)都过点P(1,c).且在点P(1,c)处有相同的切线1 (1)求切线/的方程 (2)若关于x的不等式ef(x)]二g(x)对任意xE一1,十o)恒成立,求实数的取值 范围. 9-8=9=3, 19.[解](D等北数列{b.}的公比9=2=3 22.[解](1)f(x)=3(.x2-2),令f(x)=0, 得x1=-√2，x2=√2. 所以=2=1，b4=gg=27. 当x∈(-∞，-√2)U(W2,十∞)时，f(.x)>0, 设等差数列{am}的公差为d. 当x∈(-√2，√2)时，f(x)<0, 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 因此x=一√2，x2=√2分别为f(x)的极大值，点、极 所以1+13/=27，即d=2. 小值点 所以am=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走 (2)由(1)知，an=21-1,bn=3m-1 向如图所示.要使直线y=a与y=f(x)的图象有3 因此cm-am十b,=2n-1十3"-1 个不同交点需5-4√2=f(W2)<a<f(-√2)=5+ 从而数列{c}的前1项和 4√2.则方程f(x)=a有3个不同实根时，所求实数 Sm=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3-1 a的取值范国为(5-4√2,5十4√2). =m(1+2m-1)+1-3” y 2 1-3 =+ 20.[解](1)因为g(x)=(.x)=2ax十a-2e2, 所以g'(x)=2a-4e2r=-2(2e2r-a) ①当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在R上单调递减. ②当a>0时，令8'(x)>0,则x<合n号： 令g)<0,则>n号 (3)f(x)≥k(x一1)， 即(.x-1)(.x2+x-5)≥k(x-1). 所以g(x)在(-0，n受)单调递增，在[n受， 因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1，十0∞)上恒成立， 令g(x)=x2十x一5，由二次函数的性质得g(x)在 十0∞)上单调递减. (1,十∞)上是增函数，所以g()>g(1)=一3，所以 综上所述，当a≤0时，g(x)在R上单调递减： 所求k的取值范围是（一∞，一3. 当a>0时，gx)在(-∞，n号)上单调递增，在 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） 1.D[2nam=(n-1)a4-1+（n+1)am+1,∴.数列 [n号十∞)上单调道减. {am}是以a1=1为首项，2a2一a1=5为公差的等差 (2)因为f(x)=a.x2+a.x+1-e2r,可知f(0)=0, 数到20u0=1+5×19=96,解释an-8=4号 f(x)=2a.x+a-2e2r=a(2x+1)-2e2r=(2x+1) 故选D.] (a-zer 2.C[方法一设等差数列{an}的公差为d.S=5= 2.x+1 2e2r 令∫(x)=0,得a=2x+1 2(az+u)02- 2e2r 8re2r 5d联立两式得d-员a7-as+2d-8故选C 设hx)=2x干则h'（x)=2r十D.当x>0时， 方法二：Sg-S4=a5十a6+a7十a8十a9=(a3十ag) h'(x)>0,在(0，十∞)上单调递增， 十a7十(a6+a8)=5a7=20-5=15.∴.a7=3.故选 所以h(x)在(0，十∞)上的值城是(2，十∞)，即 C.] 2e2r 2+7>2 3.C[,等比数列(an}中，a3=2,a4a6=16. 当a≤2时，(x)=0没有实根，且f(x)<0, /a192=2 在(0，十∞)上单调递减，f(x)<f(0)=0,符合题意. 1a1qa1g3=16 当a>2时，h(0)=2<a, 解得a1=1,9=士√2， 所以A-0有家一实鼠1 ao-an aigs-aiglo a6-a8a1q°-a1q =g3=士2V2.故选C.] 当x∈(0，x)时，f(x)>0,f(x)在(0，xo)上单调递 增 4A[位移公式为=2at2,”△=2a(十△)2- f(x)>f(0)=0,不符合题意. 综上a≤2，即a的取值范围为（一o,2]. al+, 1 21.[解](1)设数列(an}的公差为d,由a2十as=2a5=l8, 1 则a5=9 又由S2= 7(a+az2=7a4=49,a4=7, 2 i2-m(ao+2a）=ato: ∴.d=as-a4-2, 己知a=5.0×10m/s2,to=1.6×10-8s,∴.at0=800m/s 又a4=a1+3d=7,所以a1=1,∴.an=2n-1 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.故选A.] (2)证明：由（1)可知bm一n(n十1Dnn十 1 11 5c[nx+--是A错：ey-ye 111+1 “数列{b的前n项和为T。=1一2十2一8十3 +2(e")'=2re+22e,B;(3 cos 2x)'=(3)'cos 2r +3w(cos2.x)'=3n3cos2x-2·3rsin2x=3r(ln3· ++是 4 n+1 os2x-2sin2r).c正骑：（专+logx/=成 由0<号所以日T,<1 D错.故选C.] 16 6.C[,(.x)=3x2-6x,令(x)=0,得x=0或x=2. 由此得a2-12<-1<a. .f(x)在[一1,0)上是增函数，f(x)在(0,1门上是减函 解得一1<a<√11. 数.f(x)mmx=f(x)极天值=f(0)=2.] 又当x∈(1，十∞)时，f(x)单调递减，且当x=2时， 7.D[设数列{an}的公差为d,等差数列{am》的前n 综上，一1<a≤2.故选ABC.] 项和为Sm, 13.1[设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q, S8=16,a6=1, :S-2=16得a-9 -1+3d=-(2=8,泉得q=-2d=3,那么器 -1+3=1.] a6=a1+5d=1, 2 d=-号故戴列的公差为-景] 14.1[f(x)=e(r+a-1) +a2,可得f)=afa ae 8.C[函数f(x)是定义在(1，十∞)上的可导函数， f(x)为其导函数， 学申ao=子解得a=1门 令9(x)=(x-1)f(x),则(.x)=(x-1)·f(x)+ 15.(1,+o) [设f)=x2 er f(.x)=x2(x-2),可知当x∈(1,2)时，9(x)是单调减 函数， 则f(x)=f()-f e 并且0·f(1)+f(1)=1(1-2)=-1<0,即f1)<0. :f(x)>f(x),f(x)>0,即蓝数f(x)在定义战 x∈(1，十o∞)时，函数是单调增函数，f(e2)=0, 上单调递增」 则p(e2)=(e2-1)f(e2)=0, -f()<f(2-1))<f(2r-1) 则不等式f(e)<0的解集就是(e'一1)f(e)<0的 er e27-1 解集，即(e)<p(e2), 即F(x)<F(2x-1), 故不等式的解集为：(x1<x<2}.故选C.] ∴x<2x-1.即x>1.∴.不等式e-1f(x)<f(2x-1)的 解为(1，十∞).] BD[由题意画数y=一子期y=1+>0, 1 1[f(x)的定义域为（一a,十o∞）， 所以画数y=一在（一0,0）和(0，十0o)内单调造 fx)=1-士=+4二.当a=2时fx)=1- x十4x十a 增，没有极值，点，故A错误： 2f0)=1-- 1 画数=2-心。根新行款高数的国象与 又由f(x)=0,解得x=1-a>-a 性质可得，当x<0时，函数y=2单调递减，当x>0 当-a<r<1一a时，f(x)<0,f(.x)在(-a,1一a)上单 时，函数y=2x单调递增，所以函数y=2在x=0 调递减：当x>1-a时，f(x)>0,f(x)在(1-a,十o∞) 上单调递增， 处取得极小值，故B正确； 因此，f(x)在x=1一a处取得最小值， 函教y=-2x一x,则y=一62一1<0，所以函数 由题意知f(1-a)=1-a-0,故a=1,] y=一2一x在R上单调递减，没有极值，点，故C错误： 17.[解]设fm)=9n2二9n+2 函数y=n则y=1+ln当xe(0,)时， 9n2-1 _(3n-1)(3m-2)_3n-2 y<0,函数单调递减，当x(,十）时y>0,函 (3-1)(3n+1)3n+1' (1)令n=10,得第10项a10=f10)=2 31 数单调递增，当工=。时，函数取得板小值，故D正 确.故选BD.] (2◆子贺样9m=0 10.ABD[根据题中导函数图象可知，)在区间（一2,0） 此方程无正整能解，所以器不是该款列中的项。 3 上，f(x)0,f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f(x)>0, 3m-2-3m+13=1-3n十T (3)证明：”a,一3+13n+1 f(x)单调递增，所以f(.x)在x=0处取得极小值，没 又n∈N", 有极大值，所以A,B、D选项正确，C选项错误.故选 3 ABD.] 0<3m+<10<am<1. 11.BC[由通项公式，得a3=a1十2d,ag=a1+5d,那 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5dl) 18.[解]因为y=x"+1,所以y=(n十1)x,所以曲线 在(1,1)处的切线斜率为k=n十1， a+7a1d+10d2,同理a4+a5=2a1+7d, 切线方程为y-1=(n十1)(x-1). a1a5=a+7a1d+12l,显然a3a6-a1a5=-2<0,故 选B,C.] 令y=0,得升即，升 12.ABC[由f(x)=3-3x=0,得x=士1. 所以aw=lg1=lg(r十1)-lg, 当x变化时，∫(x)及f(x)的变化情况如下表： 所以a1十a2十a3+十a2o19 (-1,1) 1 1,+oo) =lg 2-Ig 1+lg 3-1g 2+lg 4-1g 3+...+lg 2 020 -lg2019=lg2020=1+1g202. (x) 0 0 19.[解](1)设等比数列{am}的公比为9， f(r) 一2 2 ,a1,a2,a3一1成等差数列， 六2u2=a1+(ag-1)=aag=3=2. 那么n=k+1时，ak+1=3ak一4k=3(2k十1)-4k= a2 2k+3=2(k+1)+1也成立. aw=a1g”1=2"-l(n∈N*. 则对任意的n∈N”,都有am=2n十1成立； (2)由(1)知bw=2n-1+an=2n-1+2m-1, (2)由(1)可知，am·2”=(2n十1)·2 ∴.Sm=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+ Sm=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2m-1+ 2-1)=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+… (2n+1)·2”, ⊙ +2-1+少+号-+2-1 2Sm=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2" 2 (2n+1)X2+1, ② Sm-(n2+2")=-1<0,∴.Sm<n2+2" 由①-②得：一Sm=6十2×(22+23+…+2”)-(2n 20.[解](1)由题意得(x)=e-a(x∈R), +1)×2"+ ①当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在R上单调递 增： =6+2×2×-2-(2m+1)×2+1=1 1-2 ②当a>0时，由f(x)=0,得x=lna, 当x<lna时，f(x)<0,f(x)在(-o∞，lna)上单调 2n)×2m+1-2, 递减： 即m=(2n-1)·2"+1+2. 当x>lna时，f(x)>0,f(x)在(lna,+o∞)上单调 22.[解](1)：f(x)=ae(x+1),g'(x)=2x+2,由 通增. (2)由于f(x)有两个零点x1,x2,不妨设x1<c2, 已如可得00. 由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不特 即 2ae=解得a=2,b=-1,c=2 合题意： lae=3+b=c,' e 当a>0时，x∈R,f(xr）mim=f(lna)=a-a(lna+1) ∴.切线的斜率g'(1)=4, =-a·lna<0,脚lna>0,解得a>1, .切线1的方程为y一2=4(.x一1)，即4x-y-2=0. 此时有f(-1)=1>0,f(0)=1-a<0,所以存在 (2)由(1)可得f(x)=2.xe1,g(x)=x2+2x-1, 设h(x)=k[ef(x)]-g(x)=2k.xe-(.x2+2x-1), x1∈（一1,0），使得f(x1)=0, 即h(x)≥0，对任意x∈[一1，+∞)恒成立，从而 由于y=e-x-lnx-1(x>1),所以y'=er-1- h(x)min≥0.， 】在(1，十∞)上单调递增， ∴.h'(.x)=2k(x+1)e'-2(.x+1)=2(.x+1)(ke-1). ①当k0时，h'(x)≤0，h(x)在[一1，十oo)上单调 所以当x>1时，y>e-2>0,所以y=e-x-lnx 递减，又h(1)=2ke-2<0,显然h(x)≥0不恒成立， 一1在(1，十∞)上单调递增， ②当k>0时，h'(x)=0,解得x1=-1,x2=-lnk, 所以当x>1时，y=e-x-lnx-1>e-2>0: (i)当一lnk<-1时，即k>e时，h'(x)≥0，h(x)单 所以f(a十lna)=e+ha-a(a十lna十1)=a(e“-a 调递增， -na-1)>0. 所以存在x2∈(lna,a十lna),使得f(x2)=0, 又h(x)mn=h(-1)=-2张+2=2(e-2<0. 综上，当a>1时，f(x)有两个零点x1r2. 显然h(x)≥0不恒成立， 证明：由于e=a(x1十1)，e5=a(x2十1)，且-1< (i)当-lnk=-1时，即k=e时，h'(x)>0,h(x)单 xr1<0<lna<x2,则0<x1十1<x2十1， 调递增， 所以x=lna+ln(x+1),x2=lna+ln(xg+1), 所以2-=1n十 h(x)m=h(-1)=-2张+2=2e2=0,即 e x1十1' h(x)≥0恒成立， 设2十1 2+1 +>1),有+ +1=ln1 (川)当-lnk>-1时，即0<k<e时， 则 1-1' 当x∈[-1，一lnk)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当 x-x=In t. +1=h1 x∈(-lnk,十oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 1-11 .h(x)min =h(-In k)=-2In-(In2k-2In k-1) 要证r1+2>0,只需证十》ln1-2>0. t-1 =1-1n2k≥0.解得】≤k≤e. 即证ln>2-1) 十1 ≤k<e e 设h(t)=lnt- 2(t-1 t+1 2(>1) 综上所迷得】≤k≤e. 则方'()=1- 4二(1-1)2 5.（1+1)21+1)2>0, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（十） 所以h(t)在(1，十oo)上单调递增， D[若数列{@，}的最大预为第n项，则二 1.D 所以当>1时，h()>h1)=0,即1n>2-D。 t+1 ·a,=8+2m-7 8+222>8+2027. 20一1 故x1十x2>0. 21.[解](1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3= 3a2-8=15-8=7, 8+2g2≥8+2-3. 2+7 由数列{am}的前三项可猜想数列{am}是以3为首项， 11 2为公差的等差数列， 解得 ≤2' 即um=2n十1. 9 证明如下： n☑2 当n=1时，a1=3成立： n∈N",∴.n=5,a5= 假设1=k时，ak=2k十1成立. 250为数列{an的最大项，当n 32 18