第19讲 两条直线的交点坐标（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第19讲 两条直线的交点坐标 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求相交直线的交点坐标 2 题型02 判断两直线位置关系的方法 4 题型03 直线过定点问题 7 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组________________________的解． 二、判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 题型01求相交直线的交点坐标 【解题策略】 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解 【典例分析】 课本例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0. 【例1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津·期中）两直线的交点坐标是： . 【变式2】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 【变式3】（23-24高二上·河北·期中）已知直线：与：． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求a的值． 题型02 判断两直线位置关系的方法 【解题策略】 　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 【典例分析】 课本例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 【例2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 【变式演练】 【变式1】（多选）（2023高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【变式2】已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________. 【变式3】（2023高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 题型03 直线过定点问题 【解题策略】 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0) 【典例分析】 【例3】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限. 【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【变式3】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线恒过点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 6．（23-24高二上·陕西西安·期中）下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．直线与直线的交点坐标是 C．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 D．直线方程可化为截距式为 三、填空题 7．（22-23高二上·甘肃武威·期中）直线和的交点坐标为 8．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是 ． 9．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 . 四、解答题 10.已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 12．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知直线，直线． (1)求直线与的交点坐标； (2)求过点且平行于的直线方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二·江苏·假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 C．直线与直线的交点坐标是 D．直线方程可化为截距式为 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 8．（22-23高二上·辽宁铁岭·阶段练习）两条直线与的交点坐标为 . 9．（22-23高二上·广东江门·期中）若直线与直线相交，则交点的坐标为 . 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知两条直线l1：，l2：，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 11．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 12．已知直线l：6x－y＋1＝0. (1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程； (2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围． 13．（22-23高二·江苏·假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 三、填空题 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 5.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二·全国·课堂例题）（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 两条直线的交点坐标 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求相交直线的交点坐标 2 题型02 判断两直线位置关系的方法 4 题型03 直线过定点问题 7 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解 二、判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 题型01求相交直线的交点坐标 【解题策略】 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解 【典例分析】 课本例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0. 解　解方程组 得 所以，l1与l2的交点是M(－2,2)(如图)． 【例1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解　由方程组 解得 即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线l也过坐标原点， ∴其斜率k＝＝－1. 故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·天津·期中）两直线的交点坐标是： . 【答案】 【分析】利用两直线的方程联立求交点即可. 【详解】联立两直线方程可得. 故答案为： 【变式2】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解　由方程组 得即P(0,2)． ∵l⊥l3，l3的斜率为， ∴kl＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 【变式3】（23-24高二上·河北·期中）已知直线：与：． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到：，：，再联立求解； （2）根据，由求解. 【详解】（1）解：因为， 所以：，：． 联立方程组， 解得， 故直线与的交点坐标为． （2）因为， 所以，解得或． 当时，与重合，不符合题意． 当时，与不重合，符合题意． 故 题型02 判断两直线位置关系的方法 【解题策略】 　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 【典例分析】 课本例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 解　(1)解方程组 得 所以，l1与l2相交，交点是M. (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 【例2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组解得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)联立方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【变式演练】 【变式1】（多选）（2023高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 【变式2】已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________. 答案　 解析　由得 由得 所以－<a<2. 【变式3】（2023高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合 题型03 直线过定点问题 【解题策略】 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0) 【典例分析】 【例3】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴∴ ∴点P的坐标为(7,3)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限. 【答案】二 【分析】 根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】直线方程可变形为：， 由，求得， 直线过定点，因此直线必定过第二象限， 故答案为：二 【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程，解之即可. 【详解】由，解得，则交点坐标为. 故选：D 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案. 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线恒过点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程整理成关于的方程，然后由系数为0可得． 【详解】由，得，则得 所以的坐标为. 故选：C． 4．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 所以直线和的交点为， 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为， 可知所求直线方程为， 令，可得；令，可得； 可知直线在x，y轴上的截距分别为，， 由题意可得，整理得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【分析】求得直线l恒过定点Q，求得与，结合图象可求得m的范围进而可得结果. 【详解】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或， 故选：AD. 6．（23-24高二上·陕西西安·期中）下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．直线与直线的交点坐标是 C．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 D．直线方程可化为截距式为 【答案】AB 【分析】根据一般式方程判断A，求出方程组的解，即可判断B，根据两直线平行的充要条件判断C，利用特殊值判断D. 【详解】对于A：直线的一般是方程为：， 当时，方程表示垂直轴的直线； 当时，方程表示垂直轴的直线； 当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确. 对于B：联立，解得，故B正确. 对于C：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C错. 对于D：若或时，式子显然无意义，故D错. 故选：AB. 三、填空题 7．（22-23高二上·甘肃武威·期中）直线和的交点坐标为 【答案】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立,解得，所以交点坐标为， 故答案为： 8．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于直线恒过点，然后结合图形求解即可 【详解】如图，直线恒过点，，， 故，即．    故答案为： 9．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 . 【答案】 【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标. 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 所以，解得， 联立，解得直线和的交点坐标为， 故答案为： 四、解答题 10.已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 证明　将直线方程整理为 a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为， 即直线系恒过第一象限内的定点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 12．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知直线，直线． (1)求直线与的交点坐标； (2)求过点且平行于的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过解二元一次方程组进行求解即可； （2）根据平行线的方程的特征进行求解即可. 【详解】（1）两条直线方程联立，得； （2）设平行于的直线方程为， 因为直线过， 所以， 所以过点且平行于的直线方程为 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二·江苏·假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【答案】C 【分析】解方程组即可得解. 【详解】解方程组得， 即直线与直线的交点坐标是(0,2)． 故选：C. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标. 【详解】易知直线的斜率为， 由两直线垂直条件得直线的斜率，解得； 联立，解得； 即交点为 故选：C. 3．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，令，解得即可. 【详解】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 C．直线与直线的交点坐标是 D．直线方程可化为截距式为 【答案】AC 【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可. 【详解】对A：直线的一般是方程为：， 当时，方程表示水平线，垂直轴； 当时，方程表示铅锤线，垂直轴； 当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确. 对B：两条直线的斜率相等时，两直线可能重合，故B错. 对C：联立，解得，故C正确. 对D：若或时，式子显然无意义，故D错. 故选：AC. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 【答案】BC 【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D. 【详解】与 可得，， 解得交点坐标为，所以A错误； 由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为， 由点斜式得，即，所以B正确； 如图，与轴相交于，与轴相交于， 与相交于    所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确； 的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【答案】 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】令，即，可得， 所以直线：恒过定点. 故答案为：. 8．（22-23高二上·辽宁铁岭·阶段练习）两条直线与的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据方程交点性质联立方程即可. 【详解】联立方程，解得 故答案为： 9．（22-23高二上·广东江门·期中）若直线与直线相交，则交点的坐标为 . 【答案】. 【分析】联立两直线的方程，即可求出交点坐标. 【详解】联立直线与直线的方程， 解得，所以交点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知两条直线l1：，l2：，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 【答案】交点坐标是方程组的解，图像见解析. 【分析】作出直线l1，l2的图象，由点M既在直线l1上，也在直线l2上求解. 【详解】直线l1，l2的图象如图所示. 点M既在直线l1上，也在直线l2上.， 即满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解. 11．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解　(1)解方程组 得所以直线l1与l2相交， 交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组得1＝0，矛盾，方程组无解． 所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 12．已知直线l：6x－y＋1＝0. (1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程； (2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围． 解　(1)因为直线m平行于l， 可设直线m的方程为6x－y＋c＝0， 又因为直线m经过点A(－1，－4)， 所以－6＋4＋c＝0， 解得c＝2，可知直线m的方程为6x－y＋2＝0. (2)联立方程组 解得 因为它们的交点在第二象限， 所以 解得<b<1， 即b的取值范围为. 13．（22-23高二·江苏·假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定点，再验证满足题意；解法二：动直线转化为，利用，则关于的方程系数为，列出方程解得即可. （2）解法一：联立两直线求出交点，又与直线垂直的直线斜率，写出直线即可；解法二：利用垂直直线系，得直线方程为，再代入交点解得的值，即可得到答案；解法三：利用交点系得直线，又，得方程，解得的值，即可得到答案. 【详解】(1)证明：解法一：令，则直线方程为   ① 再令时，直线方程为   ② ①和②联立方程组，得， 将点代入动直线中，即故动直线恒过定点. 解法二：将动直线方程按降幂排列整理，得① 不论为何实数，①式恒为零， ∴ 有，解得， 故动直线恒过点． (2)解法一：联立方程，解得， 直线的斜率为，由，则直线的斜率为， 故直线的方程为. 解法二：设所求直线方程为， 将解法一中求得的交点代入上式可得， 故所求直线方程为. 解法三：设直线的方程为， 即，又， ∴   ， 解得， 故直线的方程为 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得. 【分析】由解得，所以. 设，则， 所以，①， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以②， 由①②解得，则， 直线的方程为， 由，解得，则， 所以. 故选：C    二、多选题 2．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】BCD 【分析】讨论、、三条直线交于一点得出的可能取值. 【详解】若，则解得． 若，则解得． 由解得即与的交点坐标为， 若过点，则，解得． 故选：BCD． 三、填空题 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 四、解答题 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组得出点坐标，根据已知设出直线l的方程为，代入点坐标，求解即可得出答案； （2）分直线过原点以及不过原点，两种情况，设出直线的方程，代入点坐标，求解即可得出答案. 【详解】（1）联立可得，，所以点. 由已知可设直线l的方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. （2）当直线过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以直线l的方程为，整理可得； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 5.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得 解得 即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二·全国·课堂例题）（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式直接计算； （2）利用两点间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】（1）由两点间距离公式， 得； （2）由两点间距离公式， 得， 解得， 故所求实数的值为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$