数学(二)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) ( 超 1.已知等差数列{an}中，首项a1=4,公差d=一2，则通项公式an等于 A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Snm-1=-2,Sm=0,S+1=3,m≥2，m∈N”,则m= 如 ( A.3 B.4 C.5 D.6 邮 3.在等比数列{a,}中，a,a5是方程x2十6x+十2=0的根，则a1的值为 a 长 A.-2+ 2 B.-√2 C.√2 D.-√2或2 4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的 Z 是 ( 那 批 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数(x)有极大值 艇 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 5.设函数f(x)的定义域为R,x。(x。≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 莹 A.一x。是一f(一x)的极小值点 B.对任意x∈R,f(x)≤f(x) C.一x,是f(一x)的极小值点 D.x。是一f(x)的极大值点 2-1 6.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 7.若数列{an}的通项公式是am=(一1)”·(2n一1)，则a1十a2十a3十…十a1om= A.-200 B.-100 C.200 D.100 8若直线1与曲线y=反和十=号都相切，则1的方程为 A.y=2.x+1 By=2x+号 C.y-2x+1 n+号 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设{an}(n∈N)是等差数列，公差为d,S,是其前n项的和，且S<S6,S6=S,>Sg,则下 列结论正确的是 A.d<0 B.a=0 C.S>S D.Sg与S,均为S,的最大值 x,xa, 10.已知函数f(x)= 则 4x3-3x,x<a, A.若f)有两个极值点，则a=0或<a<1 B若)有极小值点，则>司 C.若f(x)有极大值点，则a>一号 2 D.使f(x)连续的a有3个取值 1.已知数列a+号++…b+品+是+…+品…者6=a设 a·an+i 数列{bn}的前n项和S,则 Aa,=号 B.a=n C.S.=m+7 41 D.s. 12.下列函数在x=0处取得极小值的是 ( A.y=r B.y=x2+1 C.y=lxl D.y=2 2-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设数列{an}的通项公式为an=2n一10(n∈N”),则a1|+a2|十…+|a1s= 14.曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为 15.已知f(x)=xe,则f(1)=2e.若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切， 则a的取值范围是 16.已知数列{a,的前n项和S,=a,十号，则{a,的通项公式a, 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1.(本小题满分10分)尼知S为正项数列a,的前n项和，且满足S=4+4,∈N. (1)求a1,a2,a3,a4的值： 2-3 (2)求数列{a}的通项公式 18.(本小题满分12分)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为 每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮 船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 2-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x一lnx. 若f(x)在x=x1,x,(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x,)+f(x2)>8一8ln2. 20.(本小题满分12分)根据下列条件，确定数列{am}的通项公式. (1)a,=1,am+1=3an+2: 2-5 (2)a1=1,am+1=(n+1)an; (3)a1=2,a+=a,+ln1+月 2-6 21.(本小题满分12分)已知{a}是等差数列，{b.}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1, an=b. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn=an十bn,求数列{cn的前n项和. 2-7 2,(本小题满分12分)已知函数f八x)=alnx十7x2-(1+a).x,a∈R (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对任意的x∈(e,十∞)都有f(x)>0成立，求a的取值范围. 2-8-6xo△x十3(△r)2. 当x1时,(x) 0,c(x)单调递减; 函数f(x)在区间[xo,xo+Ax]上的平均变化率为 当x=l时,g(x)取得最大值 (1)= 6.xo△r+3(Ar)2 △ --6xo+3△x. --0. '(x)<0,即f(x)<g(x). 。 因此曲线y一f(x)在(0,一1)处的切线方程是 故a-1时f(x)的图象不在g(工)的图象的上方 2-y-1-0. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(二) (2)当a>l时,f(x)+e>(r2②+x-1+e *+1)e. 1.C [*'a=4,d=-2,'a=4+(n-1)x(-2)=6 令g(x)-r”+-1+e+1,则g’(x)=2x+1+ -2n.] !. 2.C [.是等差数列,S-1=-2,S=0. 当x -1时,g(x)<0,g(x)单调递减; '-S-S-1-2. 当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 又S+1-3.'am+1-S+1-S-3. 所以g(x)三g(-1)=0.因此f(x)+e>0. 'd-a+1-a-1. 20.[解](1)依题意,S+1-S.=an+1=S.+3”, n(a+a)m(a+2) 即$+1-2$.+3”,由此得$1-31-2($.-3). 又S- 2 2 -0. 又S-3-a-3(a字3),故数列(S。-3”)是首项为 'a=-2.a=-2+(m-1)·1-2,m=5.故 a一3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为 选C.] b.=S-3”=(a-3)2"-I,n-N*. (2)由(1)知S-3”+(a-3)2”-,nN*. 3.B [设等比数列{a}的公比为g,因为a,au5是方程r^②十 于是,当n→2时,an=S.-S-1-3”+(a-3)2n-1 6.+2-0的根,所以a·a15-a^}-2,a+a5--6,所$ -3--1-(a-3)2-2-2×3”-1+(a-3)2--}. )--4X3+(a-3)212()+-3]. 以a<0,a15<o,则ao=,所以^2a16_^} -- a 一/②.故选B.] +a-3>0 4.D[由题图可知,当1<x2时,/(x)>0. a-9. 当2<r<4时,/(x)<0. 又a-a:+3>a. 当4x5时,f(x)>0. 综上,所求的a的取值范围是[-9,3)(3,十o). '.r一2是函数f(工)的极大值点,x-4是函数f(x) 21.[解](1)由题意,设等差数列a。)的公差为d,则 a=a+(n-1)d. 的极小值点,故A,B.C正确,D错误.故选D.] 因为a-1,a=-5,可得1+2d--5. 5.A [对于A,函数一f(一x)与函数f(x)的图象关于 解得d--3: 原点对称,因此一xo是一f(一x)的极小值点;对于B. 所以数列(a)的通项公式为a。=1十(n-1)x 极值是一个局部性概念,因此不能确定在整个定义域 (-3)-4-3n. 上f(xo)是否最大;对于C,函数f(一x)与函数f(x) ” 的图象关于y轴对称,因此一x。是/(一x)的极大值 点;对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于文轴 对称,因此x。是一/(x)的极小值点,故选A.] 1.1-1 0.1 5k-50-0,解得 -5或b-- ,又因为N, 7.D [由题意知,a+a+a十..+ao=-1+3-5+7 所以-5. +..+(-1)100(2×100-1)-(-1+3)+(-5+7) +..+(-197+199)-2×50-100.故选D.] 22.[解](1)/(x)-十x(x>0). 8.D [设直线/在曲线y一工上的切点为(xo,xo). 若a二0,则f(x)>0,f(x)在(0,十o)上单调递增; 则x。0. 若a<0,令(x)-0,解得x=士-ā, 画数y-的导数为--_,则直线1的斜率 - 2 ,2 由/(x)<o.得0<x<v-a. 2/o 2o 从而f(x)的单调递增区间为(一ā,十o),单调递 减区间为(0,-). 即r-2xoy十xo-0. 综上,当a二0时,f(x)在(0,十oo)上单调递增, 当a0时,/(x)在(一,十oo)上单调递增, 1+4o 在(0.-ā)上单调递减. 两边平方并整理得5x-4x。-1-0. (2)证明:令(x)=/(x)一g(x). 解得xo-1,x。-一 (). 则(x)一 1+.2-2r3 故选D.] (1-x)(2c2+x+1) 9.ABD[由(a.)是等差数列,S.是其前n项的和,且 令c'(x)-0,解得x-1. S.S.S-S>S. 当0 x1时,(x)0.(x)单调递增; 则a-S6-S>0,a =S-S-0,a=S-S0. 2 a7+as-S-S0. 则数列{a)为递减数列,即选项A,B正确; 由 S-S-a+a+a+a-2(a+a7) 0. 同理,a3-3,a-4. 即SS,即选项C错误; ① 由aa2...aa-0a>a...,可得S与 S. 均为S.的最大值,即选项D正确,故选ABD. ② 10.CD [作出函数y三x和 y-4-3x y=4.r③-3x的图象,如图 ①-②得(a-aa-1-1)(a+aa-1)-0, 所示,对于选项A,若f(x) 3_~ 由于an+a-1关0, 有两个极值点,则a一0或 所以a-a-1-1, a,所以选项A错误; 又由(1)知a-1: 故数列a。是首项为1,公差为1的等差数列,故 对于选项B,当a一0时, 一n. r-0是函数f(x)的极小值 18.[解]设速度为每小时v千来,燃料费是每小时 点,所以选项B错误;对于选 力元,那么由题设知力一k{}, 项C,由图易知正确;对于选 因为v-10,-6,所以k- 10-0.006. 项D,使f(x)连续的a有3个取值,即一1,0.1,所以选 项D正确.故选CD1 于是有y-0.0063。 1 又设船的速度为每小时o千来,行驶1千米所需的总费 11.AC [由题意得a。= #1+._1 n十1 用为a元,那么每小时所需的总费用是(0.006十96) 二小时,所以行驶1千米 1+2+3+..+n_n 元,而行驶1千米所用时间为一 n十1 #_4() 2. 2 '.数列(b)的前n项和S。一b十b十+..+b 令-0,解得v-20. 当v20时,'~0: n 当20时,q0. n士1: 所以当。一20时,a取得最小值。 即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需的费用 故选A、C.] 总和最少: 12.BC 19.[解]函数f(x)的导函数/(x)-11. 13.130[由a-2n-l0(n N*)知a 是以-8为首项 ,2 2 为公差的等差数列,又由a.=2n-l0 0得n5..n 由(x)一/(x。)得 时,a<0,当n>5时,an0,laì|+lal+..十 la5l=-(a+a2+a+aa)十(as+a十.+a15)= 111 21122 20+110-130.] x2 因为x子x。。 14.文-y十1一0 [本题考查导数的几何意义, 22-1-1. 1。 x1x2 -2 '.所求切线方程为v-2-x-1,即x-y+1-0. 由基本不等式得1-1+1221?, 15.(-4.0)[f(x)=(x+1)e..'f(1)=2e,设点 B(xo.xoe)为曲线C上任意一点。 因为x子x。,所以xx。>256. 'y=e十re{=(十1)e,则曲线C在点B处的切 由题意得f(x)+f(x)=-lnx.+x。 线方程为y-xoe =(xo+1)e。(x-xo),根据题 ln2=21-ln(x). 意,切线/不经过点A,则关于x。的方程0一xoe。 (xo+l)e%(a-xo),即x-a.xo-a-0无实根。 2 '.△-a②+4a<0,解得-4<a0. 所以 'a的取值范围是(-4,0).] (0,1 16 (16.+o) g(r) 0 (:) 2-4ln2 所以g(x)在[256,十co)上单调递增, 故g(xx。)>g(256)-8-8ln2. 1 即f(x)+f(xo)>8-8ln2. 20.[解](1):a1-3a+2, .1+1-3(a+1). ##的等比数列, .1十1 .数列(a)为首项a-1,公比q-一 -3, '.数列{a。+1)为等比数列,公比q-3,又a;十1-2, 故a。-(-)”.(neN) '+1-2·3”-1.a-2·3-1-1.(nN ) (2):a,-(n+1)a.._n+1. an 可得-}+#得-一1: 3 累可得,a.=n×(n-1)×(n-2)x...x3x2x1-n! 所以g(x)在(e,十xo)递增,于是a g(e)= 故a一n!.(nEN ) 2-2e (3)”:a1-a.+I1n(1+). 2(e-1) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(三) 1.B[当n-1时,a=-1,n-2时,a2-3-4 2 -5,所以公差d-a2-a--4.] 2.A [依题意可知,这个同学第1天,第2天,......,跑 的路程依次成首项为5000,公差为200的等差数列, ...... 2 a2-a:-ln- 1 2 39200(m).故选A. 3.D[设等比数列{a的首项为a1,公比为q(q0),因 为前4项的和为.积为81,所以(1-) ”. 1- 2-9.且 又a=2..a=lnn+2.(nN) 21.[解](1)设数列a。)的公差为d,b)的公比为 一行 #a1a2+3-a1{-81,即 a0-。 由 12-bq-3. '{b)的通项公式b-biq”-1-3”-1. ## 又=b-1,1-b-3-1-27, a 1-0 ·1+(14-1)d-27,解得d-2. 'a的通项公式a-aì+(n-1)d-1+(n-1)x 2-2n-1(nN*). (2)设数列(c)的前”项和为S.. “△ △r 242. “'c=a+=2n-1+3--1. ()一-故 ..S.=c+c+cs+.十c。 -2 1-1+3+2×2-1+31+2×3-1+3+..+ 3×(1-3”) 5.A [对于A选项,当-2<x<一时,f(x)→0,当 2n-1+3”-1-2(1+2+.+n)-”+ 1-3 =2(n+1n3-1 2 2 项正确: 231 对于$选项,当x<-2时,f(x)<0,当-2<x<1 即数列(c。)的前n项和为n23“-1. 时,/(x)0.一2为/(x)的极小值点,B选项错误; 对于C选项,当1 22.[解] -x<2时,f(x)0,当x2时 3 f'(x)0,2为f(x)的极小值点,C选项错误; 2 2 对于D选项,由于函数v一f(x)为可导函数,且 ##()<o,不是/(c)的极值点,D选项错误,故选 所以所求切线方程为y一一 (2)/'(x)-2-(a+1)x+a(r-1)(x-a) A.] r 6.D[f(x)=x+ax2,f(x)=3x2+2a 2 当a-1时,f(x)在(0,十oo)递增; .曲线在点P(xo,f(x。))处的切线方程为x+y-0 当a0时,f(x)在(0,1)递减,在(1,十o)递增; '3x+2ax。=-1, #1 当0<a 1时,f(x)在(0,a)递增,在(a,1)递减 :xo++ar-o.. 在(1,十oo)递增; 1-2. 当a1时,f(x)在(0,1)递增,在(1,a)递减,在(a; 当xo-1时,f(xo)--1. 十)递增. 当xo--1时,f(x。)-1,.',点P的坐标为(1,-1)或 (3)由f(x)>→0得(x-1nx)寸{}-x. (-1,1).故选D.] 7.B [f(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 设y-x-lnx.yx-1.于是y=x-lnx在(o.1)递 +1的图象在(0,1)点处的切线方程为y一x十1,所以 # '$($0)-1,即/(0)-2-a=1,解得a=1,故选B $] 减,在(1,十o)递增,最小值为1.所以Vx(e,十o). 8.C [当n-1时,a=S=1,当n2时,a-S r-lnx>0. S.-一2n-3,由于a:的值不适合上式,故选C.] (2n-1)(a+a2-1) [由题意可得 于是只要考虑Vx(e,十o),a<2 .S-一 x-nr. 9. ACD (2n-1)(b:+b2-1) -r2-x (2n-1)_#,则-) 2 _ 设g()-2 $2-1-3(2n-1)+39 -ln, (2n-1)+3 1 (x-lnx)② n1' 设h(x)-x+2-2lnx,h'(c)--2. ,于是h(x)一 2 x+2-2lnx在(e,+oo)递增,h(x)h(e)=e>0, 能取值有3,5,15. 因此,正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.]