第一章 特殊平行四边形 积累与提高 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册课件 第一章 特殊平行四边形 积累与提高 九 数学 上册 年级 北师版 2 相等 垂直平分 中心对称 对角线乘积 1.菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的一切性质. （2）菱形的四条边都_______. （3）菱形的两条对角线互相___________，并且每一条对角线平分一组对角. （4）菱形既是轴对称图形，又是___________图形. （5）菱形的面积 底 高 _____________的一半. 3 2.菱形的判定 （1）一组_______相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相_______的平行四边形是菱形. （3）四边_______的四边形是菱形. 邻边 垂直 相等 平行 相等 直角 相等 平分 中心对称 轴对称 中线 斜边 3.矩形的性质 （1）矩形的对边_______且_______． （2）矩形的四个角都是_______． （3）矩形的对角线_______且互相_______． （4）矩形既是___________图形又是_________图形. 矩形性质的推论：直角三角形斜边上的_______等于_______的一半． 4.矩形的判定 （1）有一个角是_______的平行四边形是矩形. （2）对角线_______的平行四边形是矩形. （3）有三个角是_______的四边形是矩形. 直角 相等 直角 相等 平行 直角 相等 垂直平分 一组对角 中心对称 轴对称 5.正方形的性质 （1）正方形四条边都_______，对边_______． （2）正方形的四个角都是_______. （3）正方形的对角线_______，且互相___________，每一条对角线平分___________． （4）正方形既是___________图形又是_________图形. 6.正方形的判定 （1）有一个角是_______的菱形是正方形. （2）有一组邻边_______的矩形是正方形. （3）对角线互相_______的矩形是正方形. （4）对角线_______的菱形是正方形. 直角 相等 垂直 相等 例1 将平行四边形纸片 按如图所示的方式折叠,使点 与点 重合,点 落到点 处,折痕为 . 【点拨】根据折叠的性质可得 , , ,以及 , ，再根据三角形全等和特殊四边形的判定方法即可解决问题. （1） 求证： ； （2） 连接 ,判断四边形 是什么特殊四边形，并证明你的结论. 9 【解】（1）由折叠可知： , , . 四边形 是平行四边形, , , . , , . 即 ， . . （2）四边形 是菱形. 由折叠可知： , . 又 , . . 四边形 是平行四边形, . .则 ， . , . 四边形 是菱形. 折叠实际上是一种轴对称变换，因此解决折叠问题的关键是要明确折叠前后的两个图形是全等形，进而得到相等的边和角，然后综合运用图形性质去分析研究，注意此类题目很多时候要借助勾股定理，并运用方程思想解决. 例2 如图，在 中， ，点 为 的中点，四边形 是平行四边形， ， 相交于点 . （1） 求证：四边形 是矩形. 【点拨】根据四边形 是平行四边形和等腰三角形三线合一的性质，即可推出四边形 是矩形. 13 【解】 四边形 是平行四边形， ， . 又 ，点 为 的中点， ， . ， . 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形． 14 （2） 若 ， ，求矩形 对角线 的长. 【点拨】根据 和矩形的对角线相等且互相平分，可得出 为等边三角形，即可求出 的长，从而得到矩形 对角线的长. 四边形 是矩形， . , 为等边三角形. ，故 . 解答矩形中的问题，要注意挖掘其中隐含的规律或结论.如矩形的四个角为直角，矩形的对角线相等且互相等分；要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并会运用勾股定理计算相关线段的长. 例3 如图，在 中， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点.若 ，则 的长为____. 5 【点拨】已知 是 斜边 上的中线，那么 ； 是 的中位线，则 .据此即可求. 17 遇到三角形两边的中点，联想到“中位线定理”，这是求解相关线段倍分、位置关系的常用方法.当一点恰好为直角三角形斜边中点时，可考虑运用直角三角形斜边上中线的性质定理求解相关线段的倍分关系. 18 例4 如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，且 ， . （1） 如果 ，那么四边形 是_____形. 矩 【点拨】由于四边形 的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形 是平行四边形.又 ，即可判定四边形 的形状； 19 （2） 如果 是 的角平分线，那么四边形 是_____形.请说明理由. 菱 【点拨】易知四边形 是平行四边形，再由已知条件可得有一组邻边相等，即可判断； 【解】理由： ， ， ，四边形 是平行四边形. 又 是 的角平分线， . . . 平行四边形 是菱形. 20 （3） 如果 ， 是 的角平分线，那么四边形 是什么特殊四边形？证明你的结论. 【点拨】结合（1）（2）的结论即可判断四边形 的形状. 【解】 由（1）知四边形 是矩形，由（2）知四边形 是菱形， 四边形 是正方形. 21 解答此类问题的关键是充分利用条件进行合理的猜想，发现规律与方法，得出结论.解题过程中要熟记菱形、矩形、正方形的判定方法，其中判定一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再说明矩形的邻边相等或对角线互相垂直；或是先证明四边形是菱形，再说明菱形的一个角是直角或对角线相等. 1. 如图，在菱形 中，不一定成立的是( ) A. 四边形 是平行四边形 B. C. 是等边三角形 D. C 23 2. 已知四边形 是平行四边形，再从① ，② ，③ ，④ 四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形 是正方形.现有下列四种选法，其中错误的是( ) A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ B 24 3. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 边的中点，连接 .若 ， ，则菱形 的周长为 ( ) A. B. C. D. C 25 4. 如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .若 ， ，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. C 26 5. 将矩形纸片 按如图所示的方式折叠，得到菱形 .若 ，则 的长为______. 27 6. 如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ，且 ，则 的长为______. 28 7. 如图，在四边形 中， ， ， 为 边上两点，且 . 求证： 29 （1） ； 证明： ， . ， . . （2） 四边形 是矩形. ， . 又 ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 8. 如图，在平行四边形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 . 31 证明： 四边形 是平行四边形， 且 ， 且 . 点 ， 分别是 ， 的中点， ， . . 四边形 是平行四边形. 在 中，点 是 的中点， （1） 求证：四边形 是菱形. . 而 ， 是等边三角形，即 . 故 . 平行四边形 是菱形. （2） 请判断四边形 是什么特殊四边形，并加以证明. 解：四边形 是矩形.理由如下： 且 ， 四边形 是平行四边形. 由（1）的证明知 ， ， . 故 . 平行四边形 是矩形. 9. 如图，正方形 的边长为 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 上的动点，且 . 35 证明： 四边形 是正方形. ， . ， . 易知 . ， . 四边形 是菱形. （1） 求证：四边形 是正方形； ， . . 四边形 是正方形. 解：直线 经过一个定点，这个定点为正方形的中心（ ， 的交点）.理由如下： 连接 ， ，交点为 . 四边形 是正方形， . . （2） 判断直线 是否经过一个定点，并说明理由. 在 和 中， . ，即 为 的中点. 正方形的对角线互相平分， 为对角线 ， 的交点，即 为正方形的中心. 直线 经过一个定点. 10.（1） 如图1，在平行四边形纸片 中， ， .过点 作 ，垂足为 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，则四边形 的形状为( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 C 40 （2） 如图2，在（1）中的四边形纸片 中，在 上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 . 41 ① 求证：四边形 是菱形. 证明： 在 中， ， ， ， . 将 平移至 的位置， ， . 四边形 是平行四边形. 在 中，由勾股定理，得 ， . 四边形 是菱形. ② 求四边形 的两条对角线的长. 解：连接 ， . 在 中， ， ， . 在 中， ， ， . $$