1.2公式法（第4课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第四课时 公式法 1.2 一元二次方程的解法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 解：方程两边都除以 3，得 x2 - 2x - 3 = 0 移项，得 x2 - 2x = 3 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1 (x - 1)2 = 4 两边开平方，得 x - 1= ±2 x1= 3，x2= -1 情景导入 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 旧知回顾 问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？ 用公式法求一元二次方程的解 新知探究 如何解一般形式的一元二次方程呢？ ax2+bx+c=0 (a≠0). 一般式 方程两边都除以a 解: 移项，得 配方，得 即 接下来能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中，如果b2-4ac < 0 ，那么方程有实数根吗？为什么？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时， 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法， 由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 注意： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 例1.用公式法解下列方程. (1)x2+3x+2=0; (2)2(x2-2) =7x 解:(1)a=1,b=3,c=2. Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1>0, ∴x==,即x1=-2,x2=-1. (2)把方程2(x2-2) =7x化为一般形式， 得2x2-7x-4=0. ∵a=2,b=-7,c=-4. Δ=b2-4ac=（-7）2-4×2×(-4)=81>0, ∴x==,即x1=,x2=4. 课本例题 例2.用公式法解方程：x2－4x－7＝0； a＝1，b＝－4，c＝－7. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根 解： 即 1.确定系数； 2.计算Δ ； 3.代入 ； 4.定根 ； 提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数 典例剖析 例3.用公式法解方程：4x2-3x+2=0. 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根. 解： 典例剖析 1.用公式法解方程： （1）x2 - 7x –18 = 0； 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0, 即 x1 = 9 x2 = -2. 练一练 （2）4x2 + 1 = 4x. 解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 . 这里a = 4 , b = -4, c = 1. ∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 , ∴ 即 x1 = x2 = 练一练 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ★公式法解方程的步骤 1.变形： 化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a、b、c写出各项系数； 3.计算： b2-4ac的值； 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 概念归纳 16 2 解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的a、b、c的值是什么？ 练一练 3.解方程： （精确到0.001）. 解： 用计算器求得： 练一练 4.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状． 【点拨】先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c 之间的关系，即可判定△ABC的形状． 练一练 解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0. ∵原方程有两个相等的实数根． ∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0， 即4m(a2＋b2－c2)＝0. 又∵m≠0， ∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2. 根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形． A B 分层练习-基础 分层练习-基础 A 分层练习-基础 B 2 分层练习-基础 D B 分层练习-基础 9. 分层练习-基础 10. 分层练习-基础 11. 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-拓展 b2－4ac≥0 2 3 －3 课堂反馈 一般形式 a、b、c b2－4ac ≥ ＜ D 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 公式法求解一元二次方程的步骤： 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2－4ac Δ≥0？ 无实数根 否 套公式求解 是 课堂小结 1．用公式法解方程x2＋x＝2时，求根公式中的a、b、c的值分别是( ) A．a＝1，b＝1，c＝－2　　B．a＝1，b＝－1，c＝2 C．a＝1，b＝1，c＝2 D．a＝1，b＝－1，c＝－2 2．用求根公式求得方程x2－2x－8＝0的解为( ) A．x1＝4，x2＝2 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－4，x2＝2 D．x1＝－4，x2＝－2 3．用公式法解方程： (1)3x2＝x－2; (2)2x2＋3x－1＝0． 解：(1)∵3x2－x＋2＝0，Δ＝1－24＜0，∴原方程无解； (2)∵a＝2，b＝3，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝9＋8＝17， ∴x1＝eq \f(－3＋\r(17),4)，x2＝eq \f(－3－\r(17),4)． 4．下列解方程不是最佳方法的是( ) A．3(2x＋5)2＝4(2x＋5)用直接开平方法 B．2x2－2x－1＝0用公式法 C．x2＋4x＋2＝0用配方法 D．x(x－2)＋x－2＝0用因式分解法 5．已知等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该三角形的周长为( ) A．8　　 B．10　　　　 C．8或10　　 D．12 6．对于实数x，若方程x2－3x＋3＝(x2＋x－2)0，则x的值为 ． 7．以x＝eq \f(b±\r(b2＋4c),2)为根的一元二次方程可能是(　　) A．x2＋bx＋c＝0　　　　 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 8．为使x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，则m的值等于(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．1或2　　 D．0 7.(北京中考)关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根. 解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2－2x＋1＝0，则(x－1)2＝0，解得x1＝x2＝1. 15.用公式法解下列方程： (1)x2＋3x＋1＝0； 解：x1＝eq \f(－3＋\r(5),2)，x2＝eq \f(－3－\r(5),2)； (2)x(x－4)＝2－8x. 解：x2＋4x－2＝0，∵Δ＝42－4×1×(－2)＝24，∴x＝eq \f(－4±\r(24),2×1)＝eq \f(－4±2\r(6),2)＝－2±eq \r(6)， ∴x1＝－2＋eq \r(6)，x2＝－2－eq \r(6). 16.解方程x2＝4x＋2时，有一位同学解答如下： 解：∵a＝1，b＝4，c＝2，b2－4ac＝42－4×1×2＝8， ∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(8),2×1)＝－2±eq \r(2). 即：x1＝－2＋eq \r(2)，x2＝－2－eq \r(2). 请你分析以上解答有无错误，如果有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程. 解：有错误.没有把x2＝4x＋2变成一般式，b、c的值是错的.正确的解题过程如下：x2－4x－2＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝－2，b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24＞0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(4±\r(24),2×1)＝2±eq \r(6).即：x1＝2＋eq \r(6)，x2＝2－eq \r(6). 12．解方程eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x＝2eq \r(2)，有一位同学解答如下： 解：∵a＝eq \r(2)，b＝4eq \r(3)，c＝2eq \r(2)，∴b2－4ac＝(4eq \r(3))2－4×eq \r(2)×2eq \r(2)＝32，∴x＝eq \f(－4\r(3)±\r(32),2×\r(2))＝－eq \r(6)±2，∴x1＝－eq \r(6)＋2，x2＝－eq \r(6)－2. 请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果． 解：这位同学的解答有错误，错在c＝－2eq \r(2)，而不是c＝2eq \r(2)，并且导致以后的计算都发生相应的错误．正确的解答是：将方程化为一般形式eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x－2eq \r(2)＝0，∴a＝eq \r(2)，b＝4eq \r(3)，c＝－2eq \r(2).∴b2－4ac＝(4eq \r(3))2－4×eq \r(2)×(－2eq \r(2))＝64，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)，＝eq \f(－4\r(3)±\r(64),2\r(2))＝－eq \r(6)±2eq \r(2). ∴x1＝－eq \r(6)＋2eq \r(2)，x2＝－eq \r(6)－2eq \r(2). 13．设关于x的一元二次方程3(m－2)x2－2(m＋1)x－m＝0有正整数根，试求满足条件的整数m. 解：a＝3(m－2)，b＝－2(m＋1)，c＝－m， ∴b2－4ac＝4(m＋1)2＋12m(m－2)＝16m2－16m＋4＝4(2m－1)2≥0. ∴x＝eq \f(2m＋1±|4m－2|,6m－2)， ∴x1＝eq \f(2m＋1＋4m－2,6m－2)＝1＋eq \f(2,m－2)， x2＝eq \f(2m＋1－4m－2,6m－2)＝－eq \f(1,3)(舍去)． 又∵1＋eq \f(2,m－2)必须是正整数， ∴m－2＝2或m－2＝1，∴m＝4或m＝3. 一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是　x＝　 ， 用公式法解一元二次方程必须满足的条件是 ． 1． 在方程2x2＋3x－3＝0中，a＝ ，b＝ ，c＝ ， x1＝　 　，x2＝　 　． eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) eq \f(－3＋\r(33),4) eq \f(－3－\r(33),4) 用公式法解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为 ；(2)确定 的值；(3)计算 的值；(4)当b2－4ac 0时，利用求根公式求得方程的两个实数根；当b2－4ac 0时，方程无实数根． 2.方程x2＋x－1＝0的一个根是( ) A．1－eq \r(5)　　　　　　　 B．eq \f(1－\r(5),2)　　　　　　　　 C．－1＋eq \r(5)　　　　　　　 D．eq \f(－1＋\r(5),2) 能选择适当的方法解方程． 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)x2＋2x－3＝0； (2)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0； (3)x2－eq \r(3)x＋eq \r(2)x－eq \r(6)＝0. 【思路分析】(1)可用配方法或公式法；(2)可用直接开平方法或因式分解法；(3)可用因式分解法． 【规范解答】(1)原方程变形为(x＋1)2＝4，所以x1＝－3，x2＝1；　 (2)∵9(2x＋3)2＝4(2x－5)2，∴3(2x＋3)＝±2(2x－5)，∴x1＝－eq \f(19,2)，x2＝eq \f(1,10)；　 (3)方程变形为(x2－eq \r(3)x)＋(eq \r(2)x－eq \r(6))＝0，∴x(x－eq \r(3))＋eq \r(2)(x－eq \r(3))＝0，∴(x－eq \r(3))(x＋eq \r(2))＝0，∴x1＝eq \r(3)，x2＝－eq \r(2). 【方法归纳】对于一个一元二次方程，要认真观察一元二次方程的特点，合理分析，选取合适的方法，对于特点不明显的，应先化为一般式，再选择解法． $$