11.2与三角形有关的角（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

11.2与三角形有关的角 题型一 锐角互余的三角形是直角三角形 1．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 三角形内角和定理的应用 1．（23-24八年级上·湖北·期末）如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上若，则 ． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，，点在上，，垂足为F，，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则 ． 4．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向(即北偏东)，一轮船从点出发向正东方向行驶，当轮船行驶到距离小岛最近时 ．    题型三 直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）在中，．若，则∠B的度数为 ． 3．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则 ． 4．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是 ． 题型四 三角形的外角的定义及性质 1．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）根据图中所给的条件， 度．    2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， ． 3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，则 ．    4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，，则的度数为 度． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知： ， 平分 ，点 ， ， 分别是射线 ， ， 上的动点（ ， ，不与点 重合），连接 交射线 于点 ，设 ， (1)如图若 ，则 的度数是_____； (2) ，当 时，此时 等于多少；当 时，此时 等于多少？ 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，是边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 2．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）在中，是的角平分线，， (1)如图1，是边上的高，，，求的度数； (2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型七 三角形折叠中的角度问题 1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 2．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）． （2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； 3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 4．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置， ①若，，则_________； ②探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．    1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接． (1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系； (2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2与三角形有关的角 题型一 锐角互余的三角形是直角三角形 1．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意； B. ，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意； C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意； D.，，，， ，解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 3．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为时，则该条件符合题意，进而可得答案． 【详解】①∵； ∴， ∵， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ②∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ③∵， ∴最大角， 则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意； ③∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系． 4．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 题型二 三角形内角和定理的应用 1．（23-24八年级上·湖北·期末）如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用平行线性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：； 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，，点在上，，垂足为F，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理．首先根据得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．由旋转的性质可知，由，推出，设，则，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， 设，则 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向(即北偏东)，一轮船从点出发向正东方向行驶，当轮船行驶到距离小岛最近时 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，方向角，根据方向角的定义，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 当当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图：    ， 由题意得：，， ， ， 当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时的度数是． 故答案为：． 题型三 直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）在中，．若，则∠B的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质即可求解，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，即可求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 三角形的外角的定义及性质 1．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）根据图中所给的条件， 度．    【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质，熟记“三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和”是解题关键．根据三角形的外角和定理求解即可． 【详解】解：由图可得： ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据外角性质即可求解，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，则 ．    【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键； 根据三角形的外角性质求出，在根据得出、度数，再次利用三角形外角性质得，即可解答 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为： 4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，，则的度数为 度． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和180度．先求出，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知： ， 平分 ，点 ， ， 分别是射线 ， ， 上的动点（ ， ，不与点 重合），连接 交射线 于点 ，设 ， (1)如图若 ，则 的度数是_____； (2) ，当 时，此时 等于多少；当 时，此时 等于多少？ 【答案】(1) (2) ，当 时， ；当 时， 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）根据平行可求出内错角 的度数，同位角 的度数，再根据三角形内角和等于 ，平角等于 ，即可求出答案． 【详解】（1）解： ∵ 平分， ∴ ， 若，则 ， 故答案是： ． （2）解：如图所示， ，当 时， 由 平分得，， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ∵ ， ∴ ； 如图所示，， 时， 由 平分得，， ∵， ∴，， 在 中，， ∴， ∴ ， 故综合上述情况得， ，当 时， ；当 时，． 【点睛】本题主要考查动点与三角形综合运用，理解平行线的性质，三角形三角的关系，平角的大小是解题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，是边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】； 【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．分析题意，根据是边上的高可得，，再根据可求得，根据平分，可得，根据，可得． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ， 平分， ； ， ， ． 2．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出，再根据直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是高，即， ∴， ∵在中，是角平分线，即是的角平分线， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）在中，是的角平分线，， (1)如图1，是边上的高，，，求的度数； (2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题． （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到． 【详解】（1）解：如图1 平分， ， ， ， ， ，， ． （2）解：结论：． 理由：如图2，过作于， ， ， ， 由（1）可得，， ． 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)10° (2)125° 【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得，结合直角三角形的两个锐角互余，得，即可作答． （2）先由角平分线的定义得，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵是高， ∴在中， ∴ （2）解：∵是角平分线 ∴ ∴ 题型七 三角形折叠中的角度问题 1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)100 (2).理由见解析 【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题； （2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵, ∴. ∵是由翻折得到, ∴. ∴. ∵, ∴， 故答案为：. （2）.理由如下: ∵是由翻折得到， ∴. ∵, ∴. ∴. 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）． （2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可； 【详解】（1）∵把沿DE折叠，使点A落在点处， ∴ ∵ 又 ∴； （2）由（1），得， ∴ ∵IB平分，IC平分， ∴ ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 【答案】(1)50° (2)①117°；②证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，进而即可求解； （2）①根据折叠的性质得，进而即可求解；②根据三角形内角和定理结合折叠的性质即可得到结论 【详解】（1）∵， ∴， 由题意可得， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：由题意可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键 4．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置， ①若，，则_________； ②探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】①②，理由见详解（2），理由见详解 【分析】（1）①根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解； ②根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解； （2）利用（1）问的探究规律，根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合四边形内角和，即可求解． 【详解】解：（1）①由折叠性质可知：，， ∵，， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵由折叠性质可知：，， ∴， ∴， 则、与之间的数量关系为； （2），理由如下 ∵，， ∴， 在四边形中，， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查多边形内角和和外角和，三角形内角和定理，图形折叠的性质；能够根据折叠的特点，找到角之间的等量关系，是解题的关键． 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接． (1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系； (2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，过P作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答； （2）如图2，过点Q作，证出，根据平行线的传递性即可证明； （3）如图3，根据三角形内角和即可得，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出，结合（2）即可解出，过K作，证出，根据平行线性质得出，即可得，进而可求的大小． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点Q作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∵， ∴， 由（2）知，即， ∴， 解得， 如图3，过K作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ∴的大小为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）过点P作，再根据平行线的性质即可得出答案； （2）过G点作，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出答案； （3）过B点作，过点F作，再根据平行线的性质和角的等量关系即可得出答案； （4）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，再根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （6）根据三角形的内角和定理计算，，即可求解． 【详解】（1）过点P作，如图所示： ，， ， ，， ，， ； （2）过G点作，如图所示： ，， ，， ， ，则， 的平分线与的平分线交于点G， ，， ， ， ，则， ； （3）过B点作，过点F作，如图所示： 、分别平分、， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ，， ， ； （4）、分别平分、， ，， ， ， ， ， ； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，可将图5补形成下图： ，，， ， 由题（4）问可知， ； （6）设，交于点F，如图所示： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【答案】（1）120；（2）；（3）；（4）；（5）；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$