专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题02 相似三角形的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、灵活证明两个三角形相似 2 类型二、相似三角形的判定与性质的综合 4 类型三、利用相似三角形的性质求解 5 类型四、证明三角形的对应线段成比例 7 类型五、相似与折叠 9 类型六、相似三角形的应用 10 压轴能力测评（13题） 12 一、相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 二、相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 三、相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 类型一、灵活证明两个三角形相似 【例1】如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【变式训练1】如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【变式训练2】如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【变式训练3】如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 类型二、相似三角形的判定与性质的综合 【例3】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【例4】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交线段于点．若，，那么正方形的面积为 ． 【变式训练1】如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【变式训练2】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 【变式训练3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 类型三、利用相似三角形的性质求解 【例5】在平面直角坐标系一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，与反比例函数与在第一象限内交于点．点是反比例函数在第一象限内一动点，过点作于点，若与相似，则点的坐标为 ． 【例6】如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【变式训练2】如图，在中，，，，是边上一个动点，当 时，与相似． 【变式训练3】如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 类型四、证明三角形的对应线段成比例 【例7】如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例8】如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：． 【变式训练1】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，菱形中，，，垂足分别为E，F．对角线分别交，于点G，H．    (1)求证：． (2)若，证明． 【变式训练3】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 类型五、相似与折叠 【例9】如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 【例10】如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则 ． 【变式训练1】如图，将一张正方形纸片折叠，折痕为，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接并延长交于点G．若，，则的长为 ． 【变式训练2】如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）． 【变式训练3】如图，在中，，，D是上一点，，点M在上，点N在上，将沿折叠，点A恰好与点D重合，则折痕的长为 ． 类型六、相似三角形的应用 【例11】咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 【例12】瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【变式训练1】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【变式训练2】晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【变式训练3】为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且，均垂直于，D、P、F三点共线，且，．已知小明眼睛离地面的高度，，，，．求路灯的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）                一、单选题 1．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（   ） A． B． C． D．5 4．如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（    ）    A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长 5．如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（     ） A． 的面积 B． 的面积 C．线段 的长 D．线段 的长 二、填空题 6．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ． 7．如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 8．如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ． 9．如图所示，在中，是的角平分线，且，为垂足，点在线段上，，过作，交于点，若四边形的面积为，则 ，四边形的面积为 ．    10．在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 12．已知：如图，在中，，，为底边上一点，将线段绕点逆时针旋转角度到，将线段绕点逆时针旋转到，连交于点； (1)根据题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，说明理由． 13．（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、灵活证明两个三角形相似 2 类型二、相似三角形的判定与性质的综合 7 类型三、利用相似三角形的性质求解 13 类型四、证明三角形的对应线段成比例 18 类型五、相似与折叠 23 类型六、相似三角形的应用 29 压轴能力测评（13题） 35 一、相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 二、相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 三、相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 类型一、灵活证明两个三角形相似 【例1】如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故B不符合题意； 又，， ∴，故C不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故D符合题意； 故选：D． 【例2】如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【答案】证明见解析． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 同理可得， ∴共6对， ∵， ∴点B，点C，点D，点E四点共圆∶ ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选D． 【变式训练2】如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】7 【详解】解：如图所示，当时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，． 综上所述，符合题意的点的位置有7个． 故答案为：7． 【变式训练3】如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 将沿着折叠后得， ，， ，， ， ， ， 平分． （2）证明：由折叠可得：， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件． 类型二、相似三角形的判定与性质的综合 【例3】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【例4】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交线段于点．若，，那么正方形的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：如下图，设， 根据题意，可得，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：． 【变式训练1】如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为点， 设， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ∴， ， ， 即， ． 故选：B． 【变式训练2】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 【答案】 /30度 / 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∴，，， 作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：，． 【变式训练3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：是垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ，， 而，， ， ， ， ． 类型三、利用相似三角形的性质求解 【例5】在平面直角坐标系一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，与反比例函数与在第一象限内交于点．点是反比例函数在第一象限内一动点，过点作于点，若与相似，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：由一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点， 当 ∴ ∵点是反比例函数在第一象限内一动点，设，于点， ∴ ∵， ∴与相似，只有两种情况， 当时，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴    当时，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴，    综上所述，或 故答案为：或． 【例6】如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 【变式训练1】如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 【变式训练2】如图，在中，，，，是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】或 【详解】，，， 当与时， ， ， 解得：； 当与时， ， ， 解得：； 综上所述：当或时，与相似． 故答案为：或 【变式训练3】如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， ， 垂直平分， ； （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ； （3）解：连接， ， ， 在中， ， 是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出，的长是解题关键． 类型四、证明三角形的对应线段成比例 【例7】如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 【例8】如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，全等三角形的判定，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键． 【变式训练1】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 【变式训练2】如图，菱形中，，，垂足分别为E，F．对角线分别交，于点G，H．    (1)求证：． (2)若，证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）如图，连接．    ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理． ∴． 【变式训练3】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 类型五、相似与折叠 【例9】如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，连接，   四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 【例10】如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，垂直平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 故答案为：． 【变式训练1】如图，将一张正方形纸片折叠，折痕为，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接并延长交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作于点，过作于点， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）． 【答案】 【详解】解：是等边三角形， ， ， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， ∴，可化为， ∴， ∴， ∴， 又∵，即有， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】如图，在中，，，D是上一点，，点M在上，点N在上，将沿折叠，点A恰好与点D重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【详解】解：过M作于G，过N作于H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 设，， ∵，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点A恰好与点D重合， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 类型六、相似三角形的应用 【例11】咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 【答案】咸阳奥体中心的高度为50． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ， ， 解得：， 善咸阳奥体中心的高度为50． 【例12】瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【答案】米 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴真身宝塔的高度为米． 【变式训练1】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【详解】解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 【变式训练2】晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 【变式训练3】为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且，均垂直于，D、P、F三点共线，且，．已知小明眼睛离地面的高度，，，，．求路灯的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）                【答案】约 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， 过E作于G，则四边形是矩形， ∴,， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 答：路灯的长约为． 一、单选题 1．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得或0（舍去）， ， 故选C． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 2．如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ． 根据折叠前后的图形全等得到， ，，， ，， ， ， ， ∴， ， （负值舍去）. 故选：A. 3．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：在矩形中，，，， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（    ）    A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长 【答案】A 【详解】解：如图，连接，过点作，    由题意，可得：四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵身高，两个路灯间的距离，路灯的高度均为定值， ∴的长为定值， ∴他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和一直不变． 故选：A. 5．如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（     ） A． 的面积 B． 的面积 C．线段 的长 D．线段 的长 【答案】D 【详解】如图，连，， ∵ 和都为等边三角形， M、N 分别是， 的中点， ∴，，， ， ∴，， 在和中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴若要知道的值，只需知道线段的值就可以了， 故选：D． 二、填空题 6．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ． 【答案】 【详解】四边形是矩形， ，， 将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， 同理可得， ， 即， 解得， 即． 故答案为：． 7．如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【详解】解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③． 8．如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵等腰中，，，N为边上中点， ∴，，， ∵， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．如图所示，在中，是的角平分线，且，为垂足，点在线段上，，过作，交于点，若四边形的面积为，则 ，四边形的面积为 ．    【答案】 / 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为， ， ， 四边形的面积为， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：，． 10．在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解∶过点作的平行线，交的延长线于点． 在直角中，， ， ∴， 在直角中，由勾股定理得 ． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平行线构造相似三角形是解决问题的关键． 三、解答题 11．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．已知：如图，在中，，，为底边上一点，将线段绕点逆时针旋转角度到，将线段绕点逆时针旋转到，连交于点； (1)根据题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，说明理由． 【答案】(1)补全图形见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【详解】（1）解：如图，根据题意补全图形如下： （2）解：由题意可得，， 设与的交点为点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，与相交于点， 由旋转可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． 13．（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）结论仍成立；理由如下： ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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