数学(八)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（八） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 超 1.在数列{an}中，a1=1,a+1= 242aEN)则是这个数列倒 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 如 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S1。=100,则a,十a= A.12 B.20 C.40 D.100 3已知等比数列a,的前n项和为5十a-,且a,十a:-则2等于 A.4-1 B.4"-1 C.2- D.2"-1 长 4.已知函数f(x)在x=x。处可导，若li f(x+2△x)-fx）=1,则f(x)=( △x Z A.2 B.1 的 c D.0 5.函数y=x2cos2.x的导数为 数 A.y'=2xcos 2x-x'sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x'sin 2.x C.y'=x'cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2r+2r'sin 2x 6.设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf(x)一f(x)<0,则使 得f(x)>0成立的x的取值范围是 翻 A.(-o∞，-1)U(0,1) B.(1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞) 7.若函数)=十ar+号-6a,6CR)仅在x=0处有极值，则a的取值范围为 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[2,6] D.[-1,4] 8-1 x3-(3m+1)x+3,x≤0 8.若函数f(x) 恰有三个极值点，则m的取值范围是( ma2+xIn x,x>0 A(2- B(-20 c.(-1,-3) D.(-1- 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.若数列{an}满足：对任意的n∈N且n≥3，总存在i,j∈N°，使得an=a,十a,(i≠j,i<n, j<n),则称数列{a}是“T数列”.则下列数列是“T数列”的为 A.{2n B.{n2 C.{3"} 10.已知函数f(x)=一x3十ax2十bx十c,下列结论中正确的是 A.3x∈R,f(x)=0 B.若f(x)有极大值M,极小值m,则必有M>m C.若x。是f(x)极小值点，则f(x)在区间（一o,x)上单调递减 D.若∫(x)=0,则x。是f(x)的极值点 11.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为g,且a1>1,a6十a7>a6a,十1>2，记{an}的 前项积为T。,则下列选项中正确的选项是 A.0<q<1 B.a6>1 C.T12>1 D.T13>1 12,设函数)=合x则下列说法正确的是 ( A.f(x)定义域是(0，十o) B.x∈(0,1)时，f(x)图象位于x轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有且仅有两个极值点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设Sn是等比数列{a.}的前n项和，若2S1,3S2,4S3成等差数列，则等比数列{am}的公比 9= 14.已知函数f(x)=e'lnx,f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为 15.已知f(x)=sinx+lnx,则f(1)= 16.等比数列{a,}中，各项都是正数，且a,24,2a成等差数列，则十a a14十a15 8-2 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)设{a}是等差数列，且a1=ln2,a2十a3=5ln2. (1)求{a.}的通项公式： (2)求e1十e十…十ew, 8-3 18.(本小题满分12分)设f(x)=x3十a.x2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其 中常数a,b∈R,求曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程. 19.(本小题满分12分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b=3,b=9,a1=ba1=b. (1)求{a}的通项公式； 8-4 (2)设cn=an十b,求数列{cn}的前n项和. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a.x+a.x+1一e. (1)若函数g(x)=f(x),试讨论g(x)的单调性； 8-5 (2)若Hx∈(0，十∞)，f(x)0,求a的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,且满足a2十a。=18,S,=49 (1)求数列{a}的通项公式： 8-6 4 (②)设么=a.+)a十3数列伍的前n项和为T,求证：2≤工，<1. 22.(本小题满分12分)设函数f(x)=x一6.x十5，x∈R. (1)求f(x)的极值点： 8-7 (2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根，求实数a的取值范围： (3)已知当x∈(1，十o∞)时，f(x)≥k(x一1)恒成立，求实数k的取值范围. 8-8“当>。时x)在(-，十∞)上有两个零点. 1 22 5,as= 2a4 2x2 5 1 2as 综上a的取值范围是（合十∞）。 2+2 a4+2 2 +2 3a6= a5+2 21.[解](1)由题意，函数f(x)=a.x+1+lnx的定义 城为(0，+∞)，且f(x)=a十L=ax+1 2×3_ 7a7 2a6 2x2 (i)当a≥0，由∫(x)>0可得f(x)是增函数，这时 +2 a6+22 7+2 子故是这个数 函数(x)没有最大值也没有最小值。 （1)当40，函数f代x)在区间(0，-上)上是增函数，在 列的第7项，故选B. 区同（一日+e)上是减通数，所以，=-时，） 解法二由a三心。十2可得一=十之·即数列 "an+l an 取得最大值f(-）=-n(一a,且f)无最小值 (侣}是以品-1为首项，立为公差的等差数到，故 1 an (2)由x>0时，(x)≤xe恒成立，可得a≤e 1十ln严对r>0时恒成立， 1 T 令F(r)=e-1+lnI,则F'(x)=c+ln= 子解得=1：故选B] r2e'+In z 2 2.B[法一：由等差数列的前n项和的公式得：S10 令G(.x)=x2e+lnx,则G'(x)=(x2+2x)e+1 10a1+10X94=100,即2a1+9d=20,从而a4+a1= 2 >0, 所以G(x)是增函数，因此，方程xe2十lnx=0有唯 a1+3d+a1+6d=2a1+9d=20. 一解x0∈(0.1)， 所以函数F(x)在x=x0时取得最小值， 法二：S0=10a+a02=10,a1+a10=20.a4+a7 由于xe,+ln0=0=o=lnL台e=】台 =a1十a1o=20.故选B.] In zo=-xo. 所以F)=1士n=-=1,周此a≤. 3.D[.等比数列{an}的前n项和为Sm To 5 5 22.[解](1)am=3m-1.∴.a1=1,a2=3,a3=9. 且a+a=子，a+a6=8, -2 ,在等差数列{bn}中，b1十2十b3=15,∴.3b2=15,则 b2=5.设等差数列(bn）的公差为d,又a1+b1·a2十 b2,a3十b3成等比数列， 六两式相除可得公比9=号，所以。= 1-2 a1× .(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或 d-2. 2m-1.故选D.] bm>0,∴.d=-10应舍去，.d=2,.b1=3, ∴.bn=2n+1. 4.C ['.'lim fxo十2△x)-fxo2=1 故anbm=(2n+1)·3"-1. △x (2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2-1) f(x0+2△r)-f(xo)_ 3”-2+(21+1)3"-1,① .lim 2△x 2 3Tm=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3"-1+ (2n十1)3"，② ①-②，得-2Tm=3×1+2×3+2×32+2×33+… 即f)-=m+2）-故选C] 2△x +2×3m-1-(2n十1)×3" 5.B [y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)' =3+2×(3+32+33+…十3”-1)-(2n+1)×3 -3+2× -(2m+1)×3m =2.xcos 2x+r2(-sin 2x).(2.r)' =3w-(2n十1)×3m =2xcos 2x-2x2sin 2.x.] =-2n·3. .T=n·3m 6.A[设y=g(x)=f卫(x≠0，则g(r) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（八） 1.B[解法-由a1=1,am+1= -十2(n∈N)得a2= xf(x)fD,当r>0时，xf(x)-fx)<0, 2 .g'(x)<0,.g(x)在(0，十∞)上为减函数， 2a12 2a2 2a3 a1+23,ag= 2a1 ag十2 且g(1)=f(1)=-f(-1)=0. :f(x)为奇函数，.g(x)为偶函数， g(x)的图象的示意图如图所示， 14 11.ABC[由于等比数列{am}的各项均为正数，公比为 q,且a1>1,a6十a7>a6a7+1>2, 所以(a6-1)(a7一1)<0，由题意得a6>1,a7<1, 所以0<q<1. 因为a6a7+1>2,所以a6a7>1,T12=a1·a2·…· a11·a12=(a6a7)>1.T13=a}3<1.故选A,B,C.] 12C[由题意，函数f)-后满足价90.解得 x>0且x≠1，所以函数f(x)= 品的定义城为 e 当x>0,g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1, (0.1)U,+o∞)，所以A不正确：由f)=后x当 当x<0,g(x）<0时，f(x)>0,x<一1， x∈(0,1)时，lnx0,∴.f(x)<0,所以f(x)在(0,1) .使得f(x)>0成立的x的取值范围是（一∞，一1） 上的图象都在轴的下方，所以B正确：因为f(x)>0 U(0,1).故选A.] 在定义城上有解，所以函数(x)存在单调递增区间， 7.A[由题意，广(.x)=x3+3a.x2+9.x=x(x2+3a.x+9) 要保证函数f(x)仅在x=0处有极植，必须满足 e"In r-e (x)在x=0两侧异号， 所以C正确：由f(x)= 所以要x2+3ax+9≥0恒成立， n产，令g)=nx 由判别式有：(3a)2-36≤0..9a2≤36 士则g)=士+>0).所以gx)>0,函 x ∴.-2a2, a的取值范围是[一2,2].故选A.] 数g(x)单调递增，则函数(x)=0只有一个根xo, 8.A[由题意知f(x)=(2r-(3m+1),x≤0 使得f(xo)=0,当x∈(0，xo)时，(x)<0,函数单 2m.x+lnx+1,x>0' 调递减，当x∈(x0,十○)时，函数单羽递增，所以画 当x>0时，令f(x)=0, 数只有一个极小值，所以D不正确.故选B,C.] 可化为：-2m=nx十1， 13.7[由251,352,45，成等差数列，得65=251十 4S3,即3S2=S1+2Sa,2(S2-S3)十S2-S1=0,则 令g(x=x,剡g二一mE、 r2, 一2a3十a2=0,所以公比g= 则函数g(x)在(0,1)递增，在(1，十∞)递减， a? g(x)的图象如图所示： 14.e[本题主要考查导数的计算. y “f)=en∴f)=e(nx+） .f(1)=e×(ln1+1)=e.] 15.cos1+1[.'函数f(x)=sinx+lnx, f)=0sr+f=os1+1] 16.√2-1[设{an}的公比为4.由题意得a1十2a2=a3 则a1(1+2g)=a192,g2-2g-1=0, 故0<-2m<1即一2<m<0时， 所以g=2士8=1+反（舍负）， 2 f(x)=0有2个不同的解， 当r≤0时，令f(x)=0,x=3m+1<0. 则98十a4=1=2-1.] a1t十a15q 2 17.[解](1)设{an}的公差为d. 解得m<-言锋上me(仁名-司） 因为a2十a3=5ln2,所以2a1+3d=5ln2. 又a1=ln2,所以d=ln2. 故选A.] 所以an=a1+(n-1)d=nln2. 9.AD[令am=21,则aw=a1十an-1(n≥3)， 所以数列(2n}是“T数列”；令au=,则a1=1,a2=4, (2)因为e4=en7=2,eL=e4-1=en2=2, e4.- a3一9，所以a3≠a1十a2,所以数列{n2}不是“T数列”： 令an=3",则a1=3,a2=9,a3=27,所以as≠a1十a2 所以{e。》是首项为2，公比为2的等比数列. 所以数列3”}不是“T数列”：令4n= ,则 所以c+e+…+e.=2x号=22-1D. 18.[解]因为f(x)=x3+ax2+hx+1,所以f'(x)= + =am-1十am-2(n≥3)， 3.x2+2a.x+h. 令x=1,得f(1)=3+2a+b,又f(1)=2a,所以 是“T数列”故选AD.] 3十2a十b=2a,解得b=-3. 令x=2,得(2)=12十4a+b.又(2)=-b,所以 10.ABC[因为当x→十o∞时，f(x)→一∞，当x→一∞ 3 时，f(x)→十o,由零点存在性定理知3xo∈R, 12+4a十b=一b,解得a=一之 f(xo)=0,故A正确： 因为f(x)=-3x2+2a.x+b,若f(x)有极大值M,极小 则f)=2-是-3x+1,从而f)=-号 值m.则了(x)=0有两根x1,x2,不妨设x1<x2, 易得f(x)在(1,2)上单调递增，在（一∞，1），(x2, 又了1)=2×(-2）=-3，所以曲线y=x)在点 十o∞)单调递减，所以f(x2)=M>f(x1)=m,故B,C 正确： 1,1)处的切线方程为y一(-号)=-3x-1D. 导数为0的点不一定是极值点，故D错误.故选 即6.x+2y-1=0. ABC.] 15 =9=3, 19.[解](D等北数列{b.}的公比9=2=3 22.[解](1)f(x)=3(.x2-2),令f(x)=0, 得x1=-√2，x2=√2. 所以=2=1，b4=gg=27. 当x∈(-∞，-√2)U(W2,十∞)时，f(.x)>0, 设等差数列{am}的公差为d. 当x∈(-√2，√2)时，f(x)<0, 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 因此x=一√2，x2=√2分别为f(x)的极大值，点、极 所以1+13/=27，即d=2. 小值点 所以am=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走 (2)由(1)知，an=21-1,bn=3m-1 向如图所示.要使直线y=a与y=f(x)的图象有3 因此cm-am十b,=2n-1十3"-1 个不同交点需5-4√2=f(W2)<a<f(-√2)=5+ 从而数列{c}的前1项和 4√2.则方程f(x)=a有3个不同实根时，所求实数 Sm=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3-1 a的取值范国为(5-4√2,5十4√2). =m(1+2m-1)+1-3” y 2 1-3 =+ 20.[解](1)因为g(x)=(.x)=2ax十a-2e2, 所以g'(x)=2a-4e2r=-2(2e2r-a) ①当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在R上单调递减. ②当a>0时，令8'(x)>0,则x<合n号： 令g)<0,则>n号 (3)f(x)≥k(x一1)， 即(.x-1)(.x2+x-5)≥k(x-1). 所以g(x)在(-0，n受)单调递增，在[n受， 因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1，十0∞)上恒成立， 令g(x)=x2十x一5，由二次函数的性质得g(x)在 十0∞)上单调递减. (1,十∞)上是增函数，所以g()>g(1)=一3，所以 综上所述，当a≤0时，g(x)在R上单调递减： 所求k的取值范围是（一∞，一3. 当a>0时，gx)在(-∞，n号)上单调递增，在 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） 1.D[2nam=(n-1)a4-1+（n+1)am+1,∴.数列 [n号十∞)上单调道减. {am}是以a1=1为首项，2a2一a1=5为公差的等差 (2)因为f(x)=a.x2+a.x+1-e2r,可知f(0)=0, 数到20u0=1+5×19=96,解释an-8=4号 f(x)=2a.x+a-2e2r=a(2x+1)-2e2r=(2x+1) 故选D.] (a-zer 2.C[方法一设等差数列{an}的公差为d.S=5= 2.x+1 2e2r 令∫(x)=0,得a=2x+1 2(az+u)02- 2e2r 8re2r 5d联立两式得d-员a7-as+2d-8故选C 设hx)=2x干则h'（x)=2r十D.当x>0时， 方法二：Sg-S4=a5十a6+a7十a8十a9=(a3十ag) h'(x)>0,在(0，十∞)上单调递增， 十a7十(a6+a8)=5a7=20-5=15.∴.a7=3.故选 所以h(x)在(0，十∞)上的值城是(2，十∞)，即 C.] 2e2r 2+7>2 3.C[,等比数列(an}中，a3=2,a4a6=16. 当a≤2时，(x)=0没有实根，且f(x)<0, /a192=2 在(0，十∞)上单调递减，f(x)<f(0)=0,符合题意. 1a1qa1g3=16 当a>2时，h(0)=2<a, 解得a1=1,9=士√2， 所以A-0有家一实鼠1 ao-an aigs-aiglo a6-a8a1q°-a1q =g3=士2V2.故选C.] 当x∈(0，x)时，f(x)>0,f(x)在(0，xo)上单调递 增 4A[位移公式为=2at2,”△=2a(十△)2- f(x)>f(0)=0,不符合题意. 综上a≤2，即a的取值范围为（一o,2]. al+, 1 21.[解](1)设数列(an}的公差为d,由a2十as=2a5=l8, 1 则a5=9 又由S2= 7(a+az2=7a4=49,a4=7, 2 i2-m(ao+2a）=ato: ∴.d=as-a4-2, 己知a=5.0×10m/s2,to=1.6×10-8s,∴.at0=800m/s 又a4=a1+3d=7,所以a1=1,∴.an=2n-1 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.故选A.] (2)证明：由（1)可知bm一n(n十1Dnn十 1 11 5c[nx+--是A错：ey-ye 111+1 “数列{b的前n项和为T。=1一2十2一8十3 +2(e")'=2re+22e,B;(3 cos 2x)'=(3)'cos 2r +3w(cos2.x)'=3n3cos2x-2·3rsin2x=3r(ln3· ++是 4 n+1 os2x-2sin2r).c正骑：（专+logx/=成 由0<号所以日T,<1 D错.故选C.] 16