数学(五)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（五） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是 圜 A.DA-DC=AC B.DA+DC=DO 如 C.OA-OB+AD=DB D.AO+OB+BC=AC 2.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,E为线段AO的中 点，若BE=ABA十BD(A,∈R),则入一A= 牵 A是 B.-i c D.- 3 长 3.在直角坐标系Oy中，已知三点A(a,1),B(2,b),C(3,4),若向量OA与OB在向量OC方 向上的投影相同，则a+b的最小值为 () A.2 B.4 Z c号 D 器 4.在封闭的直三棱柱ABC一AB,C,内有一个体积为V的球，若AB⊥BC,AB=6,BC=8, AA=3,则V的最大值是 () 批 A.4π B C.6π D.32x 3 5.如图，在直四棱柱ABCD-AB,C,D中，AA,=AD=2BC,∠A,B,C=∠B,C,D1= 构 120°，且BC∥AD,则直线AB与直线A,D所成角的余弦值为 装 的 C D 4y10 10 B.310 D. 20 5 5-1 6.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为 ( A局 B司 c号 0.2 7为隆数单位若=生织 ,则在复平面中，复数：对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.现采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年 级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生 () A.1350人 B.675人 C.900人 D.450人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分 9.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法中错误的是 ( A.若a∥b且b∥c,则a∥c B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0，则b=c D.(a·b)c=a(b·c) 10.已知平面a⊥平面3，a∩B=l,点A∈a,A任l,若直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥a, m∥3，则 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥3 D.AC⊥3 11.从某地区年龄在25~55岁的人员中，随机抽取100人，了解 频率 组距 0.6 他们对今年两会热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如 0.05 图所示，则下列说法正确的是 ) A.抽取的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为20人 0.02 B.抽取的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为40人 0.01 C.抽取的100人中，年龄在40~50岁的人数大约为50人 02530354045505年龄/岁 D.抽取的100人中，年龄在35~50岁的人数大约为60人 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 正视图 侧图 22 俯视图 13.在△ABC中，若b=5,∠B=不，tanA=2,则sinA= 14.在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2十i,若点A关于实轴的对称点为B,则向 量OB对应的复数为 5-2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,(13分)已知=二，其中1为虚数单位，Q>0,复数u=(十D的虚部减去它的实部所 得的差等于，求复数m的模 5-3 16.(15分)如图，在三棱锥P一ABC中，PA⊥底面ABC,D是PC的中点. 已知∠BAC=5,AB=2,AC=23,PA=2.求： (1)三棱锥P一ABC的体积： (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值. 5-4 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC, ∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,AD=2BC. (1)求证：平面PAD⊥平面PCD: (2)若△PAB是面积为√3的等边三角形，求四棱锥P一ABCD的体积. 5-5 18.(17分)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测 试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积 之比为2：4：17：15：9：3，第二小组的频数为12. 频率 细面 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.00 0901001i0120130140150次数 (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ 5-6 (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是 多少？ 19.(17分)如图，在四棱锥A一BCDE中，底面BCDE为正方形，平面 ABE⊥底面BCDE,AB=AE=BE,点M,N分别是AE,AD的中点. (1)求证：MN∥平面ABC: 5-7 (2)求证：BM⊥平面ADE: (3)在棱DE上求作一点P,使得CP⊥AD,并说明理由. 5-8又 C- D,AD-BD,所以△ABD是等边三角形, 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(五) 故AB-14. 1.D 对于A.DA-DC-CA.错误:对于B.DA+DC= (2)小李的设计建造费用较低,理由如下; $ D.错误;对于C.OA-OB+AD-BA+AD-BD -AD· BDsinD.SAnc-AC·BCsinC. SAp= 错误;对于D.AO+OB+BC-AB+BC-AC,正确. 因为AD·BDAC·BC,C- D. 故选D. 所以SABp>SAC. 2.C 'BD=2B.BE-BA+BD.:BE-BA+ 因为建造环境标志的费用与用地面积成正比,所以 2BO.'E为线段AO的中点,:BE-(BA+ 小李的设计建造费用较低。 BO),根据平面向量基本定理得到对应系教相等,.. 18.解:(1)如图,延长DM交DA #$2-△,解得.-一.故选C. 的延长线于点Q,则点Q是平 面DMN与乎面A.BC.D: 的 3.D 向量OA,OB在向量OC方向上的投影相同,:OA. 一个公共点,连接QN,则直线 QN就是两平面的交线1. OC=OB·OC,·:A(a,1),B(2,b).C(3,4)..3a十 (2).M是AA;的中点,MA/DD $-6+4b,',3a-4b-2,(a,b)在直线3x-4y-2-0 'A:是QD:的中点. 上,a^{②}+6^{②}的最小值为原点到直线3x-4y-2-0距$ 又.AP/DN. .A-D. 4.B 由题意可得若V最大,则球与直三校柱的部分面 .N是DC的中点, 相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球 A-p.(Ct-## 的直径为4,超过直三梭柱的高,所以这个球放不进 去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R一 (3)过点D 作DH1PN于点H,则D.H的长就 是点D:到/的距离. 5.B 不妨设AD一4,如图,延长BC至点M,使得CM BC.连接BM,AM,易证直线AB 与直线A D所成 的角等于 AB,M或其补角. 易知AB-25,BM-4/②,AM QD·D.N .DH- 217 QN $AB^{}+BM{}-2AB·BM· co$ ABM-2/7. AB{}+BM-AM②3 10 所以cos ABM- 2AB ·BM 20 即点D:到1的距离是217 则直线AB;与直线AD所成角的余弦值为3T0 20 19.解:(1)·.(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1. 'a-0.03,完成年度任务的人数为2a×4×200-48. 故选B. (2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25-2, 第2组应抽取的人数为0.08×4×25-8. 第3组应抽取的人数为0.09×4×25-9. 第4组应抽取的人数为0.03×4×25-3, 第5组应抽取的人数为0.03×4×25-3. (3)(2)中完成年度任务的销售员为第4组的3名和 第5组的3名,记第4组的3名销售员分别为A1; A,A;记第5组的3名销售员分别为B.,B,B. 从这6名销售员中随机选取2名,所有的样本点为 AA.AA.A B.A B.A B.AA.AB. ABAB AB .ABAB B B B B BB 故选A. 共15个. 1+2i1-2i(1-2i)(1-i)-1-3i 7.C 因为。- 获得此奖励的2名销售员在同一组的样本点有6个, 1+11+1 2 。 (1+ai)(a+1)_a+1a(a+1);. 8.C 高二年级被抽取的人数为45一20一10-15(人) 2 2 则每层的抽样比为15:300-1:20. 2 .的实部为1 2·,虚部为a(a+1) 2 即这个学校共有高中学生900人,故选C. 由已知a(a+1)a+13. 2=2 9.ACD 选项A中,若b-0,则命题不成立; 得a?-4.a-士2. 选项C中,若a和b,c都垂直,显然b.c在模长方面没 又a>0,故a-2. 有任何关系,所以命题不成立; # 22010 la-2 a+1a(a+1) 选项D中,(a·b)c是一个与向量c共线的向量,而 a(b·c)是一个与向量a共线的向量,错误;B显然成 #-#331-3#- 立.故选ACD 10.ABC .m/.m/.a③-l.m/1. 16.解:(1)5Ac-×2×23-23 .AB/L..'.AB/m.故A一定正确. .AC|l.m/.ACm.故B一定正确. 故三校锥P一ABC的体积为 .Aea,AB//.iCa..'Ba. '.ABB.IC8..AB/③故C也正确. .'AC |/,当点C在平面。内时,AC|B成立, (2)如图,取PB的中点E, 当点C不在平面a内时,AC|③不成立 连接DE,AE. 则DE/BG. 故D不一定成立:故选ABC 11.AD 本题考查频率分布直方图的应用.根据频率分 所以ADE(或其补角)是 布直方图的性质得(0.01+0.05+0.06十a+0.02+ 异面直线 BC与AD所成 的角. 0.02)×5-1,解得a-0.04,所以抽取的100人中,年 龄在40~45岁的人数大约为0.04×5×100-20 在△ADE中,DE-2,AF=/②,AD-2. DE?+AD{-AE2} 22-+22-2 (人),所以A正确;年龄在35~45岁的人数大约为 则 cos乙ADE= 2DE·AD 2X2X2 (0.06+0.04)×5×100-50(人),所以B不正确;年 龄在40~50岁的人数大约为(0.04+0.02)×5×100 -30(人),所以C不正确;年龄在35~50岁的人数 即异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 大约为(0.06+0.04+0.02)×5×100-60(人),所 以D正确,故选AD 17.解:(1)证明:.乎面PAD|底面ABCD. 12.解析:由几何体三视图可知该几何体为组合体,左半 平面PADO底面ABCD-AD. 部分为圆锥,右半部分为三梭锥,所以该几何体的 CD]AD...CD]平面PAD. 又:CDC平面PCD. *平面PAD 平面PCD. {# (2)如图,取AD的中点E,连接 PE,BE. 案} .PA-PD...PEAD .平面PAD 底面ABCD,平面 13.解析:因为在△ABC中,tanA-2,所以A是锐角,且 PADO底面ABCD=AD '.PE|底面ABCD. cosA 5 .△PAB是面积为、/③的等边三角形, 答案:2 ..PA-AB-PB-2. .E是AD的中点,AD/BC.ADC-90* 14.解析:.复数2十i表示的点为A(2.1),关于实轴对 AD-2BC. 称的点为B(2,-1)...OB对应的复数为2-i. '.四边形BCDE为矩形, AEB一90{*, 答案:2-i '.△AEB△PEB,故PE-AE ..△PAE是等腰直角三角形, --(+i)-(a-)(+1)_(a-)(+1) (1-i)2 一2i 10 '.DE-AE-/②. 2.C 解法1:如图,取AB的 在直角三角形AEB中,BE- AB^{}-AF^}- 中点G,连接DG.CG.则易 知四边形DCBG为平行四 'BC=DE-/2.CD=BE-2. 边形,所以BC-GD-AD- ·直角梯形ABCD的面积为。(AD+BC)·CD-3. AG-AD-ABAE-AB+BE-AB+2BC .Vp-ABCD-- $AB+3(AD-AB)-AB+AD.于是BF= 18.解:(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据 落在各小组内的频率大小的 F-AB-AF-AB-(AB+AD)#-AB- 因此第二小组的频率为 2+4+17+15+9+3 -AA. -0.08. 第二小组的频数 解法2:B-BA+A-BA+AE 因为第二小组的频率一 样本容量 --AB+(AD+4+CE) 第二小组的频数12 所以样本容量一 第二小组的频率 0.08 -150. (2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标 -B+(A+A+C) 17+15+9+3 ++A+(++A 19.解:(1)证明:因为点M,N分别为AE,AD的中点; -ABAD.故选C. 所以MN/DE. 因为四边形BCDE为正方形,所以BC//DE,所以 3.A 以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所 MN/BC. 示,则B(-.o),C(0,t).AP-(1,0)+4(0,1)= 因为MNC乎面ABC,BCC乎面ABC. 所以MN/平面ABC. (1.4),即P(1,4),所以PB-(-1.-4),PC (2)证明:因为平面ABE底面BCDE,DE BE (-1.-4),因此PB·PC-1-1-4t+16-17- 所以DE平面ABE 因为BMC平面ABE,所以DE|BM 因为AB一AE一BE,点M是AE的中点,所以 BMIAE. -44,即-时,等号成立,所以PB·PC的最大值为 因为DEOAE=E,DEC平面ADE,AEC平 面ADE, 13.故选A. 所以BM 乎面ADE x (3)(图略)取BE的中点F,连接AF,DF,过C点作 CP DF,交DE于点P,则点P即为所求作的点. 理由:因为AB一AE一BE,点F是BE的中点, 所以AF|BE 因为平面ABE 底面BCDE,所以AF 平面 BCDE,所以AF |CP.因为CP DF,AFODF=F, 所以CP]乎面ADF. 4.B 设球O的半径为R, 因为AD二平面ADF, 因为S△AOc+S△BC= 所以CP1AD. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(六) sin BOC),所以当 AOC= BOC-90{时, 1.C .m(2m+n)...m·(2m十n)-0. S△Aoc十Sxoc取得最大值,此时OA|OC. 即2m}+m·n-0,又.n-4m,.2m+m. OB1OC,OBOOA-O,所以OC1平面AOB, 4lmlcos(m,n)-- 11