数学(六)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（六） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 数 1.已知非零向量m,n满足|n=4m,且m⊥(2m十n),则m,n的夹角为 () 如 A晋 R c D. 2.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC,E为BC边上一点，BC=3EC,F为AE 钠 的中点，则BF ( 长 2 A号A店-号ad B号A店-号A 部 批 c.- A+号A D.-3A+号A 3.已知A店⊥AC,A=,AC=1,若点P是△ABC所在平面内一点，且AP=A西 AB 每 好 1AC ,则PB·PC的最大值等于 LACI 妇 A.13 B.15 C.19 D.21 4.已知三棱锥O-ABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°， 当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O一ABC的体积为 B.2 2 3 C. D. 3 6-1 5.下列命题正确的是 ( A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 6.某学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为号，则连续测试 4次，至少有3次通过的概率为 ( A号 256 B.625 C 64 D.125 7,若复数：满足一21=1一i,则其共轭复数乏在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现 2点”，已知P(A)=2,P(B)=,则“出现奇数点或2点"的概率为 A c司 2 0. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分. 9.已知在△ABC中，a=4,b=43,∠A=30°，则∠B可能为 ( A.60 B.120° C.30° D.150 10.下列命题正确的是 ( A.若复数1,2的模相等，则之，心2是共轭复数 B.1,2都是复数，若1十2是虚数，则≈2不是之2的共轭复数 C.复数之是实数的充要条件是之=（是：的共轭复数） D.已知复数=-1+2i,x2=1一i,x=3-2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A, B,C,O为坐标原点，若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x十y=1 6-2 11.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成 比例，得到如下饼图： 第三产业收入 第三产业收人 烈其他收人入 6 28% 种植 60% 种植 37% 5其他收人 收人 收人 30% 养殖收人 30% 养殖收人 建设前经济收人构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了总经济收入的一半 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料 体积之比的最大值为 13.与向量a=(1,2)平行，且模等于√5的向量为 14.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）： 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴 趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为 6-3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出 一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区， 经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的 天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保 护区中天鹅的数量， 16.(15分)请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）. (l)ai(a∈R): 6-4 (2)3+i: (3)-1. 6-5 17.(15分)一个袋子中有四个球，它们除颜色外其余均相同，其中两个白球，两个红球，讨论 下列事件A,B的相互独立性与互斥性. (1)从袋中取一个球，事件A:取出的这一个球为红球；事件B:取出的红球放回后，再从 中取一球为白球 (2)从袋中取两个球，事件A:取出的两球为一白球一红球；事件B:取出的两球中至少一 个白球. 6-6 18.(17分)在如图所示的多面体中，四边形ABB,A,和ACC1A1都为 矩形. (1)若AC⊥BC,求证：直线BC⊥平面ACCA. (2)若D,E分别是线段BC,CC,的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥ 平面A1MC?请证明你的结论. 6-7 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,BC∥ 平面PAD,∠ABC=9O,PA=PB=号AB.求证： (1)AD∥平面PBC: (2)平面PBC⊥平面PAD. 6-8∴.DE=AE=√2 2.C解法1：如图，取AB的 在直角三角形AEB中，BE=√AB2-AE=2. 中点G,连接DG,CG,则易 知四边形DCBG为平行四 .BC=DE=√2，CD=BE=√2， 边形，所以BC=GD=AD- “直角稀形ABCD的面积为2(AD叶BC·CD=3. AG=AD-号AB,AE=AB+BE=AB+号BC Vp-n=专Sm·PE=E A店+号(D-A店)=号AB+号AD.于是B萨= 18.解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据 落在各小组内的频率大小的， A市-A弦-合AE-A店-名（得A+号A)-A店 因此第二小组的频率为2十4+17十15十9十3 号A店+号A应 =0.08. 因为第二小组的频率=第二小组的频数 解法2：B亦-BA+AF-BA+AE 样本容量 所以样本容量=第二小组的频数。12 第二小组的频率一0.08=150. =-A店+2（ò+号A店+C) (2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标 =-A店+2(Ai+A店+C馆 17+15+9+3 率约为2+1+17+15+9+3×100%=88%。 =-A+号AD+AB+C市+Di+A 19.解：(1)证明：因为点M,V分别为AE,AD的中点， 所以MN∥DE. =-号A店计号Ad.故选C 因为四边形BCDE为正方形，所以BC∥DE,所以 3.A以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所 MN∥BC. 因为MN中平面ABC,BCC平面ABC, 示，则B(}0）,C(0,0,A市=(1,0)+4(0,1D 所以MN∥平面ABC. 10,即P(1,4),所以P=(}-1-4)P元 (2)证明：因为平面ABE⊥底面BCDE,DE⊥BE, 所以DE⊥平面ABE （(-14-4),周此P求.P心=1--4+16=17- 因为BMC平面ABE,所以DE⊥BM. 因为AB=AE=BE,点M是AE的中点，所以 (什+)，因为+≥2√一×=4，当且仅当 BM⊥AE. 因为DE∩AE=E,DEC平面ADE,AEC平 =4,即1=号时，等号成立，所以P店，P心的最大值为 面ADE, 13.故选A. 所以BM⊥平面ADE. (3)(图略)取BE的中点F,连接AF,DF,过C点作 CP⊥DF,交DE于点P,则点P即为所求作的点， 理由：因为AB=AE=BE,点F是BE的中点， 所以AF⊥BE. 因为平面ABE⊥底面BCDE,所以AF⊥平面 BCDE,所以AF⊥CP.因为CP⊥DF,AF∩DF=F, 所以CP⊥平面ADF 4.B设球O的半径为R, 因为ADC平面ADF, 所以CP⊥AD. 周为Sax+Sam=专Re(sin∠A0C+ 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（六） sin∠BOC),所以当∠AOC=∠BOC=90°时， 1.C,m⊥(2m十n).∴.m·(2m+n)=0. S△十S△x取得最大值，此时OA⊥OC 即2m2+m·n=0,又，n=4m,.2m+m· OB⊥OC,OB∩OA=O,所以OC⊥平面AOB, 4Iml cos(m,n)=-- ,结合0≤(m,n》≤，所以 所以Vg-c=Ve-0B=专C,.0A·OBn∠A0B (m,n)=2红.故选C 31 =名Rn∠A0B=2,故选B 11 5.CA选项中两条直线可能 D 12.解析：设球的半径为R,正方体的棱长为a. 平行也可能异面或相交，对 于B选项，如图，在正方体 由题意得当正方依体教最大时。+（停）-， B ABCD-A1BC1D1中，平 面ABB1A1和平面BCCB1 k-f. 与B1D1所成的角相等，但 .所得工件体积与原料体积之比的最大值为 这两个平而垂直：D选项中 a 6 两平面也可能相交.C正确.故选C 6 3π 6.A本题为4次独立重复实验，至少有3次通过的概 丰为心（告）广'×甘+c(告)广-器故选A 省案 7.A 10-1---9鹄 13.解析：因为所求向量与向量a=(1,2)平行，所以可设 所求向量为(x,2x),又因为其摸为5，所以x2+ 是一=号十明在复平面内对定的点的 (2x)2=5,解得x=士1. 坐标为（停，），位于第一象限，长选A 因此所求向量为(1,2)或（一1，一2） 答案：(1,2)或(-1，-2) 8.D“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥， P=PA+PB=+名-景：故选D 14解析：由意意，释6子5129。解得a=30 30 答案：30 9.AB由a sin A sin B' 15.解：设保护区中天鹅的数量为1，假设每只天鹅被捕 到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件 得snB=sinA4v3X 2- 4 2 A=(满到带有记号的天格，则PA)=2驷第二次 又因为b>a,所以∠B=60°或120°.故选AB. 从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号， 10.BC对于A,1和2可能是相等的复数，故A错 误：对于B,若1和2是共轭复数，则相加为实数， 由概奉销线计定又可知A)一品片以缨-品 不会为虚数，故B正确：对于C,由a十bi=a一i得 解得n=1500,所以该自然保护区中约有天鹅 b=0,故C正确：对于D,由题可知，A(一1,2)， 1500只. B(1,-1),C(3,-2),建立等式(3，-2)=(-x+y, 答：该自然保护区中约有天鹅1500只. 仁中y=3解得 2x-0,即{2x-y=-2. 故D错误.故 16.解：(1)当a>0时.因为r=√0+a2=a,c0s0=0, y=4. sin 0=1, 选BC. 1l.BCD设新农村建设前，农村的经济收入为a,则新 所以0=受，所以ai=a(cos受+isin受)： 农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后， 当a<0时，同为r=√0十a2=-a, 各项收入的对比如下表： cos0=0,sin0=-1. 新农村 新农村 新农村建设 结论 建设前 建设后 后变化情况 所以0=要。 60%a 37%×2a= 种植放入 增加 A错 所以ai=-a(os警+isn）. 74%a 5%×2a- 增加一倍 a(cos受+isin受）a>0. 其他收入 4%a 10%a B对 以上 综上，ai -a(os3经+isn）(a<0. 30%×2a日 养殖败入 30%a 增加了一倍C对 60%u (2)因为r=√(W3)2+1=2, 养殖敢入 (30%+6%)a (30%十28%) 超过经济收 十第三产 D对 =36%a ×2a=116%d 入24的一半 cos o-13 业收入 故选BCD. 所以0=，所以8+i=2(cos天+isin) 12 (3)因为r=√/(-1)2+0=1，cos0=-1,sin0=0, ∴，BC⊥平面PAB. 所以0=π 又：PAC平面PAB,.BC⊥PA 所以-1=cosx十isinπ 又：PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC, 17.解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生 ∴.PA⊥平面PBC. 互不影响，因此事件A与B相互独立.事件A,B能 又PAC平面PAD,∴.平面PBC⊥平面PAD. 同时发生，不是互斥事件. 高一下学期期未综合冲刺卷·数学（七） (2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2，则从袋中取 1.D依题意得a=1,a·b=1×√2×cos45°=1， 两个球的所有取法为2=((a,b),(a,1),(a,2), 1d=V(a-b)2=√a2+b2-2a·b=1,e·d=a2-b2 6D.6.2.1,2则PA=音-号，PB)=名 =-1,因此c在d方向上的投影等于=-1 PAB)=号 故选D. 因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互 2.B 独立事件，事件A,B能同时发生，不是互斥事件. 18.证明：(1)因为四边形ABB1A1和ACCA1都是矩 ,所以点 形，所以AA1⊥AB,AA⊥AC. P在∠BAC的平分线上，故，点P的轨迹一定通过 因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线， △ABC的内心，故选B. 所以AA1⊥平面ABC 3.C如图，由题意可得：点M所 因为直线BCC平面ABC,所以AA1⊥BC 在的圆的方程为：(x一1)2+(y 又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交 -1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2). 的直线，所以BC⊥平面ACC1A1 可设，点M(x·y),A(0,0), (2)如图，取线段AB的中点M,连 B(2.0) 接A1M,MC,A1C,AC1, MA.Mi=(-x,-y)· 设O为A1C,AC的交点. (2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1, 由已知，O为AC1的中点. 由/(x-1)2+y2∈[0,2]， 连接MD,OE,则MD,OE分别为 :MA.MB∈[-1,3].故选C △ABC,△ACC1的中位线， 4,A当直线l与平面a相交时，这条直线与该平面内 所以MD4分AC.OE4号AC 任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确： 该平面内不存在与直线！平行的直线，故B错误：该平 因此MD LOE. 面内有无数条直线与直线1垂直，所以C错误，平面α 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形， 内的直线与【可能异面，故D错误.故选A 则DE∥MO. 5.C由题意得试脸的所有基本事件有(1,2)，(1,3)， 因为直线DE过平面A1MC,MOC平面A1MC, (1,1),(1,5)(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) 所以直线DE∥平面A1MC, (4,5)共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本 即线段AB上存在一点M(即线段AB的中点)，使直 事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个，由古典概型的概率 线DE∥平面A,MC. 19.证明：(1)，BC∥平面PAD,而BCC平面ABCD 公式可知P=高故选C 平面ABCD∩平面PAD=AD,.BC∥AD. 6.A廷长CD至点H,使DH=1,连接HG,HF,则 :AD吐平面PBC,BCC平面PBC, HF∥AD,且HF=DA=2√2，又，GF=6,HG=/I0, .AD∥平而PBC. cos∠HFG=8+6-10=3 (2PA=PB=号AB满足PA+Pg=AE. 2X6X86,故选A. 1+2i=-i计2i=i,.=1.故选C 7.Cz=1+i .PA⊥PB. 8.D最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有 由∠ABC=90°知BC⊥AB. 又，平面PAB⊥平面ABCD, 36种，他们选择相同的景点有6种，所以P-品-行 平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 故选D. 13