1.4 用一元二次方程解决问题（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.4　用一元二次方程解决问题（1） 第1课时　面积问题与平均增长率问题 学习目标 1．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程； 2．体会方程是刻画现实世界的有效模型. 2 知识回顾 列方程解应用题的一般步骤是什么? 列方程解应用题的关键是什么？ 问题情境 问题1 用一根长22cm的铁丝： (1) 能否围成面积是30cm2的矩形？ 如何设未知数？ 这个问题中的相等关系是什么？ 4 问题情境 问题1 用一根长22cm的铁丝： (1) 能否围成面积是30cm2的矩形？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是(11－x)cm. 解这个方程， 得x1＝5， x2＝6. 当 x1＝5 时， 11－x1＝6； 当 x2＝6 时， 11－x2＝5. 答：用一根长22cm 的铁丝能围成面积是30cm2的矩形. (1) 根据题意，得 x(11－x)＝30， 即 x2－11x＋30＝0. 5 问题情境 问题1 用一根长22cm的铁丝： (2) 能否围成面积是32cm2的矩形？ ∵b2－4ac＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0， ∴此方程没有实数根. 答：用一根长22cm 的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形. (2) 根据题意，得 x(11－x)＝32， 即 x2－11x＋32＝0. 解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是(11－x)cm. 6 问题情境 问题1 用一根长22cm的铁丝： (3) 这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是(11－x)cm. (3) x(11－x)＝－x2＋11x＝－ ∵ － ≤0， ∴ －≤. ∴ x(11－x)的最大值为. 答：用这根铁丝围成的矩形最大面积是. 7 问题情境 问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月利润增长的百分率为x，则7月份的利润是__________元， 2500(1＋x) 8月份的利润是 　　　　　 元． ［2500(1＋x)］(1＋ x) 这个问题中的相等关系是什么？ 8月份的利润＝3600元 8 问题情境 问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 解:设平均每月利润增长的百分率是x. 根据题意，得 2500(1＋x)2 ＝3600 整理，得 (1＋x)2＝1.44 解这个方程， 得 x1＝0.2＝20％ ，x2＝－2.2 (不合题意, 舍去) 答:平均每个月增长的百分率是20％. 9 新知归纳 若矩形的周长为L，面积为S，设一边长为x， 则另一边长为________⁠， 矩形的面积S＝_____________⁠. 面积问题： 　 10 新知归纳 平均增长(下降)率问题： (1)增长率＝ ×100%； (2)设a是基础量，x为平均增长(下降)率，b为增长(下降)后的量. 平均增长(降低)两次公式：a(1±x)2=b (3)注意：①1与x的位置不要调换； ② 解这类问题用直接开平方法. 11 列一元二次方程解决问题的一般步骤是什么？ 步 骤 主要内容 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审清题意，明确已知量、未知量，找出相等关系 设未知数有直接设和间接设(有时设辅助未知数)，写好单位名称 把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程(两边单位统一) 根据方程的特点，选择适当的解法，求出未知数的值(x=a) 既要检验是否满足原方程，又要检验在实际问题中是否有意义 写出实际问题的答案(注意单位) 讨论与交流 新知巩固 1. 一块长方形菜地的面积是150m2. 如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地. 求这个长方形菜地的长和宽. 解：设原菜地的宽是xm，则长是(x＋5)m． 根据题意，得 x(x＋5)＝150， 解这个方程，得 x1＝10， x2＝－15(不合题意，舍去). 10＋5＝15m. 答：这个长方形菜地的长是15m、宽是10m. 新知巩固 2.用一根长100cm的金属丝能否制成面积是600cm2的矩形框子？能否制成面积是800cm2的矩形框子？ 解：设金属丝折成的矩形框子的长是xcm，则宽是(50－x)cm. ①如果矩形框子的面积是600cm2，根据题意，得x(50－x)＝600， 解这个方程，得x1＝20， x2＝30. ②如果矩形框子的面积是800cm2，根据题意，得x(50－x)＝800， 此方程无解. 答：能制成面积是600cm2的矩形框子， 不能制成800cm2的矩形框子. 新知巩固 3. 我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫.已知我国2017年农村贫困人口为3046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我2017~2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率. 解：设平均每年下降的百分率是x． 根据题意，得 3046(1－x)2 ＝551． 解这个方程，得 x1≈0.575＝57.5％，x2≈1.425(不合题意，舍去). 答：平均每年下降的百分率是57.5％. 用一元二次方程解决问题一般步骤 关键：找出相等关系 应用类型： 1.面积问题；2.变化率问题 课堂总结 1．(2023·湖北襄阳) 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是 ( ) A． B． C． D． 当堂检测 基础过关 D 17 2．(2024·四川内江)某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是 ( ) A． B． C． D． 当堂检测 基础过关 B 18 当堂检测 基础过关 3．(2024·重庆) 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为_________________________． 19 当堂检测 基础过关 4．(2022·青海) 如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为__________________． (11－2x)(7－2x)＝21 20 当堂检测 基础过关 5. 某商品原来的单价为48元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降价的百分率相同，现在的单价为27元，求每次降价的百分率. 解：设每次降价的百分率为x. 根据题意，得 48(1－x)2＝27， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝1.75(舍去). 答：每次降价的百分率为25%. 21 当堂检测 基础过关 6．(2023·江苏·中考真题)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 解：设米，则米， 根据题意得，， 解得：， 答：的长为米或米． 22 当堂检测 综合提升 1．(2023·黑龙江) 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是 ( ) A． B． C．或 D． A 23 当堂检测 综合提升 A. <m></m> B. </m> C. <m></m> D. </m> 2. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月生产量的平均增长率为x，根据题意列出的方程是( ) B 24 当堂检测 综合提升 3．(2024·黑龙江牡丹江) 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 _________. 25% 25 当堂检测 综合提升 4．(2023·浙江金华)如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是______． (2)如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 6 26 当堂检测 综合提升 5. 某公司某年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. (1) 求每个月生产成本的下降率； 解：(1) 设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400(1－x)2＝361， 解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去). 答：每个月生产成本的下降率为5% 27 当堂检测 综合提升 (2) 该公司4月的生产成本为 　342.95　⁠万元.  (2) 361×(1－5%)＝342.95(万元). 342.95　 5. 某公司某年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. 28 当堂检测 综合提升 6．(2023·山东东营) 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 解：(1) 设矩形的边， 则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． 29 当堂检测 综合提升 (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (2)解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 30 当堂检测 综合提升 7. 将一根长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于26 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为 (6−x)cm . 依题意，得x2+(6−x)2=26， 整理，得 x2−6x+5=0 ， 解得 x1=1， x2=5， ∴1×4=4(cm)， 24−4=20(cm) ∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、 20 cm. 31 当堂检测 综合提升 (2)两个正方形的面积之和能等于17 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. (2)两个正方形的面积之和不能等于17 cm2. 理由：依题意，得x2+(6−x)2=17， 化简，得 2x2−12x+19=0 . ∵b2−4ac=(−12)2−4×2×19=−8， ∴方程无实数解. ∴两个正方形的面积之和不能等于17 cm2. 32 2021 Blues 4800.0 $$