专题11.2 立方根【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题11.2 立方根【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 立方根概念理解】 1 【题型2 求一个数的立方根】 3 【题型3 求代数式的立方根】 5 【题型4 由立方根的概念解方程】 6 【题型5 由立方根求式子的值】 8 【题型6 立方根与数轴的综合】 9 【题型7 估算立方根的取值范围】 11 【题型8 立方根、平方根综合运算求值】 13 【题型9 立方根的实际应用】 16 【题型10 立方根的规律探究】 18 知识点：立方根 （1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【题型1 立方根概念理解】 【例1】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 ． （2）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根定义与性质，涉及解一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握立方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，结合立方根的性质求解即可得到答案； （2）由（1）中所得结论，列方程求解得到，，，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）设这个非零实数为， 一个非零实数的立方根等于这个数本身， ，则或， 故答案为：； （2）由（1）中结论可知，当时，或或，解得，，， 或或， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】全体实数 【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可． 【详解】解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以可以取一切实数． 故答案为：一切实数． 【点睛】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键． 【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的意义求解即可． 【详解】解：①负数有立方根，原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，原说法错误； ③任何一个数有且只有一个立方根，说法正确； ④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，说法正确； ⑤一个数有立方根，不一定有算术平方根，原说法错误； ⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的，这个数是0，说法正确； 综上，正确的是③④⑥． 故答案为：③④⑥． 【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确解答的前提． 【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知与互为相反数，则 ． 【答案】6 【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确得出x的值是解题关键． 【题型2 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级·吉林延边·期中）的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值，立方根．熟练掌握立方根是解题的关键．根据的立方根为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的立方根为， 故答案为：2． 【变式2-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）计算： ． 【答案】 【分析】先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可． 【详解】解：由题意可得， 当时， 第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1， 第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1， 第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2， ……， ∵， 则第2020次输出的结果是4， 4的算术平方根是2，2的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字． 【题型3 求代数式的立方根】 【例3】（23-24八年级·河南商丘·期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， 故选B； 【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解． 【变式3-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可． 【详解】解：∵某自然数的立方根为， ∴该自然为， ∴它前面与其相邻的自然数的立方根是； 故选C． 【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握立方根的定义：一个数的立方为，则叫做的立方根，是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，立方根．熟练掌握的立方根为是解题的关键． 由题意知，，即，解得，根据与的积的立方根为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得， ∴， ∴与的积的立方根为， 故选：B． 【变式3-3】（23-24八年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、绝对值的非负性及立方根，根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】解：∵，而， ， 即， ． ∴的立方根为， 故答案为：． 【题型4 由立方根的概念解方程】 【例4】（23-24八年级·广东惠州·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式4-1】（23-24八年级·四川泸州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】首先等式两边同时除以8，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【变式4-2】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）或；（2） 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握立方根，以及平方根的概念是解本题的关键． （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程变形后，利用立方根定义开方即可求出解． 【详解】解：（1） 或 或； （2） ． 【变式4-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用立方根的含义解方程，由立方根的含义可得，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 【题型5 由立方根求式子的值】 【例5】（23-24八年级·四川乐山·阶段练习）若和互为相反数，求的为 【答案】 【分析】由和互为相反数，可得出，进而可得出的值． 【详解】解：和互为相反数， ， ． 故答案为. 【点睛】本题考查了实数的性质以及立方根，由两数互为相反数找出是解题的关键． 【变式5-1】（23-24春·山东济宁·八年级统考期中）如果=4，那么(a-67)3的值是 【答案】－343 【分析】利用立方根的定义及已知等式求出a的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】∵， ∴a+4=43， 即a+4=64， ∴a=60， 则（a-67）3=（60-67）3=（-7）3=-343， 故答案为-343. 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝ ． 【答案】4 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】由题意可得：，， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 【变式5-3】（23-24八年级·云南曲靖·期中）若=3， =-2，则ｂ-ａ的值是 . 【答案】-17. 【分析】由已知条件求出a，b的值，然后再代入计算即可得解. 【详解】∵=3， =-2， ∴a=9，b=-8， ∴b-a=-8-9=-17. 故答案为-17. 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据算术平方根和立方根的意义分别求出a和b的值是解此题的关键. 【题型6 立方根与数轴的综合】 【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示的点一定在（    ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】B 【分析】根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可． 【详解】， 在数轴上的第②段， 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级·河南平顶山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的概念,根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可． 【详解】一个正数x的两个不同的平方根分别是和， ，， 解得， ， ， ，即， 故选：B． 【变式6-2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ． 【答案】/ 【分析】 先通过数轴表示确定，的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算． 【详解】 解：由题意得，，且， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式6-3】（23-24八年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【详解】解：∵， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小正方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴小正方形的边长为：， ∴点D在数轴上表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 【题型7 估算立方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级·安徽合肥·期末）已知，且m，n是两个连续的整数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据，，结合立方根定义和已知求得m、n值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，且m，n是两个连续的整数， ∴，， ∴， 故答案为：9． 【变式7-1】（23-24·四川成都·二模）在数轴上，与最接近的整数是 ． 【答案】3 【分析】根据无理数的意义和三次根式的性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三次根式的性质和估计无理数的大小，计算出在3和3.5之间是解题关键． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）若整数满足，则的值是 ． 【答案】或或 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算和的大小，进而得出和的大小即可． 【详解】解：，，而， ， ， 又：，，而， ， ， 又整数满足， 或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的性质． 【变式7-3】（23-24八年级·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奧妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去的后面三位得到19， 而， ∴的十位数字是2； ∴； ∴， 解得， 故答案为： 【题型8 立方根、平方根综合运算求值】 【例8】（23-24八年级·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质． 根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可． 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 【变式8-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0. 【详解】∵6-x≥0, ∴x-6≤0, ∴≤0，≥0， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键. 【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 【变式8-3】（23-24八年级·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【题型9 立方根的实际应用】 【例9】（23-24八年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的实际应用； 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解． 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 【变式9-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢铁的棱长．（不计损耗） 【答案】原来每个正方体钢铁的棱长为． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设原来每个正方体钢铁的棱长为，根据炼化前后总体积不变结合长方体和正方体体积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设原来每个正方体钢铁的棱长为， 由题意得，， 解得， 答：原来每个正方体钢铁的棱长为． 【变式9-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．） (1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值） (2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分． 【答案】(1) (2)整数部分是，小数部分是 【分析】本题考查立方根及无理数的估算， （1）设大铅球的半径为，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据球的体积公式建立关于的方程，然后根据立方根的定义求解即可； （2）先确定半径位于哪两个相邻的整数之间，即可得出结论； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个大铅球的半径是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个大铅球的半径是； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是． 【变式9-3】（23-24八年级·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为． (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，求剩余纸板的面积． 【答案】(1)正方形纸板的边长为 (2)剩余纸板的面积为108cm2 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式. （1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答. 【详解】（1）解：正方形纸板的面积为， 所以正方形纸板的边长为． （2）拼成的体积为的正方体的棱长为， 所以剩余纸板的面积为． 【题型10 立方根的规律探究】 【例10】（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解： ，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 【变式10-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数） ． 【答案】 【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可． 【详解】∵第一个等式：，即； 第二个等式：，即； 第三个等式：，即； …… ∴第n个等式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键． 【变式10-2】（23-24八年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，算术平方根、立方根定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案． 【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是． 故选A． 【变式10-3】（23-24八年级·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律，若，则； 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 立方根【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 立方根概念理解】 1 【题型2 求一个数的立方根】 2 【题型3 求代数式的立方根】 2 【题型4 由立方根的概念解方程】 2 【题型5 由立方根求式子的值】 3 【题型6 立方根与数轴的综合】 3 【题型7 估算立方根的取值范围】 4 【题型8 立方根、平方根综合运算求值】 4 【题型9 立方根的实际应用】 5 【题型10 立方根的规律探究】 6 知识点：立方根 （1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【题型1 立方根概念理解】 【例1】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 ． （2）当时，的值是 ． 【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）若有意义，则x的取值范围是_________． 【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是 （填序号）． 【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知与互为相反数，则 ． 【题型2 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 【变式2-1】（23-24八年级·吉林延边·期中）的立方根是 ． 【变式2-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）计算： ． 【变式2-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 求代数式的立方根】 【例3】（23-24八年级·河南商丘·期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【变式3-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3-3】（23-24八年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足，则的立方根为 ． 【题型4 由立方根的概念解方程】 【例4】（23-24八年级·广东惠州·期中）解方程： 【变式4-1】（23-24八年级·四川泸州·期末）解方程：． 【变式4-2】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【变式4-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）解方程：． 【题型5 由立方根求式子的值】 【例5】（23-24八年级·四川乐山·阶段练习）若和互为相反数，求的为 【变式5-1】（23-24春·山东济宁·八年级统考期中）如果=4，那么(a-67)3的值是 【变式5-2】（23-24八年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝ ． 【变式5-3】（23-24八年级·云南曲靖·期中）若=3， =-2，则ｂ-ａ的值是 . 【题型6 立方根与数轴的综合】 【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示的点一定在（    ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【变式6-1】（23-24八年级·河南平顶山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式6-2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ． 【变式6-3】（23-24八年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【题型7 估算立方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级·安徽合肥·期末）已知，且m，n是两个连续的整数，则 ． 【变式7-1】（23-24·四川成都·二模）在数轴上，与最接近的整数是 ． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）若整数满足，则的值是 ． 【变式7-3】（23-24八年级·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奧妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 【题型8 立方根、平方根综合运算求值】 【例8】（23-24八年级·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【变式8-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式8-3】（23-24八年级·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【题型9 立方根的实际应用】 【例9】（23-24八年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢铁的棱长．（不计损耗） 【变式9-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．） (1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值） (2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分． 【变式9-3】（23-24八年级·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为． (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，求剩余纸板的面积． 【题型10 立方根的规律探究】 【例10】（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【变式10-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数） ． 【变式10-2】（23-24八年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24八年级·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． 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