1.2 矩形的性质（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第一课时 矩形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与 联系.（重点） 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题.（重点、难点） 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点） 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 情景导入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 矩形的性质 1.矩形的性质 活动1 新知探究 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形. 平行四边形不一定是矩形. 概念归纳 矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流. 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 思考 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果. 问题1 A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B = 90°, ∴∠C = 90°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°. 如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°. 求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°. A B C D 证一证 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. A B C D O 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O. 求证：AC=DB. 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 概念归纳 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 课本例题 例 1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. A B C D O 矩形的对角线相等且互相平分 典例剖析 例 2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 典例剖析 例 3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 典例剖析 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.  矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 做一做 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 练一练 2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 练一练 3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 练一练 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 2.直角三角形斜边上的中线的性质 活动2 新知探究 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC ? ∴BO= BD= AC. 定理：1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证一证 例 4 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； 典例剖析 (2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 归纳总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 典例剖析 例 5 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 归纳总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 典例剖析 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 概念归纳 矩形的性质 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 概念归纳 如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于 点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等）， ∴BD = 2AO = 8， 在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2， AD2 + 62 = 82， ∴AD = . 随堂练习 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长. 1. 解：如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，AB=AC=6. 在△AOB中，OA=OB=3，∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠AOB=90°，AB= . 同理AD=BC=AD= . ∴这个矩形的各边长都是 . 习题1.4 知识技能 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长. 2. 解：如图，在矩形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，AC=BD=15， ∠AOB=60°. ∴AO= AC=7.5，BO= BD=7.5.∴OA=OB. ∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5. 知识技能 如图，在 Rt △ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论． 3. 解：四边形ADCE是菱形.证明如下： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， D为AB的中点，∴CD= AB=AD. 知识技能 ∵AE//CD,CE//AD, ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵AD=CD, ∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边 相等的平行四边形是菱形）. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 已知：如图，在△ABC中， BO为AC边上的中线，且BO= AC. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图，∵BO为AC边上的中线， ∴OA=OC= AC. 数学理解 直角 两 B 分层练习-基础 3 分层练习-基础 直角 相等 B 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-基础 13 分层练习-基础 D C 分层练习-巩固 D 3 分层练习-巩固 3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 矩形的相关概念及性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 课堂小结 知识点一：矩形的定义及轴对称性 1．有一个角是 的平行四边形叫矩形． 2．矩形是轴对称图形，有 条对称轴． 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A．对角相等　 B．对角线相等　 C．对边平行　 D．对边相等 2．如图，直线l是矩形的一条对称轴，在直线l上有一点P.若BA＝4， S△PAB＝6，则点P到CD的距离等于 . 知识点二：矩形的性质 1．矩形的性质定理：矩形的四个角都是 ． 2．矩形的性质定理：矩形的对角线 ． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 4．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°，∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，在△BEF和△CFD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BEF＝∠CFD,BE＝CF,∠B＝∠C))，∴△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD. 知识点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 . 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( ) A.eq \r(3)cm　 B．2cm　 C．2eq \r(3)cm　 D．4cm 8．如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF＝35°，则∠ACD的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．65° 9．在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE、CF，分别交CD、AB于点E、F，则DE的长是( ) A.eq \r(5) B.eq \f(13,6) C．1 D.eq \f(5,6) 10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC与BD相交于点O，EF是经过点O分别与AB、CD相交于点E、F的直线，则图中阴影部分的面积为 . 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　 　. 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点．若AD＝6，则CP的长为 . 3eq \r(3) 13．(江西中考)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为　 　. 3eq \r(2) 14．已知：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内． (1)求∠PCQ的度数； (2)求证：∠APB＝∠QPC. (1)解：∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠DCP＝30°，同理∠QCB＝30°，∠ABP＝30°， ∴∠PCQ＝30°； (2)证明：∵△PBC是等边三角形，∴PB＝PC，∵△QCD是等边三角形，∴CD＝QC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∴AB＝QC.在△PBA和△PCQ中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BP＝PC,∠PBA＝∠PCQ,AB＝CQ))，∴△PBA≌△PCQ(SAS)，∴∠APB＝∠QPC. 15．准备一张矩形纸片，按如图操作： 将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形； (2)解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，BE＝2AE，AB＝2，由勾股定理得：∴AE＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq \f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面积为eq \f(4\r(3),3)×2＝eq \f(8\r(3),3). 掌握矩形的性质． 【例1】如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2，求AD的长． 【思路分析】先设AD＝x.由△DEF为等腰直角三角形，可证△ADE和△BEF全等，就有AD＝BE.再由AD＋CD＝10，解之即得AD. 【规范解答】先设AD＝x.∵△DEF为等腰三角形，∴DE＝EF，∠FEB＋∠DEA＝90°.又∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠EDA＝∠FEB.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°.∴△ADE≌△BEF(AAS)．∴AD＝BE.∴AD＋CD＝AD＋AB＝x＋x＋2＝10.解得x＝4，即AD＝4. 【方法归纳】解答关于矩形的计算问题时，要注意数形结合，根据题意结合方程思想列出方程，通过解方程解决问题． 掌握直角三角形斜边中线定理． 【例2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试探究MN与BD的位置关系，并加以证明． 【思路分析】连接DM、BM，可以利用直角三角形的性质可得DM＝BM，根据等腰三角形的性质可判断MN与BD的位置关系． 【规范解答】MN⊥BD.证明：连接MD、MB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，又M为AC的中点，∴DM＝BM＝eq \f(1,2)AC.又N为BD的中点，∴MN⊥BD(三线合一)．点拨：遇直角三角形斜边上有中点的，一般可考虑用直角三角形性质． 【方法归纳】见中点，应从如下几个方面思考：①直角三角形斜边中线性质；②中位线；③等腰三角形的性质．来构造几何模型，从而解决问题． $$