数学(一)-【步步为赢】2023-2024学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 慰 是符合题目要求的) 1.若S为数列a.的前n项和，且8-n升则- ( 如 A.6 6 B. D.30 2.已知等差数列{an}的前n项为Sn,bn=2,且b1十b3=17,b2十b,=68,则S。= A.90 B.100 C.110 D.120 长 3.设等比数列{a,}的前n项和为Sn,S2=一1，S,=一5，则S6= A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 Z 4.函数y=血严的最大值为 的 A.e-1 B.e C.e2 D.10 批 5.某箱子的体积与底面边长x的关系为V()=r(60。）0<<60),则当箱子的体积最 大时，箱子底面边长为 构 A.30 B.40 C.50 D.60 装 6.已知离散型随机变量X~B(,p)且E(x)=4,D(x)=g,则+上的最小值为 () 妇 A.2 B.9 c D.4 7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒 中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X),则P(X=4)的值为() 1 A.220 B 品 D. 55 5 1-1 8.下面是2×2列联表： Y X 合计 V ye Zi 33 21 54 x a 13 46 合计 b 34 则表中a,b处的值应为 A.33,66 B.25,50 C.32,67 D.43,56 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分) 9.已知等比数列(an}的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有 A.{a} B.(a,a+ C.g a) D.SS2n-SS-S2n 10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是 ( A.y=cosx B.y=In x C.y=e" D.y=x2 山.设0E[吾，】，随机变量的分布列如表所示，则E(日) ( 1 2 3 P 1 in0 12 1 2cos20 A有最大值号 B有最大值号 C有最小值子 D.无最小值 1-2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.无穷数列{a,}由k个不同的数组成，S,为{a.}的前n项和.若对任意的n∈N”,S.∈{2,3}， 则k的最大值为 13.甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法 有 种. 14.已知函数y=2+3,当工由2变到1.5时，函数的增量△y= 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)设数列{an}的前n项和为S.,满足(1一q)S.十ga.=1,且q(q一1)≠0. (1)求数列{a.}的通项公式： 1-3 (2)若Sg,Sg,S6成等差数列，求证：a2,ag,a5成等差数列. 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(x一1)lnx一x一1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点： 1-4 (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 17.(本小题满分15分)有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100个，其质量（均为1~11kg)频数分布表如下（单位：kg): 分组 [1,3) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) 频数 10 30 40 15 5 以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率， (1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布V(,σ)，其中：近似 为样本平均数x,σ≈4，请估计该种植园内质量在(5.5,9.5)内的百分比 1-5 (2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再 从这8个水果中随机抽取2个.若质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得 的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和 数学期望. 附：若专服从正态分布N(,0),则P(u一o<十a)=0.6827,P(u一2<<十26)=0.9545. 1-6 18.(本小题满分17分)在等差数列{a,}中，已知a1=1,a3=一5. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若数列{a,}的前k项和S.=一25，求k的值. 1-7 9,(本小题满分17分)已知函数f(x)=alnx十x (1)求f(x)的单调区间： (2)函数g)=号r-名（x>0),求证：当a=1时，f(x)的图象不在g(x)的图象的 上方 1-8参考答案与详解 高二下学期期未综合冲刺卷·数学（一） 对于A,2 =,故A正确：对于B,0-1 1D[当≥2时a,=S,-S1=n为-” an-1 an-lan an-1 1 n(n+1)· :.1=5×(5+1)=30.故选D.] ≠0，故B正确：对于C,g@a-lg4-1=gan= as b2+b_ 2.A[设{an}公差为d,b,+ 24+2 g为等差款列，但是二不一完为舍数，即 22+24 (lgam}不一定为等比数列，故C错误；对于D,若a 29+29=24=68 2,+d+24+d =17=4.d=2,61+3=24,+ (一1)”为等比数列，公比为一1，则Sm有可能为0，不 一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 2%1=24+2%,+24=17,2=1,a1=0.∴.S10=10a1+ 10.AD[由题意y=f(x)具有T性质，则存在x1x2, 10×94=10X9×2=90.故选A.] 使得f()了(x2)=一1，对于选项A,因为(x)= 2 2 3.B[由等比数列性质得S:,S4一S2,S6一S成等比数 一m,存在n=受n=一受使得/儿fu)=-1: 列，即-1×(S6+5)=(-5+1)2,∴.S6=-21.故选 对于选项B,因为了(x)=上>0，不存在1,2，使得 B.] 4.A[令y=1-h=0=x=e.当x>e时y<0:当 (x1)(x2)=-1:对于选项C,因为(x)=e>0, 不存在x1,x2,使得∫(x1)f(x2)=一1：对于选项 0<x<e时，y>0,所以ymmx=e-1,因为在定义域内 只有一个极值，所以ymx=e1.故选A.] D,因为了(x)=2,存在1=1,2=-子，使得 .B[Vx)=-号2+60r=-是r一40.周为0< f(x1)f(x2)=4x1x2=-1.故选AD.] x<60,所以当0<x<40时，V'(x)>0,此时V(x)单 1.Ac[Bg=7n9+2X名+3x2ms0-2+omsn 调递增：当40<x<60时，V'(x)<0,此时V(x)单调 0e[音]ase[合] 递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积 最大时，箱子底面边长为40.故选B.] i.o E(,x)=np=4 6.C[由X~B(np),则 D(x)=np(1-p)=q =是+m9e[子号] 41-p)=g=4p+g=4=p+子9=1， 故E)有最大值号，有最小值子，故选AC] 从而1=+=(+p+q. 12.4[依题意得，a1=S1∈(2,3}，Sn∈{2,3)且Sm+1∈ {2,3},因此am+1=Sm+1-Sn∈{-1,0,1}(n∈N), 1=++ 即数列{am}从第2项起的不同取值不超过3个，进而 可知数列{am}中的项的所有不同取值的个数k≤4， 而依题意：>09>0，则1=亭+（品+号）≥号+ 且事实上，取数列{am}为2,1,0，一1,1,0、一1,1,0， 一1，…，此时相应的k=4,Sn∈{2,3}.因此，k的最 大值是4.] 2p时取“=”号. 13.80[由题意可知当丙排在最中间时有C吃AA=8(种) 即+的最小值为是] 当丙在左侧排一个或三个人时有C是AA=24(种) 当丙排在两端时有CA=48(种)，故共有8十24十 7.C[由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故 48=80(种).] P(X=4)= 架-器收c 14.号[△y=1.5)-f2)=(品5+3-（号+3） 8.A[由2×2列联表知a十13=46，所以a=33,又b= a+33,所以b=33+33=66.故选A.] 专-1=3] 9.AB[由数列{a为等比数列可知，”=g(q≠0). 15.(1)[解]当n=1时，由(1一q)S1十g1=1,得a=1. 'an-1 当n≥2时，由(1一g)Sn十gam=1,得(1-q)Sa1十 9aw-1=1. P(Y=10)= clcl3 两式相减，得am=gm-1.又因为g(g一1)≠0，所以 C7 q≠0且9≠1， P(Y=12)= _6=3 所以{am}是以1为首项，g为公比的等比数列， C2814 故数列(aa的通项公式am=g”- Y的分布列为： 1-dnq (2)[证明]由(1)可知S:=1一9 Y 6 8 10 12 ,1-a39+1-a69 P 3 又由题意得5十S=2Sg,即1一q 1-q 2(1-agg) E(Y)=6X +8x+10×号+12×=9.5 1-g 18.[解](1)由题意，设等差数列{am》的公差为d,则 化简得a3十a6=2ag,两边同时除以q,得a2十a5=2ag. am=a1+(n-1)d, 故a2,a8,a5成等差数列. 因为a1=1,a3=-5.可得1十2d=-5, 16.[解](1)由题意知f(x)的定义域为(0，十⊙∞). 解得d=-3. fx)=2+lax-1=ln- 所以数列{am}的通项公式为am=1十(n一1)X x (-3)=4-3n. 因为y=nx在(0，十∞)内单润递增y=上在 (2)由1)可知am=4-3m,所以Sn=1十(4-3m)] (0,十∞)内单调递减，所以了(x)单调递增. +a… 又f)-10.f2=lh2-合-恤g>0. 2 又由5=-25，可得-22+2=-25，即32 故存在唯一的x0∈(1,2)，使得子(x0)=0. 又当x<xo时，f(x)<0,f(x)单调递减， 5谈一50=0，解得长=5或太=一9又周为k∈N,所 当x>xo时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 以k=5. 因此，∫(x)存在唯一的极值点. 19.[解](1)广(x)=4+x(x>0), (2)由(1)知f(.xm)<f1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所 以f(x)=0在(.x0,十∞)内存在唯一实根x=a. 若a≥0，则(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递增： 若a<0,令f(x)=0,解得r=士一a 由u>0>1得。<1<0 由fx)=-ar+VF@0. 又（合）=（日-h是是-1=0=o. a 得x>√一a, 故。是)=0在(0,0)上的唯一实根。 由f(x)<0,得0<x<√-a. 从而f(x)的单调递增区间为（√一a,十oo),单调递 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数 减区间为(0，一a). 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o)上单调递增， 1.[解]1元=02×10+4×30+6X40+8×15+ 当a<0时，f(x)在（一√a,十∞）上单调递增， 10×5)=5.5, 在(0，√一a)上单调递减. 由正态分布知， (2)证明：令p(x)=f（x)一g(x). P(5.5<X<9.5)=P<+2o)=2P-2a< 当a=1时g)=lnx+22-号r+>0. +2a)-号×0.9545=0.4725. 则g()=是十x-2x2=1+2 (1-x)(2x2+x+1) 该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为 47.725%. 令'(x)=0,解得x=1. (2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水 当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 果中抽取的个数分别为1,3,4， 当x>1时，g'()<0,g(x)单调递减： Y的取值为6,8,10,12. 六音=1时g()取得最大值g)=专一号十 则P(Y=6)= CIC 3 C%28 合=0 P(Y=8)= CCC 7 1 g(x)≤0，即f(x)≤g(x). C 284 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方，