1.4 角平分线（教学设计）2023-2024学年北师大版数学八年级下册

教学目标

1.探究并理解角平分线判定的条件：角内的点到角两边的距离相等.

2.会灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题，包括找点作图.

教学重难点

重点：掌握角的平分线的性质定理及逆定理.

难点：灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题.

教学过程

旧知回顾

1.角平分线的性质定理的条件、结论各是什么？

解：条件有两个：一是角平分线，二是该线上的一点到角两边的距离（要垂直），结论是：这两个距离相等.

2.角平分线的判定定理的条件、结论各是什么？

解：条件有两个：一是角内一点，二是该点到角两边的距离相等，结论是：该点在角平分线上.

探究新知

【探究1】几何问题中的应用

1.教材P24“动脑筋”问题：

如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？

思考：要使CM平分∠ACD，除顶点C外，需证明哪一点在角平分线上？并说明理由.

解：需证明点M在∠ACD的平分线上，这样就可根据角平分线判定定理，判定点M在∠ACD的平分线上，从而可得结论CM平分∠ACD.

思考：要证明点M在∠ACD的平分线上，应满足什么条件？

解：点M到∠ACD两边的距离相等.

思考：点M到∠ACD两边的距离在图上是哪两条线段，为什么？

解：点M到∠ACD两边的距离在图上就是MN和ME，因为MN⊥AC，ME⊥CD.

思考：MN和ME这两条线段相等是已知条件吗？

解：MN＝ME不是已知条件.

思考：现在你可知道要使CM为∠ACD的平分线，应添加什么条件？

解：要使CM为∠ACD的平分线，应添加MN＝ME.

思考：同样的思路，你可知道添加一个什么条件，就可使AM为∠CAB的平分线呢？

解：添加MN＝MF这个条件.

下面我们一起来写出该题的解答过程，请同学们在草稿纸上学写.

解：添加条件MN＝ME，可使CM为∠ACD的平分线；添加条件MN＝MF，可使AM为∠CAB的平

分线.理由如下：

∵ MN⊥AC，ME⊥CD（已知）

∴ 点M到∠ACD两边的距离分别是MN和ME，

又 MN＝ME （已知），

∴ 点M在∠ACD的平分线上（角平分线性质定理的逆定理）

∴ CM是∠ACD的平分线.

同理可证AM是∠CAB的平分线.

2.教材P25“例2”

如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.

思考：（审题，弄清已知条件是什么）从“在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P”这句话，你获得了什么已知条件？

解：已知：①△ABC，②AP是∠DAC的平分线，点P是∠DAC的平分线上的一点.                                                         

思考：从“PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F”这句话，你获得了什么已知条件？能得出什么结论，理由是什么？

解：（1）可得已知：PE，PF分别是点P到∠DAC两边的距离，（2）PE＝PF，理由是“角平分线的性质定理”.

思考：该题要求的是什么？BE+PF中的PF与谁相等？从而BE+PF的长度可以转换到哪一个三角形中？

解：（1）BE+PF与PB的大小关系.（2）BE+PF中的PF＝PE.（3）由于BE+PF＝BE+PE，因此BE+转化为BE+PE，从而BE+PF转换为△BPE中的两边之和：BE+PE.

思考：在△BPE中，两边之和BE+PE与第三边BP之间有什么大小关系？请说明理由.

解：BE+PE >BP，理由是“三角形的性质”.

思考：该题的解题思路已经找到了，下面我们共同来练写解题过程（第一段写什么？写出PF＝PE的推理过程；第二段写什么？写出在一个三角形中三边的大小关系）.

解：∵ 点P是∠DAC的平分线上一点，且PE⊥DB，PF⊥AC（已知），

∴ PF＝PE（角平分线的性质）.

在△BPE中，

∵ BE+PE＞BP（三角形的性质），

∴ BE+PF＞BP.

【探究2】

教材P25“动脑筋”问题：你能在△ABC中找到一点P，使

其到三边的距离相等吗？

活动1  在△ABC中，你能找到它的角平分线吗？请动手画出来.

解：（演示作图）