3.2.1函数的单调性 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§ 3.2.1 函数的单调性 一、教材分析 本节课是人教版高中数学必修1中第三章第二节的第一小节的内容。函数的单调性是函数的重要性质，既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着极其广泛的应用．函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围（如函数的最值、值域）的有利工具。从初中到高中，函数单调性的概念的形成过程，经历了从图像直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言来定量刻画变化规律，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义。 二、学情分析 学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函数都研究了函数值随自变量增大而变化的规律，能够理解函数图像从左到右上升或者下降这一性质，可以用“随的增大而增大（减小）”这样的自然语言来描述。在高中阶段，要通过引入“当时,都有”的符号表达方式，对函数的单调性实现定量刻画，这样的语言是学生第一次接触，对他们来说是一个比较大的难点。在教学中，要数形结合的提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义。 三、教学目标 理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，理解单调性是函数的局部性质，会判断和证明简单函数的单调性。通过探究函数单调性的过程，提升数形结合能力以及观察总结能力，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。激发学习数学的兴趣，培养严谨的科学态度。 四、教学重难点 重点：函数单调性的概念、判断及证明。 难点：抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。 五、教学过程 （一）引入 【师】：前面我们已近学习了函数的概念和表示法，知道函数是描述客观事物变化规律的数学模型，那我们就可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，从这节课我们开始学习函数的性质，我们讲到的的性质是变化中的不变性，是变化中的规律性，现在老师这里有四个函数图像，是大家熟悉的一次函数、二次函数和反比例函数，大家想想，这些函数图像有什么特点。 【生】：函数的函数图像中，随着的增大而增大，函数的函数图像中，随着的增大而减小，函数的函数图像中，随着的增大先增大再减小，函数的函数图像中，随着的增大而减小。 【师】：小明同学总结了这四个函数图像在函数值从左至右的变化趋势的特点，大家想想，还能从其他的方面考虑吗？提示一下大家，想想对称性。 【生】：函数的图像关于原点对称，函数的图像关于轴对称。 【师】：很好，我们研究函数的性质可以从不同的角度出发，今天我们的出发点是是随的增大而增大呢还是减小，那么这就是我们要研究的函数的第一个性质——单调性。 （二）新知探究 【问题】：进一步观察二次函数图像，尝试用符号语言描述函数图像从左至右的变化趋势 【师生活动】：学生小组讨论，怎么用符号语言描述函数从左至右的变化趋势，教师在台下看一看各组的情况。将看到的结果板书在黑板上。 详细简介的部分，通过巡视，看见有小组的答案是“时，有”，对于这个答案，我们可以给出图一，通过图一，大家很快就发现了问题所在，提出起码要在同一个区间里，通过补充，展示在黑板上的答案变为“当时，有”，对于这个答案，大家的意见可能会出先分歧，提醒大家注意一下我们之前学过的全称量词，“”前面没有全称量词，根据之前的学习，“”这其实就是“”的含义，我们会发现图二满足“时，有”，但是在中，函数值并没有随着自变量的增大而增大，让同学们感受到“”还不够，必须是“”即“当时，有”。这才是准确的符号表达，类似的可以得到时的符号表达。 【设计意图】：通过板书“时，有”，不断追问这样描述是否准确，一点点补充，最终得到关于函数从左至右函数变化趋势的准确符号语言的表达。由此同学们可以抽象出函数单调性的定义。在此过程中，强调区间和全称量词任意的重要性。将函数单调性的概念通过表格的形式展现给同学们，第一行是图像，第二行是图像的特点，第三行是符号表达，将图像与符号表达同时展出，为之后证明函数单调性的两种方法——图像法和定义法做铺垫。 要强调注意的： 1、 函数的增减, 是对定义域内某个区间而言的, 它是个局部性的概念。 2、 如果函数在区间D上单调递增或单调递减, 那么就说函数在这一个区间上具有(严格的)单调性. 这区间D叫做的单调区间。 3、 单调区间只能用区间表示，当一个函数的增区间（或减区间）有多个时，不能用“”连接，而应该用“和”或“，”连接。 【习题】：下图是定义在闭区间上的函数的图象, 根据图象说出的单调区间,以及在每一单调区间上的单调性。 答案：函数单调区间有。 在区间上单调递减。 在区间上单调递增。 【设计意图】：在讲完习题之后，带出要注意的第三点，单调区间只能用区间表示，当一个函数的增区间（或减区间）有多个时，不能用“”连接，而应该用“和”或“，”连接。 （三）巩固练习 【判断题】 （1） 因为,所以函数在上是增函数。 （） （2） 若为R上的减函数，则。 （） （3） 若函数在区间上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数。 （） 【设计意图】：通过判断题，练习刚刚所学的函数的单调性中需要注意的点。 【师】：关于函数的基本性质——单调性，我们已经学习了函数的单调性是什么，也就是函数单调性的概念，那我们学习完是什么，接下来我们就开始学习怎么做，怎么证明函数的单调性呢？有同学有想法吗？ 【生】：老师，我们可以画出函数的图像，从左至右看，是上升的，那就在那个区间里是单调递增，是下降的，那在那个区间里是单调递减的。 【师】：很好，我们可以通过图像来判断函数的单调性，这节课我们本来就是从函数的图像着手来学习的函数的单调性，自然也可以从函数图像来判断函数的单调性，很好，但是对于我们熟悉的函数，我们可以画出函数的图像，通过图像来判断单调性，那对于我们不熟悉的函数，我们不能准确的画出函数图像，那我们又要如何来判断呢？可见，通过图像法是可以判断出单调性，但应该还存在另外一种方法。有同学有想法吗？ 【师】：老师提醒一下大家，关于函数的单调性，我们手里还有什么？ 【生】：我们刚刚学习了函数单调性的定义，我们可以通过定义来判断函数的单调性。 接下来开始用定义法证明函数单调性的学习。 【习题】：根据定义，研究函数单调性。 从简单的一次函数入手，引导同学根据定义，用数学语言研究函数的单调性，并抽象出用定义法判断函数单调性的步骤。 定义法证明函数单调性的步骤： 1） 取值：在区间内任取且； 2） 作差：; 3） 变形：将进行适当因式分解变形; 4） 定好：将变形结果与0作比较： 5） 判断：作结论。 【习题】：根据定义证明函数区间单调递增。 【解答】：证明： 由于 所以 又由于 于是 即 所以，函数区间单调递增. （四）课堂小结 （五）课后作业 （1）若函数在定义域上是增函数，且，求的取值范围。 （2）已知函数在定义域上是减函数，且，求的取值范围。 【设计意图】：已知函数的单调性，利用单调性的性质解题，加深同学们对单调性概念的理解。这两个题形类似，定义域不同，启发同学细心思考。 （六）板书设计 §3.2.1 函数的单调性 定义：的定义域： 怎么函数单调性的方法 当时， 有 单调递增 增函数 当时， 有 单调递减 减函数 1、 图像法 2、 定义法 取值→做差→变形→定号→下结论 注意： 学科网（北京）股份有限公司 $$