数学(一)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 超 1.给出下列5个命题，其中真命题的个数是 ①零向量没有方向.②零向量只与零向量相等. ③零向量与任何向量共线 ④单位向量都相等. ⑤共线的单位向量必相等. 如 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a,AD=b, 则BE= ( 牵 A.tb-a Bta-b 长 C-ja D号b+a 3.已知点M1,0),A,B是椭圆于十y=1上的动点，且MA·MB=0,则M·BA的取值范 Z 的 围是 批 A[层可 B.[1,9] c[] D[] 4已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为5，三视图如图所示，则其侧视 图的面积为 ( 装 正视图 侧视图 -25 俯视图 A. B.2 C.4 D.6 1-1 5.设l,m,n表示三条不同的直线，a,B,Y表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l⊥a,m⊥a,则l∥m: ②若mC3,n是l在平面3内的射影，l⊥m,则n⊥m: ③若mCa,n∥m,则n∥a; ④若y⊥a,Y⊥B,则a∥B. 其中真命题为 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④ 6.如图，已知正方体ABCD一A1BCD1的棱长为2，点E为线段CD1的中点，则直线AE 与平面A,BCD,所成角的正切值为 B A.② C.3 D.2 7.某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样的方法选取37名同学做问卷调查，将 1221名同学按1,2,3,4，，1221随机编号，则抽取的37名同学中，编号落人区间 [496,825]内的概率为 A.37 B号 c 9 D.33 8.我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位： km/h)如下表： 上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40 下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37 则上、下班时间行驶时速的中位数分别为 A.28与28.5 B.29与28.5 C.28与27.5 D.29与27.5 1-2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分. 9.下面几种说法中正确的是 ( A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应 10.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 A.AB=OC B.AB∥DE C.ADI=BE D.ACI=BEI 11.已知i是虚数单位，a,b∈R,若(a十i)2=2i,则复数x=a+i对应的点为 A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(-1,1) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC.若AC=mAB+nAD (m,n∈R),则m-n= 13.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E,FB 分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论： ①AF⊥PB:②EF⊥PB:③AF⊥BC:④AE⊥平面PBC 其中正确结论的序号是 14.在△ABC中，S△Ac=寻(a2+-2),b=1,u=2,则c= 1-3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，M,N是圆柱的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆 柱的侧面到达V点，则沿怎样的路线才能使路程最短？ 1-4 16.(15分)如图，在平面直角坐标系中，Oi=21AB=2,∠0AB-经， BC=(-1,/3) (1)求点B,C的坐标； (2)求证：四边形OABC为等腰梯形. 1-5 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底 面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，V是PB的中点，E为AD的中点，过A,D, N的平面交PC于点M.求证： (1)EN∥平面PDC: (2)BC⊥平面PEB: (3)平面PBC⊥平面ADMN. 1-6 18.(17分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成 绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下不完整的频率分布表和频数分布 条形图 分组 频数 频率 50.560.5 4 0.08 ↑人数 60.570.5 0.16 70.5~80.5 10 80.590.5 16 0.32 O 50.560.570.580.590.5100.5成绩/分 90.5~100.5 合计 50 解答下列问题： (1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； (2)补全频数分布条形图： (3)若成绩在75.5一85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 1-7 19.(17分)某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张：第二小组 有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张 票中任抽1张. (1)两人都抽到足球票的概率是多少？ (2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？ 1-8参考答案与详解 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（一） 7.C采用系统抽样的方法从1221人中抽取37人，即 1.C 从33人中抽取1人，所以编号落入区间[496,825]内 2.C BE-BA+AD+2DC--a+b+2a=b-2a. 的人数为825智6+1=10，所以所求概率P=品故 33 故选C. 选C 3.C由M.Mi=0,可得MA.BA=Mi.i-MB) =M,设A(2cosa,sina),则MA2=(2cosa-1)2+sin'a 8.D上班时间行驶速度的中位数是2830=29. 2 =3a一sa+2-3(oma号)广+号所以当sa 下班时间行驶速度的中位教是2728=27.5.故选D 2 =号时亦取得最小值号，当m。=-1时，亦取 9.ABD由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数 得最大位9，此·的取值花国为[号9]，故选C 个相等的向量，故C错误.故选ABD. 1O.ABC设正六边形ABCDEF的边长为a,依次分析 4.D设正三棱锥外接球的半径 各选项： 为R, 对于A,由正六边形的性质可得AB与OC平行且 则专R=15R=各 6 相等， 由三视图可得底面边长为2√3， 则有A店=O心，故A正确： 底面正三商形的高为汽×2 对于B,由正六边形的性质可得AB与DE平行， 即AB∥DE,故B正确： =3, 对于C,在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中 底面三角形外提圆半径为号×3 心O,则有AD=BE=2a, =2, 即有1AD1=BE1,故C正确； 由勾股定理得（受）广=2+（么-）广，得A=4, 对于D,在正六边形ABCDEF中， AC=3a.BE=2a. :侧视图面积为5△=？×3X4=6.故选D 则AC≠|BE1,故D错误.故选ABC. 5.A由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一 1l.AC由a.b∈R,(a+i)2=a2-b2+2abi=2i,得 个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得 ②为真命题：根据直线与平面平行的判定定理，平面 E2有a公低4c 外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平 面平行，③中缺少条件n士a,所以得到的结论可能为 12.解析：因为BD=2DC,所以BC=-3CD.因为BC n∥a,也可能为nCa,所以③为假命题：若a⊥Y,B⊥y, AC-AB,CD=AD-AC.所以AC-AB=BC 则得到的结论可能为∥α，也可能为B,a相交，所以④ 为假命题.故选A. -3C市=-3(Ai-AC,即C--号A+号Ai, 6.A如图，连接AB1交A1B于点F,连接EF.因为 1 AF⊥A1B,AF⊥BC,所以AF⊥平面A1BCD1·所以 ∠PEA为所求线面角，周为an∠FEA==号-夏， EF22' 答案：一2 13.解析：①由于PA⊥平面ABC,因此PA⊥BC,又 所以直钱AE与平西A1BCD,所成角的正切值为圆 AC⊥BC,因此BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,由于 故选A. PC⊥AF,因此AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB:②因为 C AE⊥PB,AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,因此 EF⊥PB:③在①中已证明AF⊥BC:④若AE⊥平面 PBC,由①知AF⊥平而PBC,由此可得出AF∥AE,这 与AF,AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不 成立.故正确的结论为①②③. 答案：①②③ 14解析：Sac=之sinC. 面PDC, ∴.EN∥平面PDC ∴号lsin C=a2+-2). (2):四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD ∴.a2+2-e2=2 absin C. 60°，E为AD中点，.BE⊥AD, 又，PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BEC平而PEB, 由余弦定理得，2 abeos C=2 absin C, ∴.AD⊥平面PEB. .tanC=1.∴.∠C=45. :AD∥BC,.BC⊥平面PEB. ∴.c=va+b-2 abcos C=√3-2=1. (3)由(2)知AD⊥PB. 答案：1 又'PA=AB,且N为PB的中点，AN⊥PB. 15.解：沿圆柱的母线MN将國柱的侧面剪开辅平，得国 :AD∩AN=AAD,ANC平面ADMN,∴.PB⊥平 柱的侧面展开图，从M点绕圆柱的侧面到达N点， 面ADMN, 实际上是从长方形的一个顶点M到达不相邻的另一 又：PBC平面PBC, 个顶点N,而两，点间线段的长度最短，所以最短路线 ∴.平面PBC⊥平面ADMN. 就是侧面展开图中长方形的一条对角线，如图所示 18.解：(1)如下表所示： 分组 频数 频率 50.5~60.5 0.08 60.5~70.5 8 0.16 16.解：(1)连接OB(图略)，设B(xB,yB),则xB=|Oi 70.580.5 10 0.20 +1Ai·c0s(x-∠0AB)=号， 80.5～90.5 16 0.32 90.5-100.5 12 0.24 B=A·sin(x-∠OAB)= 21 合计 50 1.00 ∴o心=Oi+B武 (2)如图所示： =(停9）+-1w=(2.3) 人数 16 (号）C(23) 10A 2证明：00-（号，3） 005605705803905105成绩（分） -(合》 (3)成绩在75.580.5分的学生人数占70.5~80.5 .O心=3AB,.O元∥AB. 分的学生人数的2，因为成绩在70.5一80.5分的学 又易知OA与BC不平行， 生人数的频率为0.2，所以成绩在75.5~80.5分的 OA1=1BC1=2, 学生人数频率为0.1， .四边形OABC为等腰梯形. 成绩在80.5~85.5分的学生人数占80.5~90.5分 17.证明：(1)，AD∥BC,BCC平面PBC, 的学生人数的号，因为成绩在80.5入90.5分的学生 AD吐平面PBC, 人数的频率为0.32，所以成绩在80.5~85.5分的学 ∴.AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC 生人数的频率为0.16， =MN, 所以成绩在75.5~85.5分的学生人数的频率为 AD∥MN.又：AD∥BC,∴.MN∥BC. 又，N为PB的中点，∴M为PC的中点，MN= 0.26,由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校 获得二等奖的学生约为0.26×900=234（人）. BC. 19.解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足 :E为AD的中点∴DE=2AD=号BC=MN, 球票”为事件A:“乙从第二小组的10张票中任抽1 张，抽到足球票”为事件B:“甲从第一小组的10张票 DE LMN,.四边形DENM为平行四边形， 中任抽1张，抽到排球票”为事件A;“乙从第二小组 EN∥DM.又：EV丈平面PDC,DMC平 的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B, 2 手是PA)=号，PA)=号，PCB)=号P(B=是 ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与 MN异面).对于③，依题意，GH∥AD,MN∥AF, 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽 ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确.对于 到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件， ④，连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上 (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相 .DE⊥平面AGF,.DE⊥AF,而AF∥MN, 互位立事件的概率公式，得PAB)=P代AP团=号× ∴.DE与MN垂直，故④正确.综上所迷，正确命题有3个 号=品 故选C A(B.C) (2)甲、乙两人均未柏到足球票（事件AB发生）的概 本为PAB=P不P()=号×号-云 H(N 所以两人中至少有1人抽到足球票的概率为P 1-P(AB)=1-是-9 2525 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（二） 1.D 6.C如图，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以BD⊥EF, 2.B因为a=(2,一1)，b=(1.1),所以a十kb=(2十k, 因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥ -1+k),又c=(5,1),由(a+b)∥c得(2+k)×1= PE,DP⊥PF, -5X(k-1D,解得=号，故选B 所以DP⊥平面PEF,所以①正确： 由DP⊥平面PEF,EFC平面PEF,所以DP⊥EF, 3.B依题意，m=(1,√3)，所以m十n=(3,w3). 所以②正确： 设a=(x,y),又|a-m-n=1, 由DP⊥平面PEF,根据过一点有且只有一条直线垂 所以(x-3)2+(y-V3)2=1. 直于一个平面， 所以向量a的终，点坐标(x,y)的轨迹是以(3，√3)为圆 所以DG⊥平面PEF是不正确的，所以③不正确： 心，半径为1的圆. 由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又DF 所以a的最大值为圆心(3，√3)到原点的距离加上 C平面DPF, 半径， 所以PE⊥DF,所以④正确： 所以a的最大值为W/32+(W3)+1=2√3+1.故选B. 由PE⊥平面DPF,又PEC平而PDE,所以平面 4.B在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，将△BDC PD⊥平面DPF,所以⑤正确， 沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD可得如图所示的 综上可知，正确的结论序号为①②④⑤，故选C. 三棱锥A一BDC.将三棱锥A一BDC镶嵌在长方体 P(A.B.C) 中，则三梭锥A一BDC的外接球与长方体的外接球相 同，，AB=1,BD=√2，外接球的半径为 号下+W2P+-1.∴三棱维A-BDC的外接球 的表面积为4π×12=4元.故选B. 7.C根据频率和为1，计算(a+0.035+0.030+0.020+ 0.010)×10=1,解得a=0.005,得分在[40,60)的频率是 0.40,估计得分在[40,60)的有100×0.40=40（人），A正 确：得分在[60,80)的频率为0.5，用频率估计概率，知 这100名男生中随机抽取一人，得分在[60,80)的概 率为}，B正确：根据频率分布直方图知，最高的小矩 5.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B, 形对应的底边中点为50十60=55，.估计众数为55， C)DEF,如图.对于①，M,N分别为EF,AE的中 2 点，∴.MN∥AF,而DE与AF异面，故DE与MN不 D正确.故选C 平行，故①错误.对于②，BD与MN为异面直线，正确 8.B由频率分布直方图可得，小长方形面积为S=1 (假设BD与MN共面，则A,D,E,F四点共面，与 (0.05+0.03)×10=0.2.故选B. 3