第18讲 直线的一般式方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第18讲 直线的一般式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的一般式方程 2 题型02 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 5 题型03 直线的一般式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 15 创新拓展 22 一、直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的________________，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型01直线的一般式方程 【解题策略】 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式 【典例分析】 课本例5　已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·山东菏泽·期中）过点与的直线的一般式方程为 . 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，，，写出直线，，的点斜式、两点式和一般式方程． 【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点A(5,7)，B(1,3)； (2)经过点(－4,3)，斜率为－3； (3)经过点(2,1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 题型02 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 【解题策略】 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2 【典例分析】 【例2】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 【变式演练】 【变式1】已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为________． 【变式2】（22-23高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ． 【变式3】（21-22高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 题型03 直线的一般式方程的应用 【解题策略】 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根 【典例分析】 【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 【变式演练】 【变式1】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【变式2】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 【变式3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线. (1)若，求的值； (2)若，求过原点与点的直线的方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线平行，则实数a的值是（    ） A．2或0 B．2 C．0 D． 3．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 4．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题 7．（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a= ，若，则实数a= ． 8．（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 . 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线在x轴上的截距是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，. (1)求直线的一般式方程； (2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标. 11．（21-22高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（　　） A．－2 B．2 C．－5 D．5 二、多选题 5．（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 6．（23-24高二上·新疆·期中）已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 8．（23-24高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 . 9．（22-23高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上． (1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程； (2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程． 11．（23-24高二上·河南新乡·阶段练习）已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线，则（    ） A．无论如何变化，直线恒过定点 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 三、填空题 3．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 四、解答题 4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知斜率为负的直线过点，且与两坐标轴围成的面积是54，求直线的方程； （2）在中，已知边上的中线所在直线的方程依次是与，求所在直线方程. 5.已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 直线的一般式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的一般式方程 2 题型02 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 5 题型03 直线的一般式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 15 创新拓展 22 一、直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型01直线的一般式方程 【解题策略】 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式 【典例分析】 课本例5　已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． 解　经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是y＋4＝－(x－6)， 化为一般式，得4x＋3y－12＝0. 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·山东菏泽·期中）过点与的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即可求出直线方程. 【详解】可得直线的斜率为， 所以直线方程为，整理得. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，，，写出直线，，的点斜式、两点式和一般式方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据点的坐标求出斜率，从而写出点斜式方程，两点式方程，再化成一般式方程. 【详解】因为点，，， ，，， 直线的点斜式方程为， 直线的点斜式方程为， 直线的点斜式方程为， 直线的两点式方程为 直线的两点式方程为， 直线的两点式方程为， 直线的一般式方程为， 直线的一般式方程为， 直线的一般式方程为 【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点A(5,7)，B(1,3)； (2)经过点(－4,3)，斜率为－3； (3)经过点(2,1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解　(1)由两点式方程得＝，即x－y＋2＝0， (2)由点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. (3)由题意知x＝2，即x－2＝0. (4)由点斜式得y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 题型02 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 【解题策略】 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2 【典例分析】 【例2】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 解　方法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1,3)， ∴由点斜式知l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直， ∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)， ∴由点斜式可得l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 【变式演练】 【变式1】已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为________． 答案　－6 解析　因为直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，所以3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6 . 【变式2】（22-23高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 【变式3】（21-22高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判断两直线平行或重合. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时， 题型03 直线的一般式方程的应用 【解题策略】 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根 【典例分析】 【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. 【变式演练】 【变式1】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， ∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， ∴＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， ∴直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， ∵l不经过第二象限， ∴解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]． 【变式2】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x,1)． 又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5,1)． 同理可求出C点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 【变式3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线. (1)若，求的值； (2)若，求过原点与点的直线的方程. 【答案】(1)3或-1 (2). 【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案； （2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，解得或， 当或时，与均不重合， 所以的值为3或-1. （2）因为，所以，解得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据纵截距求解出的值，然后由直线方程求解出斜率. 【详解】因为的纵截距为，所以直线经过， 所以，所以， 所以斜率， 故选：D. 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线平行，则实数a的值是（    ） A．2或0 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，根据直线平行，列式计算，求得a的值，验证后即可确定答案. 【详解】当时，两直线都为，两直线重合，不符合题意； 当时，由两直线平行，得到，解得， 经检验，此时两直线不重合，即直线与直线平行， 综上，实数a的值是2. 故选：B 3．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 【答案】C 【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意； 当时，两直线分别为，，也平行，满足题意； 综上，或. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为， 即，因为，所以． 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 【答案】BCD 【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断. 【详解】选项A：例如（x轴），可得，则，故A错误； 选项B：若，则， 当时，式子恒成立， 所以直线l过定点，故B正确； 选项C：若且，则，且， 即直线l的斜率大于0，纵截距小于0， 所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确； 选项D：若，则，且， 即直线l的斜率不为0，横截距小于0， 所以直线l必过第二、三象限，故D正确； 故选：BCD． 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【详解】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a= ，若，则实数a= ． 【答案】 0 -1 【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得. 【详解】因为，所以有，解得； 因为，所以有，解得， 当时，与重合，舍去； 当时，，，与不重合，满足条件， 所以. 故答案为：0；-1. 8．（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线在x轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】利用直线在x轴上的截距的定义求解. 【详解】解：由直线方程为， 令，得， 所以直线在x轴上的截距是， 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，. (1)求直线的一般式方程； (2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l的斜率，从而利用点斜式求出直线l的方程，化为一般式； （2）设出对称点，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出，得到对称点. 【详解】（1）直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即； （2）设点C关于直线的对称点坐标为, 显然的中点坐标满足， 即， 又直线与直线l垂直，故， 联立与，解得， 所以点C关于直线的对称点的坐标为. 11．（21-22高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【答案】答案见详解 【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得. 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可求斜率，故可得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设其倾斜角为， 则， 故选：D. 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：. 故选：A. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（　　） A．－2 B．2 C．－5 D．5 【答案】B 【分析】直接利用直线方程求出在y轴上的截距为b. 【详解】令x＝0，则y＝2， 所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 【答案】ACD 【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可. 【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确； ，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错； ，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确； ，则直线方程为，经过原点，故D正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二上·新疆·期中）已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先将直线方程转化为点斜式直线方程，根据直线所过象限列出关于斜率、纵截距的不等式进行求解即可. 【详解】将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限， 所以即，，. 对D，若，则，，满足题意，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直的性质进行填空. 【详解】（1）若直线，直线，则的充要条件； （2）若直线，直线， 则的充要条件为. 故答案为：， 8．（23-24高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，可得， 即直线的倾斜角为. 故答案为：. 9．（22-23高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则 ． 【答案】2 【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得，， 当时，直线：，直线：，即，满足题意； 当时，直线：，直线：，即， 则此时两直线重合，不满足题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：2. 四、解答题 10．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上． (1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程； (2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程． 【答案】(1)或. (2)． 【分析】（1）利用直线的垂直与斜率的关系求解； （2）利用点斜式方程求解. 【详解】（1）由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，， 可知角A不是直角， ①若角B是直角，由点P在边BC上， 得边BC所在直线的方程为； ②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为， 得边BC所在直线的斜率为，又点P在边BC上， 所以边BC所在直线的方程为，即． 综上，边BC所在直线的方程为或. （2）由题意可设，由P为BC的中点，得， 将点C的坐标代入边AC所在直线的方程， 得，解得，所以， 得边BC所在直线的斜率为， 所以边BC所在直线的方程为， 即． 11．（23-24高二上·河南新乡·阶段练习）已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的中点，进而求得边中线所在的直线方程. （2）求得的平分线所在的直线的倾斜角，从而求得所求直线的斜率，进而求得所求直线的方程. 【详解】（1）已知的三个顶点分别为， 所以中点为，而， 所以中线方程为． （2）， 所以， 所以为钝角，且， 设的平分线与轴的交点为， 则， 即的平分线所在的直线的倾斜角为， ， 解得（负根舍去）， 所以， 所以的平分线的直线方程为， 即. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 二、多选题 2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线，则（    ） A．无论如何变化，直线恒过定点 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 【答案】BD 【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可得到斜率、与轴的交点坐标，再一一判断即可. 【详解】直线，即， 即， 因为直线的斜率，与轴的交点为，交于正半轴， 故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，即B正确，C错误， 当取不同数值时，也随着改变，直线与轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变， 所以当取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确， 由D可知直线不过定点，故A错误； 故选：BD 三、填空题 3．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 【答案】③ 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证即可． 【详解】对于①，化为：， 即点不在直线上，因此①不正确； 对于②，，则， 即过两点的直线与直线的斜率相等， 又点不在直线上，因此两条直线平行，故②错误； 对于③，，则， 化为， 因此直线经过线段的中点，故③正确. 故答案为：③. 【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线和直线. （1）且； （2）. 四、解答题 4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知斜率为负的直线过点，且与两坐标轴围成的面积是54，求直线的方程； （2）在中，已知边上的中线所在直线的方程依次是与，求所在直线方程. 【答案】（1），或 （2） 【分析】（1）设直线的方程为，根据点在直线上，且与两坐标轴围成的面积是54，求出可得答案； （2）设，根据的中点在直线上、点在直线上求出点坐标，的中点在直线上、点在直线上求出点坐标，再利用点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由斜率为负的直线过点，设直线的方程为， 可得，① 又因为直线与两坐标轴围成的面积是54，所以，②， 由①②解得，或， 所以直线的方程为，或， 即，或； （2）设，可得的中点坐标为， 的中点坐标为， 可得，， 解得，，即， 所以所在直线方程为， 即. 5.已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解　集合A，B分别为Oxy平面上的点集． 集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)， 集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0. 由得a＝±1. ①当a＝1时，B＝∅，A∩B＝∅； ②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)， 集合B表示直线y＝－，两直线平行．A∩B＝∅； ③由l1可知(2,3)∉A，当(2,3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，可得a＝－4或a＝，此时A∩B＝∅. 综上可知，当a的值为－4，－1,1，时，A∩B＝∅. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)，点I恒在定直线上 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意， 故. （2）由（1）知，当，相交时， 联立，解得，∴， 因为，即， 所以点I恒在定直线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$