专题01 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题01 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、比例线段的计算 3 类型二、由平行截线求有关线段或比值 4 类型三、构造平行截线求有关线段或比值 5 类型四、黄金分割点求线段 6 类型五、黄金分割点的有关证明 8 压轴能力测评（12题） 9 一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 二、黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 三、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 四、平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则 类型一、比例线段的计算 【例1】已知，且，则的值为 ． 【例2】已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【变式训练1】已知，且，若，则 ． 【变式训练2】找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 【变式训练3】若，且，求的值． 类型二、由平行截线求有关线段或比值 【例3】如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 【例4】如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 【变式训练1】如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【变式训练3】如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 类型三、构造平行截线求有关线段或比值 【例5】如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【变式训练1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【变式训练2】如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【变式训练3】如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 类型四、黄金分割点求线段 【例7】如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 【变式训练1】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点．若，则（      ） A． B． C． D． 【变式训练2】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【变式训练3】如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 类型五、黄金分割点的有关证明 【例9】巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【例10】已知，点是线段的黄金分割点，若． (1)若，则　　； (2)如图，请用尺规作出以为腰的黄金三角形； (3)证明你画出的三角形是黄金三角形． 【变式训练1】在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形中，当时，称矩形为黄金矩形．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【变式训练2】如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 一、单选题 1．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 2．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图1，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A． B．3 C．10 D． 4．如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 二、填空题 6．已知，，那么 ． 7．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 8．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    9．如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则 ． 三、解答题 10．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 11．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 12．如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、比例线段的计算 3 类型二、由平行截线求有关线段或比值 5 类型三、构造平行截线求有关线段或比值 9 类型四、黄金分割点求线段 12 类型五、黄金分割点的有关证明 16 压轴能力测评（12题） 20 一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 二、黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 三、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 四、平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则 类型一、比例线段的计算 【例1】已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：， 设，则，， ， ，解得， ． 故答案为：． 【例2】已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 【变式训练1】已知，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 【变式训练3】若，且，求的值． 【答案】372 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴． 类型二、由平行截线求有关线段或比值 【例3】如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】如图,设与相较于点，    ∵点是的中点,, ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴, ∴点的横坐标为. 故选C. 【例4】如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 【变式训练2】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 【变式训练3】如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    类型三、构造平行截线求有关线段或比值 【例5】如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点M作于D， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例6】如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/0.5 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练2】如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练3】如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【详解】解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 类型四、黄金分割点求线段 【例7】如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 【例8】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点．若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知， ，， ， ， ， ， ， 则， ， 故选：C． 【变式训练2】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练3】如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 【答案】3.24 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴，而，， ∴， ∴， 经检验符合题意； ∴眼梢到鼻翼的距离约为， 故答案为 类型五、黄金分割点的有关证明 【例9】巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 【例10】已知，点是线段的黄金分割点，若． (1)若，则　　； (2)如图，请用尺规作出以为腰的黄金三角形； (3)证明你画出的三角形是黄金三角形． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）解： 点是线段的黄金分割点，若， ， 故答案为：； （2）以A圆心，以的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点， 连接，则即为所求； （3）证明：由（1）得，点是线段的黄金分割点， 底边， ∴ 三角形是黄金三角形． 【点睛】此题考查了黄金分割的定义，根据条件作三角形，黄金三角形的作法，熟知黄金三角形的定义是解题的关键． 【变式训练1】在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形中，当时，称矩形为黄金矩形．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【答案】见解析 【详解】证明：在上截取，，连接，则， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ， 又， 四边形是正方形， ∵，， ∵， ， 矩形的长与宽的比是黄金分割比，矩形是黄金矩形， 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 【点睛】此题考查了黄金分割比的意义，矩形的性质，正方形的判定和性质，分母有理化．正确理解黄金矩形的定义是解决问题的关键． 【变式训练2】如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 一、单选题 1．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设与的交点为G， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 3．如图1，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A． B．3 C．10 D． 【答案】D 【详解】解：由图2可知，当时， S最大，且，此时P点到达B点， ∴， 当时， ，此时P点到达C点， ∴， ∴， ∵， ∴ 由图2可知，当时P点到达E点时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形，边长为6， ，，， 为边中点， ， ，， ， ， ， ， 故选：D    5．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：如图， ∵M为的中点，，， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的应用等知识，证明是解题的关键． 二、填空题 6．已知，，那么 ． 【答案】2 【详解】解：，， ，则， 解得：， 故， 那么． 故答案为：2． 7．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 8．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    【答案】20 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，    ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，则， ∵点A是反比例函数上的点， ∴设， ∴，则， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为5， ∴，整理得，， 解得． 故答案为：20． 9．如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接． ， ． ， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ． 故答案为：． 三、解答题 10．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 11．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又， ， ． ∵． ，即， ， 即． 12．如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：连结． ∵四边形是菱形， ∴； 又，， ∴，； ∴，； ∴． （2）证明：连接 ∵， ∴； ∵， ∴； 又， ∴； 又， ∴四边形是梯形； ∵,即； 又∵，即； ∵四边形是菱形， ∴； ∴； ∴； ∴梯形是等腰梯形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$