第20讲 两点间的距离公式（两大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第20讲 两点间的距离公式 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两点之间的距离公式 2 题型02 坐标法的应用 4 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 题型01两点之间的距离公式 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解 【典例分析】 【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 . 【变式2】（22-23高二上·全国·单元测试）已知点，，则 ． 【变式3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 题型02 坐标法的应用 【解题策略】 　(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论 【典例分析】 课本例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． 【变式演练】 【变式1】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 【变式2】已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 【变式3】已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（    ） A． B． C．4 D．3 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）对于两点，，定义一种“距离”：，则（    ） A．若点C是线段AB的中点，则 B．在中，若，则 C．在中， D．在正方形ABCD中，有 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 . 8．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知点，，点在轴上，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知点，则为（    ） A．5 B． C． D．4 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 二、多选题 5．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是 6．（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）若，则 . 8．（22-23高二·江苏·假期作业）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为 ， ． 9．（22-23高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则| ． 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津河西·期中）已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·山东青岛·期中）圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 3．（22-23高二上·天津滨海新·期中）点是直线：上的一动点，则到两点，的距离之和最小值为 ． 三、解答题 4.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点． (1)求点C到直线的距离； (2)若直线与直线相互垂直，求实数a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 两点间的距离公式 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两点之间的距离公式 2 题型02 坐标法的应用 4 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 题型01两点之间的距离公式 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解 【典例分析】 【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 解　方法一　∵|AB|＝ ＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝， kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1， ∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 . 【答案】 【分析】 设，则，然后利用两点间的距离公式求解即可 【详解】设点，则， 所以， 故答案为： 【变式2】（22-23高二上·全国·单元测试）已知点，，则 ． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形. 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：， 化简得：. （2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形， 又，则是等腰三角形， 所以是等腰直角三角形. 题型02 坐标法的应用 【解题策略】 　(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论 【典例分析】 课本例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 证明　如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 在▱ABCD中，点A的坐标是(0,0)，设点B的坐标为(a,0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)． 由两点间的距离公式，得 |AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2， |AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2. 所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2. 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，设P点坐标，利用点斜式表示出和，联立方程组求出点Q坐标，两点间距离公式可证. 【详解】以B为原点，射线BC、BA分别为x、y轴的正半轴建立坐标系．如图所示， 设正方形边长为a，则，，设点P的坐标为． ，①， ②． 联立①②可得（或利用三角形全等求得点Q坐标）． ∵，，∴ 【变式演练】 【变式1】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则|AB|＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|＝＝， ∴|DE|＝|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 【变式2】已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝. 故|AC|＝|BD|. 【变式3】已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组得 即B. 由|AB|＝ ＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意． 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用两点距离公式求线段的长，即可得半径. 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是． 故选：A 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】，则，解得. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两点间距离公式可得. 【详解】由两点间距离公式得. 故选：C 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值. 【详解】联立，解得， 把代入，得，， 点到原点的距离 ， 当且仅当时取等号． 点到原点的距离的最小值为． 故选：D． 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】AD 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】由两点间距离公式得，所以， 所以，即，或． 故选：AD. 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）对于两点，，定义一种“距离”：，则（    ） A．若点C是线段AB的中点，则 B．在中，若，则 C．在中， D．在正方形ABCD中，有 【答案】ACD 【分析】根据新定义，，之间的“距离:对选项逐个分析即可判断其正误即可． 【详解】A中，若点C是线段AB的中点，则点C坐标为， 则，故A正确； B中，因为中，若，取，， 则，， ， 故，， 显然，故B不正确； 对于C，设，则， 因为， 同理， 所以，故C正确; D中，因为ABCD为正方形，设正方形边长为a，可取， 则，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 . 【答案】 【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】已知点、、，且， 则，解得. 故答案为：. 8．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知点，，点在轴上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，过的中点作交轴于点，当点在点时，取最小值；当，，三点共线时，取最大值，进而求解即可. 【详解】作点关于轴的对称点，则， 过的中点作交轴于点，当点在点时， ，此时； 当，，三点共线时，， 所以的取值范围是. 故答案为：.    四、解答题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【答案】证明见详解 【分析】首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 【详解】如图，以的直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则．    设，两点的坐标分别为，，的中点为． 因为是斜边的中点，故点的坐标为，即． 由两点间距离公式得， ， 所以， 因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知点，则为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由距离公式求解. 【详解】. 故选：A 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 3．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求得两点的坐标，进而求得. 【详解】由， 令，得，设； 令，得，设. 所以. 故选：A 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）， 有，，则， ，，， 所以四边形ABCD是梯形. 故选：A. 二、多选题 5．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】A选项，利用两条直线垂直的充要条件即可求解；B选项，求出两直线恒过的点的坐标；C选项，利用点关于直线的对称点，即可求解；D选项，先求出两直线的交点的坐标，再用两点间距离公式，即可求解. 【详解】由于，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确； 直线：，当时，，所以恒过点，：，当时，，所以恒过点，故B正确； 设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误； 联立方程组：，解得：故M点坐标为，则 ，则的最大值是，D正确. 故选：ABD 6．（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 【答案】ACD 【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标为，可判断C；由及，求得的坐标可判断A；求得，可判断B；求出点关于直线的对称点可判断D． 【详解】取的中点， 因为三角形为等腰三角形，所以， 即垂直于直线，则，且，解得， 则的中点坐标为，故C正确； 所以①， 而，且， ②， 联立①②，解得，或，所以的坐标是或，故A正确； ，，所以，故B错误； 设点的对称点为，则的中点为，即，所以， ，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确． 故选：ACD． . 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．（22-23高二·江苏·假期作业）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为 ， ． 【答案】， 【分析】设，，利用中点坐标公式得到，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】设，， 因为AB中点， 所以，即，， 所以，， 所以， 故答案为：，；. 9．（22-23高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则| ． 【答案】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点， 将直线的方程变形为， 由，可得，即点， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 【答案】答案见解析 【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证. 【详解】因为，所以， ，， 所以，所以是等边三角形． 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津河西·期中）已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，根据，列出方程即可求解. 【详解】设，则，，由，得 ，解得，故 故选：B 2．（20-21高二上·山东青岛·期中）圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设出圆心坐标根据数量关系解出圆心坐标再有两点距离公式求得半径. 【详解】解：设圆心坐标为，则， 解得a＝1，b＝－2，∴该圆的半径． 故选：C． 二、填空题 3．（22-23高二上·天津滨海新·期中）点是直线：上的一动点，则到两点，的距离之和最小值为 ． 【答案】. 【分析】先判断两点在直线的异侧，根据两点间距离公式求出距离和的最小值. 【详解】因为，，所以A，B两点在直线的两侧， 则点P为线段AB与直线l的交点时，点P到A，B两点的距离之和最小， 且最小值为A，B两点间距离. 故答案为：. 三、解答题 4.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)． |AB|2＋|BC|2－|AC|2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点． (1)求点C到直线的距离； (2)若直线与直线相互垂直，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，得到直线方程，再根据点到直线的距离公式计算得到答案. （2）计算，根据垂直的斜率关系计算得到答案. 【详解】（1），直线方程为，即， 点C到直线的距离. （2），直线与直线相互垂直， 则，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$