精品解析：四川省成都市金牛区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年（下）期末教学质量测评 八年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卷收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（ ） A B. C. D. 4. 要使分式无意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 6. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）边形 A. 六 B. 五 C. 四 D. 三 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A 20° B. 25° C. 30° D. 45° 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 因式分解：=______． 10. 已知一次函数，则的最大整数解是______． 11. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标，则点坐标为______． 12. 如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为______． 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为______． 三、解答题（共48分） 14. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 15. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为 ； （2）两出绕点逆时针旋转后的图形；写出点的坐标为 ． （提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑） 17. 在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图，在中，，，，，． （1）求线段的长； （2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 20. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 21. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 22. 如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是______． 二、解答题（共30分） 24. 2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有，两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍． （1）求、两种商品的单价； （2）现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 26. 平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年（下）期末教学质量测评 八年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卷收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【详解】解：， ， 选项A正确，符合题意； ， ， 选项B错误，不符合题意； ， ， 选项C错误，不符合题意． ， 也可能， 选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：若为腰长，为底边长， ， 能组成三角形， 它的第三边是； 若为底边长，为腰长， ， 不能组成三角形； 故选：B． 4. 要使分式无意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件：分母等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ． 故选：A． 5. 如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、，，四边形平行四边形，故选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意； D、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）边形 A. 六 B. 五 C. 四 D. 三 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为，内角和为， 多边形外角和为， 解得：， 故选：A． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得． 【详解】解：由，将绕点逆时针旋转得到， 得，， 得， 得． 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 10. 已知一次函数，则的最大整数解是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论．本题考查了一次函数的性质，正确地求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：，即， ， 的最大整数解是， 故答案为：2． 11. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为， 平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， 的对应点的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，三角形的面积等知识，设与之间的距离为，则，，，求得，，进而求得的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形，为边的中点， ， 设与之间的距离为， ，，， ， ， ， 故答案为：12． 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得出，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为28， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的周长为18． 故答案为：18． 三、解答题（共48分） 14. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程： （1）分别求出两个不等式的解集，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； （2） 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程组的解为． 15. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1﹣）÷ ＝ ＝ ＝； 当x＝+1时， 原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为 ； （2）两出绕点逆时针旋转后的图形；写出点的坐标为 ． （提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑） 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 17. 在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题第（1）问考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，第（2）问考查含角的直角三角形的性质以及平行四边形面积的计算． （1）根据为的中垂线，可得，，从而，又因为，根据等角的余角相等可得，从而得到，故，再根据，可得四边形是平行四边形； （2）在中，根据，，可得，，根据为的中垂线，可得，根据平行四边形面积公式即可求得面积． 【小问1详解】 证明：为的中垂线， ，， ， ，， ，， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：设于交于点， 在中，，， ，， 为的中垂线， ， ． 18. 如图，在中，，，，，． （1）求线段的长； （2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得； （2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故； （3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴线段的长为； 【小问2详解】 ，理由如下： 连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 在上取一点H，使，连接，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】求出，可得结论．本题考查了因式分解的应用，准确代入并计算是解题关键． 【详解】解：，， ． 故答案为：24 20. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 分式方程有增根， ，即， 将代入，得：， 故答案为：2． 21. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键． 【详解】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 22. 如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至M，连接，作于N，作于P，证明是等腰直角三角形，求出， 证明，在中，用勾股定理求出． 【详解】解：延长至M，连接，作于N，作于P， 是等腰直角三角形，点F是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点、关于对称， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，于N， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质及勾股定理的运用，熟练运用相关性质定理，正确作出辅助线是正确解决本题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转90度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，先由等边三角形的性质得到，再证明得到；如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，则，进而可得，则，即可得到，解得，则． 【详解】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F， ∵是等边三角形，点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判断，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而表示出点C的坐标是解题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有，两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍． （1）求、两种商品的单价； （2）现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？ 【答案】（1）种商品的单价为36元，种商品的单价为45元 （2）共有10种采购方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，利用数量总价单价，结合360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即种商品的单价），再将其代入中，即可求出种商品的单价； （2）设购买件种商品，则购买件种商品，根据“购买费用不超过4590元，且购买种商品数量少于种商品数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有10种采购方案． 【小问1详解】 解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种商品的单价为36元，种商品的单价为45元； 【小问2详解】 设购买件种商品，则购买件种商品， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为70，71，72，73，74，75，76，77，78，79， 共有10种采购方案． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 26. 平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】（1）8 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； 【小问3详解】 解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$