精品解析：湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

长郡中学2024年上学期高二期末考试 数学 本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页. 时量120分钟.满分150分. 第I卷 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙既不充分也不必要条件 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 5. 某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ） A. 0.12 B. 0.20 C. 0.44 D. 0.32 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 无穷多个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 8. 若正数，满足：，则最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 存在，使得 D. 的最大值为 11. 设函数，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 当时，的最小值为 C. 若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D. 函数的图象关于点对称 第II卷 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则当__________时，复数对应点在虚轴上. 13. 的内角的对边分别为，设，则__________. 14. 已知两个不同的正数满足，则的取值范围是______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 16. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 18. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2024年上学期高二期末考试 数学 本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页. 时量120分钟.满分150分. 第I卷 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可. 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 2. 已知，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先举出反例得到充分性不成立，两边平方后推出必要性成立. 【详解】不妨设，满足，此时，充分性不成立， ，两边平方得， 又，故，必要性成立， 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数的性质，求出、、的大致范围，即可进行比大小. 【详解】，因为，所以，故， ，所以. 故选：A. 4. 2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误； 对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确． 对于选项D，由B选项可知，故D正确. 故选：B. 5. 某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ） A 0.12 B. 0.20 C. 0.44 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式计算即可得. 【详解】由题意，选到非碳酸饮料的概率为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】设，则，， 所以， 所以. 故选：C． 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 无穷多个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点的意义变形，构造函数并探讨函数的最值即可得解. 【详解】当时，由，即，得， 当时，恒成立，而恒成立，因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0. 故选：D 8. 若正数，满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可. 【详解】因为，为正数，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时，取等号. 故选：B. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据周期的公式即可求解A，代入验证即可求解BC，利用整体性即可判定D. 【详解】对于A，根据函数知最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由于，则，故在上不单调递减，D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 存在，使得 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解A，根据投影向量可得，即可求解B，根据共线关系即可求解C，根据数量积的坐标运算，结合辅助角公式以及三角函数的性质即可求解D. 【详解】因为向量， 对于A，由得，解得，故A错误； 对于B，由在上的投影向量为，得， 而，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则，所以， 因此，解得，所以存在，使得，进而，故C正确； 对于D，因为，而， 所以当时，的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 设函数，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 当时，的最小值为 C. 若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D. 函数的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可根据和的关系求解A，求导，根据导数求解函数的单调性，即可求解B，由单调性结合函数的图形即可判断C，根据利用对称性的定义即可求解D. 【详解】对于，故A错误； 对于B，当时， 故当，在上递减， 当在上递增， 的最小值为，故B正确； 对于C，当时，由B知，的最小值为， 且时，时，； 当时， 当在上递增， 当，故在上递减， 且时，时，， 画出图象，知不可能有4个零点，故C错误； 对于D， 令， 的定义域为，则， 是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 第II卷 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则当__________时，复数对应点在虚轴上. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数再根据条件得出参数的关系即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故答案为：. 13. 的内角的对边分别为，设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理求解. 【详解】由得， 故由正弦定理得. 由余弦定理得. 因为，所以. 故答案为： 14. 已知两个不同的正数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可. 【详解】将两边展开， 得到， 从而， 故，而， 故，又， 故， 从而． 设函数，则， 观察易得在上单调递增，故， 又，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0． 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想. （2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值. 【详解】解：，， 由 ， 的最小正周期， 由， 得：， 的单调递减区间为，； 由可得： 当时，函数取得最小值为 当时，函数取得最大值为 故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0． 16. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为面积为， 所以，得. 由，即， 所以由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 18. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 19 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）分离参数，设，利用导数研究单调性，求解函数的最值即可求解； （2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明； （ii）结合导数的几何意义将问题转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得，从而有两个不等实根，设，利用导数研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由于，则， 设，则，，且在上单减， 令得，令得， 所以在单调递增，单调递减， 所以，则. 【小问2详解】 （i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为， 有，即， 此时，切线为：， 相减得， 所以， 设，，所以在上单调递减. 故当时，，所以； 当时，，所以，则. （ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 则， 又因为，所以， 题目转化为有两个不等实根，且互为倒数， 不妨设两根为， 则由得， 化简得， 所以， 所以，（也可写为）. 代入中得：有两个不等实根， 即， 设， 由于在上单调递减且， 所以在单调递增，单调递减， 而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大， 无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，， 所以，即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$