1.4.2 充要条件（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2　充要条件 学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． (重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件． (重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． (难点) 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 我们初中学过的勾股定理内容是什么？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件. 充分 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 必要 在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件. 必要 充分 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 勾股定理及其逆定理有何关系？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. “若p，则q” “若q，则p” 1.充要条件 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．   学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集． (1) p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等 q:两个三角形全等   (4) p: A∪B是空集 q: A与B均是空集   学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p  q，又有q  p ，就记作p  q . 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 思考：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假. (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； p:两个三角形全等 q:两个三角形 的周长相等  p:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 q: ac<0  (2) 原命题真，逆命题假   (3) 原命题假，逆命题真 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 充分必要 充要 互为充要 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 下列各组命题中，哪些p是充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 2. 充要条件的判断 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要不充分条件 (4)p是q的充要条件 总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 答案　B　 解析　|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|. 2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______． 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． 答案　充要条件 练一练 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切. （1）充分性( p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d. 若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)， 连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线 l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共 点P.所以直线l与 O 相切. （2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 2. 充要条件的证明 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 总结：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}， q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 例1.已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 练一练 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 17 设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}. 因为p是q的充分不必要条件， 所以A B，∴a＜1. 3. 充要条件的应用 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 由p是q的充分不必要条件，可知A B， 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 20 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． 练一练 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 21 题型一　充要条件的判断　 条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 p q ，且q p p是q的既不充分也不必要条件 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 [解析]　在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p， ∴p不是q的充要条件，故选A、D. [答案]　AD 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 [方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤 概念归纳 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C. 答案：C　 练一练 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件． 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 题型二　利用充分、必要条件求参数　 从集合角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表． 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 A B B A A＝B 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 [例2]　已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2. (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？ (3)当a为何值时，p是q的充要条件？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 [方法技巧] 由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　　 概念归纳 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？ 解：若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)． 所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件． 2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？ 解：若q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)． 所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件． 练一练 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 题型三　充要条件的证明与探究　 [例3]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 典例剖析 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 [方法技巧] 充要条件的证明思路 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”： (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.　　 概念归纳 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集． p是q的充要条件 p不是q的充要条件 p不是q的充要条件 课本练习 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 两条弦相等⇒两条弦所对的圆周角相等或互补 34 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 35 3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD. 分析：设p： AC=BD. 充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.  AB=CD q：梯形ABCD为等腰梯形. 必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 36 习题1.2 复习巩固 1.举例说明： （1）p是q的充分不必要条件；（2） p 是q 的必要不充分条件；（3） p 是q 的充要条件. (1)p :0<x<1, q:0<x<2 (2)p :0<x<2, q:0<x<1 (3)p :x>1, q:x-1>0. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2.在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）： （1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； （2） p ：一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根， q :b²-4ac≥0（a≠0）； （3） p ：a∈P∩Q， q ：a∈P； （4） p ：a∈P∪Q， q ：a∈P； （5） p ：x>y， q ：x²>y². p是q的必要不充分条件. p是q的充要条件. p是q的充分不必要条件. p是q的必要不充分条件. p是q的既不充分又不必要条件. 3.判断下列命题的真假： （1）点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在⊙O 外的充要条件； （2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件； （3）A∪B=A是B A的必要不充分条件； （4）x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件. 解：（1）真.（2）假.（3）假.（4）真. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1．充要条件的概念 既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的必要不充分条件 (3)p是q的充分必要条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件 课堂小结 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性． 作业 完成书本综合运用练习题 4.已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}， （1）如果 A B，那么p 是q的什么条件？ （2）如果B A，那么p是q的什么条件？ （3）如果A=B，那么p是q的什么条件？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5.设a，b，c∈R.证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc 的充要条件是a=b=c. 6.设 a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么 a²+b²=c²（勾股定理）.反过来，如果 a²+b²=c²，那么△ABC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a²+b²=c². 请利用边长 a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明. 感谢观看 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的 条件，简称 条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q 条件． (2)若p⇒q，但qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但peq \o(⇒,/)q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若peq \o(⇒,/)q，且qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0.从而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(b2,4)≠0. 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立． 所以a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一负根． 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. 充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)． 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. ∴或 解得0≤a≤， 故所求实数a的取值范围是0≤a≤. 例2.设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}， 例3.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． [思路点拨]　eq \x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq \x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→ eq \x(\a\al(列不等式,组求解)) 解析：因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 解析：因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq. 则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0<m≤3. 即m的取值范围是{m|0＜m≤3}． [例1]　(多选)下列各题中，p是q的充要条件的有 (　　) A．p：a≠0，q：y＝ax2＋bx＋c为二次函数 B．p：x＞0，y＞0，q：xy＞0 C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 D．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝  解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}， 所以1≤a＜2.所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件． (2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|1≤x≤2}{x|1≤x≤a}，所以a＞2. 所以当a＞2时，p是q的必要不充分条件． (3)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． [证明]　充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根) 因为ac＜0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根． 设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0， 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， 则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. $$