数学(七)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（七） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知向量a=(1,0),b|=√2，a与b的夹角为45°，若c=a十b,d=a一b,则c在d方向上 数 的投影为 ( B.- 5 C.1 D.-1 如 2.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+ AC 钠 ,A∈[0，十∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( AB AC A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 长 3.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则MA·MB的取值 Z 范围是 ( 的 A.[-1,0] B.[-1,2] C.[-1,3] D.[-1,4] 批 4.若直线1与平面a相交，则 A.平面a内存在直线与l异面 构 B.平面α内存在唯一一条直线与l平行 C.平面a内存在唯一一条直线与l垂直 D.平面a内的直线与1都相交 5.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小 完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖，否则不中奖. 则中奖的概率P为 莹 1 A.10 B. 1 c是 D 25 7-1 6.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2, ∠ACB=90°，F,G分别是线段AE,BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为 ( A③ 6 B.-3 C. D.- 3 6 3 3 1.设=+2i,则= ( A.0 B司 C.1 D.2 8.2020年暑假里，甲、乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4 个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是() A.36 1 B司 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题日要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分. 9.用一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长 为 ( A.6 cm B.2√6cm C.32 cm D.√66cm 10.下列结论正确的是 ( A.过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行 B.过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行 C.过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D.过不在直线上的一点，有且只有一个平面与这条直线平行 11.下列事件中是随机事件的有 A.如果a,b是实数，那么b十a=a十b B.某地1月1日刮西北风 C.当x是实数时，x≥0 D.一个电影院某天的上座率超过50% 7-2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积 的最小值为 13.已知向量a=(m,2),b=(-1,n)(n>0),且a·b=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上，则 |2a+b等于 14.若复数：=生的实部为3，则：的虚部为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a=(1,√3)，b=(一2,0). (1)求a一b的坐标以及a-b与a之间的夹角： 7-3 (2)当t∈[一1,1]时，求a-b的取值范围. 16.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形， 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证：BG⊥平面PAD. 7-4 (2)求证：AD⊥PB. (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并 证明你的结论， 7-5 17.(15分)(1)已知复数x在复平面内对应的点在第四象限，|z=1,且~十之=1，求x: 2)已知复效。5m2(1+5im一3(2+i)为纯虚数，求实数m的值 76 18.(17分)某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至 多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占 10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老 年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样 法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查，试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例： (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数. 7-7 19.17分)复数1与2+4i的面积是2-16i,复数满足·-（7-160=一-1，如果复 数之1的辐角主值是a,2的辐角主值是B,求a十B的值. 7-8(3)因为r=√/(-1)2+0=1，cos0=-1,sin0=0, ∴，BC⊥平面PAB. 所以0=π 又：PAC平面PAB,.BC⊥PA 所以-1=cosx十isinπ 又：PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC, 17.解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生 ∴.PA⊥平面PBC. 互不影响，因此事件A与B相互独立.事件A,B能 又PAC平面PAD,∴.平面PBC⊥平面PAD. 同时发生，不是互斥事件. 高一下学期期未综合冲刺卷·数学（七） (2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2，则从袋中取 1.D依题意得a=1,a·b=1×√2×cos45°=1， 两个球的所有取法为2=((a,b),(a,1),(a,2), 1d=V(a-b)2=√a2+b2-2a·b=1,e·d=a2-b2 6D.6.2.1,2则PA=音-号，PB)=名 =-1,因此c在d方向上的投影等于=-1 PAB)=号 故选D. 因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互 2.B 独立事件，事件A,B能同时发生，不是互斥事件. 18.证明：(1)因为四边形ABB1A1和ACCA1都是矩 ,所以点 形，所以AA1⊥AB,AA⊥AC. P在∠BAC的平分线上，故，点P的轨迹一定通过 因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线， △ABC的内心，故选B. 所以AA1⊥平面ABC 3.C如图，由题意可得：点M所 因为直线BCC平面ABC,所以AA1⊥BC 在的圆的方程为：(x一1)2+(y 又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交 -1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2). 的直线，所以BC⊥平面ACC1A1 可设，点M(x·y),A(0,0), (2)如图，取线段AB的中点M,连 B(2.0) 接A1M,MC,A1C,AC1, MA.Mi=(-x,-y)· 设O为A1C,AC的交点. (2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1, 由已知，O为AC1的中点. 由/(x-1)2+y2∈[0,2]， 连接MD,OE,则MD,OE分别为 :MA.MB∈[-1,3].故选C △ABC,△ACC1的中位线， 4,A当直线l与平面a相交时，这条直线与该平面内 所以MD4分AC.OE4号AC 任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确： 该平面内不存在与直线！平行的直线，故B错误：该平 因此MD LOE. 面内有无数条直线与直线1垂直，所以C错误，平面α 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形， 内的直线与【可能异面，故D错误.故选A 则DE∥MO. 5.C由题意得试脸的所有基本事件有(1,2)，(1,3)， 因为直线DE过平面A1MC,MOC平面A1MC, (1,1),(1,5)(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) 所以直线DE∥平面A1MC, (4,5)共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本 即线段AB上存在一点M(即线段AB的中点)，使直 事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个，由古典概型的概率 线DE∥平面A,MC. 19.证明：(1)，BC∥平面PAD,而BCC平面ABCD 公式可知P=高故选C 平面ABCD∩平面PAD=AD,.BC∥AD. 6.A廷长CD至点H,使DH=1,连接HG,HF,则 :AD吐平面PBC,BCC平面PBC, HF∥AD,且HF=DA=2√2，又，GF=6,HG=/I0, .AD∥平而PBC. cos∠HFG=8+6-10=3 (2PA=PB=号AB满足PA+Pg=AE. 2X6X86,故选A. 1+2i=-i计2i=i,.=1.故选C 7.Cz=1+i .PA⊥PB. 8.D最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有 由∠ABC=90°知BC⊥AB. 又，平面PAB⊥平面ABCD, 36种，他们选择相同的景点有6种，所以P-品-行 平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 故选D. 13 9.BD分两种情况：(1)以4cm的长为高，则正四棱柱 (2)因为a-b=(1,√3)-1(-2,0)=(1+21,3). 底面是边长为2cm的正方形，因此对角线长1= √22+22+4=2√6(cm).(2)以8cm长为高，则正四棱 所以a-b1=V0+20)2+3=√4+号)+3. 柱底面是边长为1m的正方形，因此对角线长2= 在[-1，-]上递减在[-1]小上递增， √+1+82=√66(cm).故选BD. 10.AC对于A,过不在平面内的一点，有且只有一 所以1=一 时，Q一b取最小值为3， 个平面与这个平面平行，正确：对于B,当已知直 t=1时，a一b取最大值为2√5，故a一b的取值范图为 线与平面相交时，不存在过孩直线的平面与已知 V3,23 平面平行，错误：对于C,过不在直线上的一点， 16.解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为 有且只有一条直线与这条直线平行，正确；对于 AD的中点，所以BG⊥AD. D,过不在直线上的一点，有无数个平面与已知 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD 直线平行，错误.故选AC. =AD, 11.BDA,C是必然事件，B,D是随机事件.故选BD. 所以BG⊥平面PAD. 12.解析：包装盒的体积最小时，球状 (2)证明：如图，连接PG,因为△PAD为正三角形，G 巧克力与圆锥体状包装盒相切.球 为AD的中，点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD, 与圆锥的组合体的轴截面如图.设 ∠OCD=0,OD=3,.CD= ang∠ACD=2∠0cD=20. 3 AD=CD·tan20,V=交.9 ·CD·tan20= 3 tan20 又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB an01an0当an0=之时，Vm=72x,故包装 18元 因为PB平面PGB,所以AD⊥PB. (3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面AB 盒的体积的最小值为72π. CD. 答案：72x 证明：取PC的中，点F,连接DE,EF、DF 13.解析：因为向量a=(m,2),b=(一1，n)(n>0),且 在△PBC中，FE∥PB,在菱形ABCD中，GB∥DE. a·b=0,P(m,n)在圆x2+y2=5上， 而FE平面DEF,DE平面DEF,EF∩DE=E, -m+2n=0, PB=平面PGB.GB平面PGB,PB∩GB=B,所以 . m2+n2=5. 解得m=2,n=1, 平面DEF∥平面PGB. .2a+b=(3.5), 因为BG⊥平面PAD,PG平面PAD,所以BG⊥PG .|2a+b=√34. 又图为PG⊥AD,AD∩BG=G, 答案：√34 所以PG⊥平面ABCD. 14解析：=4i-7+ai(2+iD 又PG平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD, 2-i(2-i)(2+i) 所以平面DEF⊥平面ABCD. =14-a+(7+2a)i 17.解：(1)设z=a+i(a,beR), 5 1a2+b2=1, 由题意知14一a=3,即a=一1. 由题意得 2a=1. 5 “虚部是7+20=1. 5 解得a=受6=±婆 答案：1 :复数在复平面内对应的点在第四象限， 15 15.解：(1)a-b=(13)-(-2,0)=(3,√3)， 24=2- 所以a一b的坐标为(3)， 5m2 设a一b与a之间的夹角为0， (2)x=1-2 一(1+5i)n-3(2+i)=(m2-m-6)+ 则w-日得-兽 (2m2-5m-3)i,依题意，m2一m-6=0,解得m=3 或-2. 又2m2-5m-3≠0，∴.m≠3. 而0<0长，故0=吾 .m=-2. 14 18.解：(1)设登山组人数为x,则游泳组人数为3x,再设 3.C对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错：对于②， 游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 戴面与底面不一定平行，故②错：对于④，棱台的侧棱 a.b.c. 延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④ 则有·40%+3xb=47.5%,·10%+3=10%, 错，由面面垂直的判定及性质知③正确.故选C 4.x Ax 4.C,M为AB的中点，△ACB为直角三角形， 解得b=50%,c=10%, ∴.BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC, 故a=1-50%-10%=40%. ∴.Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分 故PA=PB=PC.故选C. 别为40%，50%，10%. 5.D连接AC交BE于，点G,连接FG(图略)，因为 (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×3X40% PA∥平面EBF,PAC平面PAC,平面PAC∩平面 4 =60(人). EBF=PG,所以PA∥FPG,所以咒-瓷.周为 抽取的中年人人数为200X子×50%=75（人），抽取 AD/BC,AD=BC,E为AD的中点，所以二-能 的老年人人载为200×号×109%=15（人）， -日所以限-子长选D 19.解：由已知得1=2+41+2 2-16i_1-8i -3-2i, 6.C已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，奶蟹与南 瓜相克，现从峰蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、够蟹五种食物中 将其代入另一个条件， 任意选取两种，基本事件总数n=C号=10， 支形得=-1+5航 “它们湘克的能奉为D=品故选C ..x2=1一5i, 7.C设事件A在一次试验中发生的桃率为p,则事件 3π a-arg s1=arg(-3-2i)2 A在一次试验中不发生的概率为1一卫.在三次独立重 g=ag=ag1-5动.2受<2a 复试验中，事件A至少发生一次的对立事件是在三次 独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即(1一) 受<a+受 -1一8器解得D一是则事件A格好发生一次的概率 又1·2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i, a十B是x1·2的一个辐角， P-d××(-)'-是故选C 且anla十B=员 8.C (1-i)2 =-1, 因为2=a4D十2i=+21, a+= 所以=√0+1.故选C. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（八）】 9.AD 已知∠C=子c=AB=2,b=AC=6. 1.C:非零向量a≠e,e=1,且对任意的实数t∈R, 由正孩定理可得sin B sin C' b 都有a-e≥a-el.∴.a-1e2≥a-e2,2-2a·e +2a·e一1≥0，关于t的一元二次不等式的 4=(2a·e)2-4(2a·e-1)≤0.即(a·e-1)2≤0，故 得sinB= 2 a·e-1=0,a·e-1=a·e-e2=e(a-e)=0.故 选C. :0C∠B<∠B=晋或号 2.C由题意得，AO=AC+C⑦，点O在线段CD上且不 当∠B=晋时，0sB-之：当∠B=号x时， 与端点重合，所以存在k(0<k<1),使得Cδ=kCD, 又BC=3CD.所以C币=号C=}(AC-AB),所以 cosB=-一故选AD 10.ABD对于A,根据正方体的性 A0=AC+C0=AC+令(AC-AB)=-专A店+ 质，有DB1⊥平面ACD1,又 DB1C平面PBD,则平面 (1+专)A花.又A0=xA店+(1-x)A衣.所以 PB1D⊥平面ACD1,故A正确： x= 台所以-<<0，故选 对于B,连接A1B,A1C1,易证明 平面BA,C1∥平面ACD.又 15