第11讲 二次根式（一） （4个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 二次根式（一） （4个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【例1】（2024春•苍南县期末）当时，二次根式的值为　　 A．1 B． C． D．2 【变式1】（2023春•安达市校级期中）若是整数，则自然数的值有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（2023秋•雨花区期末）二次根式是一个整数，那么正整数最小值是　　． 【变式3】（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭è二次根式． 问题解决： （1）若与是关于6的共轭二次根式，则　　； （2）若与是关于26的共轭二次根式，求的值． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例2】（2024•陈仓区模拟）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　　． 【变式1】（2024•连云港）在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2024春•余干县校级月考）若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为　　 A． B． C．12 D． 【变式3】（2023秋•隆回县期末）（1）若实数，满足等式，求的立方根； （2）已知，求的平方根． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【例3】（2024春•湖州期末）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•南山区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•沈北新区期末）比较下列两个数的大小： 　　．（用“”或“”号填空） 【变式3】（2023秋•新化县期末）已知实数，的对应点在数轴上的位置如图所示． （1）判断正负，用“”“ ”填空：　　0，　　0． （2）化简：． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【例4】（2023秋•青原区期末）下列式子中，为最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•瑶海区校级期中）化为最简二次根式为　　． 【变式2】（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 　，　． 【变式3】（2022秋•丰顺县校级月考）把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 经典题型汇编 题型一、求二次根式的值 1．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 3．（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 题型二、求二次根式中的参数 4．（20-21八年级·全国·假期作业）下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）是整数，则正数的最小值是 6．（21-22八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 题型三、二次根式有意义的条件 7．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若实数满足，则值为 ． 8．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）已知满足，则（   ） A．0 B．1 C．2024 D．2023 9．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若 、均为实数，且 ，求的平方根． 题型四、利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）计算： (1)； (2) 题型五、复合二次根式的化简 13．（20-21八年级上·山东德州·期末）将化简后的结果是（    ） A．2 B． C． D． 14．（20-21八年级上·四川成都·期中）已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． 15．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： (1)； (2)计算：； (3)若，则求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）实数范围内有意义，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川内江·期中）下列式子有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 6．（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法：π的相反数是-π；若，则x=；若a为实数，则a的倒数是；④若=-x,则x<0．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）若是正整数，最小的正整数n是（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 8．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 9．（2021·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 10．（八年级上·上海·期中）化简：的结果是（ ） A．6 B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当时，二次根式的值是 ． 12．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 13．（2022·河南南阳·一模）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 14．（2024·河南信阳·二模）若二次根式的值为0，则x的值为 ． 15．（八年级上·山东青岛·课后作业）用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 16．（八年级上·江苏泰州·期末）计算： ． 17．（20-21八年级上·四川成都·期中）若，，则 ． 18．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 三、解答题 19．（20-21八年级上·广东佛山·期中）计算： (1) (2) 20．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知，求的值． 21．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 22．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到） 23．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 24．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知实数x、y满足x2﹣12x++36＝0，求的值． 25．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 26．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二次根式（一） （4个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【例1】（2024春•苍南县期末）当时，二次根式的值为　　 A．1 B． C． D．2 【分析】将代入二次根式中计算即可． 【解答】解：当时， 原式， 故选：． 【点评】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键． 【变式1】（2023春•安达市校级期中）若是整数，则自然数的值有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先根据二次根式的定义求出的取值范围，再根据的值是整数这一条件对的值进行讨论即可． 【解答】解：由题意得：，解得， 是整数， 是完全平方数， ， 即为的平方， 自然数的值有个． 故选：． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义： 概念：式子叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【变式2】（2023秋•雨花区期末）二次根式是一个整数，那么正整数最小值是　2　． 【分析】根据二次根式的乘法，可得答案． 【解答】解：由二次根式是一个整数，那么正整数最小值是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键． 【变式3】（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭è二次根式． 问题解决： （1）若与是关于6的共轭二次根式，则　　； （2）若与是关于26的共轭二次根式，求的值． 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得的值． 【解答】解：（1）与是关于6的共轭二次根式， ， ， 故答案为：； （2）与是关于26的共轭二次根式， ， ， ． 【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例2】（2024•陈仓区模拟）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥5　． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得，x﹣5≥0， 解得x≥5， 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式1】（2024•连云港）在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2】（2024春•余干县校级月考）若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为　　 A． B． C．12 D． 【分析】根据二次根式有意义，可得的取值范围，根据完全平方公式即可求解． 【解答】解：二次根式有意义， ，即， 又是一个完全平方式，即或， 或， 或，且， 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件及完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键． 【变式3】（2023秋•隆回县期末）（1）若实数，满足等式，求的立方根； （2）已知，求的平方根． 【分析】（1）根据绝对值的和算术平方根的非负性，可得，，再代入，根据立方根的性质，即可求解； （2）根据算术平方根的非负性，可得，且，从而得到，，再根据平方根的性质，即可求解． 【解答】解：（1）， ，， 解得：，， ， 的立方根是3． （2）， ，且， ， ， ， 的平方根是． 【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【例3】（2024春•湖州期末）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据实数，在数轴上的位置判断，的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数，在数轴上的位置可知，， ，， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，数轴与实数，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键． 【变式1】（2023秋•南山区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根，立方根、平方根逐项进行判断即可． 【解答】解：，因此选项不符合题意； ．因为，所以，因此选项符合题意； ，因此选项不符合题意； ．，因此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根、立方根的意义是正确判断的前提． 【变式2】（2023秋•沈北新区期末）比较下列两个数的大小： 　　．（用“”或“”号填空） 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比较二次根式的大小，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 【变式3】（2023秋•新化县期末）已知实数，的对应点在数轴上的位置如图所示． （1）判断正负，用“”“ ”填空：　　0，　　0． （2）化简：． 【分析】（1）观察数轴得出，，，从而进行判断； （2）先确定，，，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义进行化简即可． 【解答】解：（1）由数轴得：，，， ，； 故答案为：，； （2）由数轴得：，，， ，，， ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，实数的大小比较，观察数轴得出，，是解题的关键． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【例4】（2023秋•青原区期末）下列式子中，为最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：．，所以选项不符合题意； ．为最简二次根式，所以选项符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式满足的条件（被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）是解决问题的关键． 【变式1】（2024春•瑶海区校级期中）化为最简二次根式为　　． 【分析】根据二次根式的除法，可化简二次根式． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案． 【变式2】（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 　，　． 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：，，， 故这些二次根式中是最简二次根式的为：，． 故答案为：，． 【点评】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 【变式3】（2022秋•丰顺县校级月考）把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可； （3）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可； （4）根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，以及分母有理化是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、求二次根式的值 1．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 题型二、求二次根式中的参数 4．（20-21八年级·全国·假期作业）下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的定义进行解答即可． 【详解】A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意； D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）是整数，则正数的最小值是 【答案】/0.05 【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案． 【详解】解：∵是整数，n为正数， ∴的最小值为1， ∴的最小值为， ∴正数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 6．（21-22八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 题型三、二次根式有意义的条件 7．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若实数满足，则值为 ． 【答案】9 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数满足， ， 解得， ， ． 故答案为：9． 8．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）已知满足，则（   ） A．0 B．1 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件判断出的取值范围，再进行计算即可． 【详解】解：∵有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若 、均为实数，且 ，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，以及平方根的定义，根据二次根式有意义的条件算出的值，将的值代入中算出值，将和代入中，算出的值，再根据平方根的定义，即可解题． 【详解】解：， 且，解得且， ， 将代入中， 有，解得， 将，代入中，有， 的平方根为， 的平方根为． 题型四、利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算．二次根式的性质、二次根式的加减法和除法运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了二次根式的加减，绝对值的意义，零指数幂，熟练运用公式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，绝对值的意义，零指数幂进行计算即可． 【详解】（1） （2） 题型五、复合二次根式的化简 13．（20-21八年级上·山东德州·期末）将化简后的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 14．（20-21八年级上·四川成都·期中）已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． 【答案】-2018 【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题． 【详解】解：∵x＝， ∴4x2+4x-2020 =（2x+1）2-2021 =（2×+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（−1+1）2-2021 =3-2021 =-2018． 故答案为：-2018． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可． 15．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： (1)； (2)计算：； (3)若，则求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够灵活运用是解题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可得解； （2）根据前面几个式子可猜想出其中的变化规律，直接利用规律进行化简，然后再求和即可得解； （3）对依次进行分母有理化可得，再通过移项、平方等变形可得、，然后将其代入所求代数式，进行化简即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 。 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了二次根式的加减法、乘除法，二次根式的性质与化简，根据二次根式的除法、减法，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 选项：A． 2．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）实数范围内有意义，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川内江·期中）下列式子有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数，逐项排除即可，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件． 【详解】解：、无意义，此选项不符合题意； 、无意义，此选项不符合题意； 、原式，此选项符合题意； 、无意义，此选项不符合题意； 故选：． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可． 【详解】A、是二次根式，所以A选项正确； B、根指数为3，所以B选项错误； C、当x＜0，无意义，所以C选项错误； D、无意义，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如 （a≥0）叫二次根式． 5．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】D 【分析】首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：，，． 6．（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法：π的相反数是-π；若，则x=；若a为实数，则a的倒数是；④若=-x,则x<0．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：①π的相反数是-π，故正确；②若，则x=，故错误；③若a为实数，则a的倒数是（除了0以外），故错误；④若=-x，则，故错误；所以正确的有1个； 故选A． 【点睛】本题主要考查相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质，熟练掌握相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质是解题的关键． 7．（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）若是正整数，最小的正整数n是（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数． 【详解】由，是正整数，所以n 的最小正整数是3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，利用开方运算是解答本题的关键． 8．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9．（2021·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 10．（八年级上·上海·期中）化简：的结果是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式化简即可. 【详解】 故选D 【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 二、填空题 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 13．（2022·河南南阳·一模）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 14．（2024·河南信阳·二模）若二次根式的值为0，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】根据，列式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵二次根式的值为0， ∴， 解得． 故答案为：2． 15．（八年级上·山东青岛·课后作业）用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，只要负数即可） 【分析】本题考查二次根式的性质，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵“”是错误的， ∴， 故答案为：（答案不唯一，只要负数即可）． 16．（八年级上·江苏泰州·期末）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 17．（20-21八年级上·四川成都·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据有理数的加法、乘法法则得到x＜0，，根据二次根式的混合运算法则把原式化简，打入计算即可． 【详解】，，，， ， ，， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 18．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 三、解答题 19．（20-21八年级上·广东佛山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知，求的值． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、二次根式的性质等知识，熟练掌握相知识是解题关键．首先根据二次根式有意义的条件可得，进而化简绝对值，可得，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 即， ∴， 解得， 经检验为方程的解， 所以的值为13． 21．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 【答案】（1）-4，；（2） 【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：-4，； （2）根据（1）的结论，得： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解． 22．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到） 【答案】 【分析】设每只油桶底面的直径为，，得到，，再利用勾股定理求出h+d，即可求解． 【详解】如图，设每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 【点睛】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为5个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理． 23．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）， ， ， ， ， ． 24．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知实数x、y满足x2﹣12x++36＝0，求的值． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵x2﹣12x++36＝0，∴x2﹣12x+36+＝0，∴（x﹣6）2+＝0， ∴x﹣6＝0，y+4＝0，解得：x＝6，y＝﹣4， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 25．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 【答案】． 【分析】首先化简为，化简为，然后代入x的值求解即可． 【详解】∵， = = = =． 【点睛】此题考查了根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握根式的化简方法． 26．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（）；（）；． 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （）把代入计算即可求解； 根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解； 本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，平方差公式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （）当时， ，，， ∴中最长边的长度为； ∵，， ∴， ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$