数学(四)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（四） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， L在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则DE= 数 A.号AB+行AC B.3A店-日AC C名A店+号Ad D.号A店-名Ad 如 2.已知AB,AC是非零向量且满足(AB-2AC)⊥AB,(AC-2AB)⊥AC,则△ABC的形状 为 () 牵 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.已知P是△ABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是 () Z A B写 c D 2-3 的 4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离 批 的最大值为 ( 构 正视图 侧视图 -17 帝院高 A.3 B.√6 C.2√3 D.2√6 5.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 异面直线AD与BC所成的角为 ( A c D. 2 4-1 6.在正方体ABCD一A,B,CD,中，MN分别是BC1,CD1的中点，则 A.MN∥CD B.MN⊥BC C.MN⊥平面ACD D.MN⊥平面ACC 7,已知i为虚数单位，复数之=i1士a的虚部为2，则实数a 1+i A.1 B.2 C.3 D.4 8.为了普及环保知识，增强学生环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试， 得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m。,众数为m。,平均值为x,则() ↑频数 10 10 8910 得分 A.m,=m,=x B.m。=m。x C.m.<m。<x D.m,<m<元 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分 9.如图，在△ABC中，点D,E是线段BC上两个动点，且AD+AE= xAB+yAC,则x,y可取 2 x=1 A. B. y=2 y=1 x=2 D. y=0 10.下列描述中，是棱柱的结构特征的是 A.有一对面互相平行 B.侧面都是四边形 C.相邻两个侧面的公共边都互相平行 D.所有侧棱都交于一点 4-2 11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至 2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. ·月接待游客量（万人） 45 40 0 25 01支34367第90i位1134367客90i211方457京90i位 2018年 2019年 2020年 根据该折线图，下列结论正确的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，M为DC的中点，若N为 菱形内任意一点（含边界），则AM·AN的最大值为 13.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,一6)，且a⊥c,b∥c,则 a-b|= 14.计算：3+4 1+2i 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5,灰 CD=2√2，AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表 面积及体积. 4-3 16.(15分)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM=A店+AC. (1)求△ABM与△ABC的面积之比： (2)若N为AB中点，AM与CN交于点O,设BO=xBM+yBN,求x,y的值. 4-4 17.(15分)某城市有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个 底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD,如图所示，测得AD=BD=14,BC=10,AC=16, ∠C=∠D. (1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建 造费用较低，请说明理由， 4-5 18.(17分)在棱长是a的正方体ABCD一ABCD,中，M,N分别是AA1,D,C1的中点，过 D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出交线1： (2)设l∩AB=P,求PB的长： (3)求点D1到l的距离. 4-6 19.(17分)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年每名销售员都有1400万元的年 度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元） 内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)， [6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出如图的频率分布直方图. 频率 组距 0.09 0.08 ....... 0.02 026105182完成销售额/百万元 (1)求a的值，并计算完成年度任务的人数： 4-7 (2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取一个容量为25的样本，求这5组分别应 抽取的人数： (3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此 奖励的2名销售员在同一组的概率. 4-8()#}+()#-# 此可得P是△ABC的边BC上的中线AO的中点,点 (2)设第i个电话打给甲为事件A:(i一1,2,3) 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为AA。A S△PBC= 1S△ABC,将一粒黄豆随机撒在△ABC内, +AA2A+AAA. .S△PBC1. 则黄豆落在△PBC内的概率P一 S△ABC .其概率为P(AA2A+A1AA+AAA) 2.故 -P(A AA)+P(A AA)+P(A AA) 选C. =P(A)·P(A)·P(A)+P(A)·P(A). 4.B 由几何体的三视图可得该几何体是一个侧视图为 乎行四边形的四校柱,在该几何体的所有顶点中任取 P(A)+P(A)·P(A)·P(A) ###(1#-)+#(1-)#+# 两个顶点,它们之间距离取最大值时,最大距离相当 于一个长宽高分别为2,1,1的长方体对角线,故d一 (1#)####} 2+1+1{-6.故选B. 19.解:(1)由正弦定理BsifC' 1 得/3sin Bcos C-sin Bsin C. 在八ABC中,因为sinB去0. 所以③cosC-sinC.故tanC-/3.又因为0C. 5.C 设O是正方形对角 线AC,BD的交点,将 正方形ABCD沿对角 以ab-24. 线AC折起. 由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC-28. 可得当BO平面ADC 所以a2}+b②-52,从而(a+b)^{②}-l00.即a+b-10, 时,点B到平面ADC 又c-27,所以ABC的周长为10十2/7 的距离等于BO,而当 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(四 BO与平面ADC不垂直时,点B到平面ADC的距离 1.D 如图,DF-AE-AD-AB 为d,且d<BO,由此可得当三校锥B一ACD体积最 大时,BO1平面ADC.设B是B折叠前的位置,连接 B'B,因为AD/B'C,所以 BCB'就是直线AD与BC 4C-AB+(AC-AB)-# 所成角,设正方形的边长为a,因为BO平面ADC #4#A□0.故选 D.# OBC平面ADC,所以BO|OB. 因为OBO-AC-}# 2a,所以BB'-BC-BC 2.C ·:(AB-2AC)AB→(AB-2AC)·AB-0,即 -a. AB.AB-2AC.AB-0. (AC-2AB)1AC→(AC-2AB)·AC-0.即 A.AC-2AB.AC-0.:AB·AB-AC.AC 所以直线AD与BC所成角为.故选C. AB.AC 2AB·AC.即AB=AC,而cos A- 6.D 对于选项A,因为M,N分别是BC..CD;的中点, 1ABAC 所以点NE平面CDD.C..点M平面CDD.C,所 以直线MN是平面CDD.C.的交线, 3.C 如图,以PB,PC为邻边 又因为直线CD. 在平面CDD.C 内,故直线MN与 作平行四边形PBDC,则PB 直线CD;不可能平行,故选项A不对; +P-pD.因为PB+PC 对于选项B.正方体中易知NB|子|NC |,因为点M 是BC,的中点,所以直线MN与直线BC;不垂直,故 +2P-0,所以PB+P= 选项B不对; -2PA,即PD--2PA,由 对于选项C,假设MN|平面ACD..可得MN1CD. 因为M是BC1的中点, 又由b/c,得2y=1x(-6),解得y=-3; 所以 MC|=MD |.这与|MCMD 矛盾.故假 即b-(1,-3), 设不成立,所以选项C不对; 所以a-b-(5,5). 对于选项D,分别取BC,CD:的中点P,Q,连接 所以a-b-5+5-5②. PM.ON、PQ(图略).因为点M是BC1的中点,所以 答案:5v② PM/CC且PM|= 2/CCi l. 同理QN/CCi且 1+2i(1+2i)(3-4i)-3+8+6i-4i 14. 解析: 3十4i (3十4i)(3-4i) 32十42} QN-1CC:1. 11 所以PM/QN且|PM =QN ,所以四边形PQNM 答案: 为平行四边形, 所以PQ/MN 15.解:由已知得,CE-2,DE=2,CB-5, 在正方体中,CC PQ.PQAC S表面积-S台例+S回台下底+S雄例=-(2+5)×5 因为ACOCC=C.ACC平面ACC,CCC平 +x25+x2×2v2-(60+4②)x.V-V- 面ACC. V二 1(·22+·52+V22}·5-^*})×4- 所以PQ 平面ACC.因为PQ/MN,所以MN 1平 面ACC. 22 故选项D正确,故选D -i(1+aì)i(1+aì)(1-)_(-a+i)(1-ì) 16.解:(1)由AM-3AB+1AC. # 7.C 1+i (1+i(1-i) 2 l-_l..2,解得a-3.故选C. 可知M,B,C三点共线. 2 如图,令BM-BC. 8.D 由条形图可知,中位数为m.一5.5,众数为n。-5, 则AM-AB+BM-AB+&BC 平均值为x~5.97,所以m。m x.故选D. -AB+(AC-AB) 9.AB 由图可设AD=AB+(1-)AC,AE=AB+ -(1-)AB+AC. (1-)AC,其中.(0,1),则AD+AE=(+)AB +(2--)AC.由题知,x=+.y-2--,所以 有x十y-2,且0 x2,故选AB. 即△ABM与△ABC面积之比为1:4. 10.ABC 由校柱的结构特征知选ABC (2)由BO--BM+BN. 11.BCD 对于选项A,由图易知,月接待游客量每年7, 得BO-&BM+BA,BO--BC+yBN. 8月份明显高于12月份,故A错误; 对于选项B,观察折线图的变化趋势可知,年接待游 由O.M.A三点共线及O,N.C三点共线; 客量逐年增加,故B正确; +2-1, 对于选项CD,由图可知显然正确,故选BCD 得。 +y-1. 解得 17.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得 为点N为菱形ABCD内任意一点,所以可设AN一 AB-AC+BC*-2AC·BCcosC AD+yAB(0<x<1.0<y<1),则AM·AN- -16*+102-2×16×10cosC.① (AD+AB)·(AD+AB)-xAD{*+ 在△ABD中,由余弦定理及 C- D易得 AB{2+(+)Ag·AD-5-c+4y.又因为 AB*}=AD+BD②-2AD·BDcosD$ -14+142-2×14?cosC,② (0x1. x,y满足 由①②得14+14-2×14cosC 0<y<1. 所以由线性规划知识可知,当 -16+10-2×16×10cosC. x-1,y-1时,AM·AN取得最大值9 解得cosC一- 答案:9 13.解析:根据题意,向量a一(x,2),b-(1,v).c-(2,-6) 因为C为三角形的内角,又cosC0. 由ac,得2x-2×6-0,解得x-6,即a-(6,2). 8 又 C- D,AD-BD,所以△ABD是等边三角形, 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(五) 故AB-14. 1.D 对于A.DA-DC-CA,错误:对于B.DA+DC= (2)小李的设计建造费用较低,理由如下; $ D.错误;对于C.OA-OB+AD-BA+AD-BD S_Ap= 错误;对于D.AO+OB+BC-AB+BC-AC.正确. 因为AD·BD>AC·BC.C-D. 故选D. 所以SABp>SAC. 2$.C 'BD=2B.BE-BA+BD.:BE-BA+ 因为建造环境标志的费用与用地面积成正比,所以 2BO.'E为线段AO的中点,:BE-(BA+ 小李的设计建造费用较低. BO),根据平面向量基本定理得到对应系教相等,..a 18.解:(1)如图,延长DM交DA #1,2-△,解得.-一.故选C. 的延长线于点Q,则点Q是平 面DMN与乎面A1B.C.D: 的 3.D 向量OA,OB在向量OC方向上的投影相同..OA· 一个公共点,连接QN,则直线 QN就是两平面的交线/. OC=OB·OC.·:A(a,1),B(2,b).C(3,4)..3a十 (2).M是AA;的中点,MA/DD $-6+4b,'3a-4b-2,(a,b)在直线3x-4y-2-0 'A:是QD的中点. 上,a^{②}+6^{②}的最小值为原点到直线3x-4y-2-0距$ 又.AP/DN: AP-DN. 4.B 由题意可得若V最大,则球与直三校柱的部分面 .N是DC的中点, 相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球 #A-p.(Ct-## 的直径为4,超过直三梭柱的高,所以这个球放不进 去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R一 (3)过点D 作DH1PN于点H,则D.H的长就 是点D:到/的距离. 5.B 不妨设AD一4,如图,延长BC至点M,使得CM BC,连接B M,AM.易证直线AB 与直线A D所成 的角等于 ABM或其补角. 易知AB-25,BM-4②,AM QD·DN .DH- QN $AB^{}+BM{}-2AB·BM· co$ ABM-2/7. AB{}+BM-AM{②}3 10 所以cos ABM- 2AB ·BM 20 即点D:到1的距离是217 则直线AB;与直线AD所成角的余弦值为3T0 20 19.解:(1)·.(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1. '.a-0.03,完成年度任务的人数为2a×4×200-48. 故选B. (2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25-2, 第2组应抽取的人数为0.08×4×25-8. 第3组应抽取的人数为0.09×4×25-9. 第4组应抽取的人数为0.03×4×25-3, 第5组应抽取的人数为0.03×4×25-3. (3)(2)中完成年度任务的销售员为第4组的3名和 第5组的3名,记第4组的3名销售员分别为A1; A,A;记第5组的3名销售员分别为B.,B,B. 从这6名销售员中随机选取2名,所有的样本点为 AA.AA.A B.A B,A B.AA.AB. 6.A ABAB AB .ABAB,B B B B BB 故选A. 共15个. 7.C 因为。一 1+2i 1-2i(1-2i)(1-i)-1-3i 获得此奖励的2名销售员在同一组的样本点有6个, 1+11+1 2 2 。