数学(九)-【步步为赢】2023-2024学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学（九） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.平面向量a与向量b满足a·(a十b)=3,且|a=2,b=1,则向量a与b的夹角为 超 如 A晋 B哥 c D. 2.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,AB·AD=-1,点M在边CD上，则MA·MB 钠 的最大值为 A.2 B.3-1 C.0 D.2-1 长 3.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水.将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时， 指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 ( Z A.圆面 B.矩形面 的 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 批 4.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，若m⊥a,nLB,且B⊥a,则下列结论 一定正确的是 () 构 A.m⊥n B.m∥n C.m与n相交 D.m与n异面 5.如图，在正方体ABCD一A1BCD1中，E,F分别为棱AB,CC的中点，在平面ADD1A 内且与平面D,EF平行的直线 B D A.有无数条 B.有2条 C.有1条 D.不存在 9-1 6.一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1~50，为了了解他们的课外兴趣， 要求每班编号为40的同学留下来进行问卷凋查，这里运用的抽样方法是 A.抽签法 B.分层抽样 C.随机数法 D.系统抽样 7.已知i为虚数单位，（名1一2）(1+i)=1一i,z2=a十2i,若之1·2∈R,则2= A.4 B.20 C.5 D.25 8.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都 是白子的概率是号 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 12 A.7 B.95 c号 D.1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分. 9.在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不 与A,C重合)，且满足|MN|=√2，则BM·BN的取值可能为 ( B.2 7 D. 10.下列选项是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ( 11.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两 个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法 ( A.公平，每个班被选到的概率都为立 B.不公平，6班被选到的概率最大 C.不公平，2班和12班被选到的概率最小 D.不公平，7班被选到的概率最大 9-2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在正方体ABCD一ABCD1中，E是棱DD,的中点，则异面直线AE与BD1所 成角的余弦值为 13.如图，半圆的直径AB=2,O为圆心，C是半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(PA+PB)·PC的最小值是 14.已知复数x满足(1+√3)x=1+i,则|= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b十c)sinB+ (2c+b)sin C. (1)求∠A的大小； 9-3 (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状. 16.(15分)如图，三棱柱ABC一ABC的侧棱与底面垂直，AC=9,BC= 12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点. (1)求证：AC⊥BC: 9-4 (2)求证：AC1∥平面CDB. 17.(15分)甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局，每局在指定线外投篮，若第一次不 进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次.当投进时，该局结束，并记下投篮的次 数.当6次投不进，该局也结束，记为“×”.第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三 次投进得4分，依此类推，第6次投不进，得0分.两人的投篮情况如下表： 第1局 第2局 第3局 第4局 第5局 甲 5次 × 4次 5次 1次 乙 × 2次 4次 2次 × 请通过计算，判断哪位同学投篮的水平高 9-5 18.(17分)设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8,0.9，求： (1)两人都击中目标的概率： (2)两人中恰有一人击中目标的概率： 9-6 (3)在一次射击中，目标被击中的概率： (4)两人中，至多有一人击中目标的概率. 9-7 19.(17分)如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的 4 cm 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇 淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设 计最省材料？ 9-8.f(2)min=f(1)--1,f(cx)mx=f(-)-2. [10.15) 15,20)20,25)25:30) 30.35) 35,40 气温 .MA·MB的最大值是2.故选A. -100 -100 300 900 900 900 所以估计Y大于零的概率为30+90+90+90-5. 3.C 将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面 36257+4-4 为园面或部分圆面;将圆柱桶水平放置,水面为 19.解:以C为坐标原点,以边CB、CA 矩形面,所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形 状不可能是梯形面,故选C. 所在的直线分别为工轴、y轴建立 坐标系,如图,A(0,m),B(n,0). 4.A 若Ba,ma,则直线m与平面3的位置关系有 (1)证明:.D为AB的中点, 两种:mC③或m/B (0 .D(#2). 当m二B时,又nB,所以nn;当n/B时,又n3 所以nn.故nn故选A #D##{## 5.A 因为平面D.EF与平面ADD;A;有公共点D. 所以两平面有一条过D;的交线/,在平面ADD;A1 AB{ 一m{}+”}, 内与/乎行的任意直线都与平面D,EF平行,这样的 .CD-AB,即CD-AB. 直线有无数条,故选A. 6.D (2);E为CD的中点 E(”),设F(cr,0),则AE-(分,-3m), -2-1.z1·z2= A-(x,一m). (2-i)(a+2i)-2a+2+(4-a)i,若z1·z2-R,则 .A、E、F共线,'A-aAE. a-4.z|-2.故选D 8.C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出 #即( x-)(-)# 2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一 即x-号即F(o)#.AF-+9{} 17. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(九) 9.CD 不妨设点M靠近点A,点N靠 11 1.C:a-2,则a2-al?-4, 近点C,以等腰直角三角形ABC的直 又.a.(a十b)-③. 角边所在直线为坐标轴建立平面直 'a}+a·b-4+a·b-3,解得a·b--1设向量a 角坐标系,如图, 与b的夹角为a, 则B(0.0),A(0.2).C(2.0),线段AC 则a·b-alblcosa--1,即2x1×cosa--1,解 的方程为x十y-2-0(02). 得cosa-- 设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0 a<1). '.BM-(a,2-a),BN-(a+1,1-a)...BM·BN 2.A ·'在平行四边形ABCD中,AB-2,AD-1.AB. a(a+1)+(2-a)(1-a)-2a2-2a+2-2(a-){} AD--1.点M在边CD上..AB ·AD·cosA AB所在的直线为工轴,以AB的垂线为y轴,建立如 3,2).故选CD. 因所示的坐标系,则A(0 o):B(20)D(-). 10.ABC 在A图中,分别连接PS,QR,易证PS/QR #设M( #}),-<#-(--) 所以P,Q.R.S共面;在B图中,过P.Q.R,S可作一正 六边形,故P,Q.R,S共面;在C图中,分别连接PQ M-(2-.)M .M-(c-2)3-一 RS.易证PQ/RS,所以P.Q,R,S共面;D图中.PS与 QR为异面直线,所以四点不共面,故选ABC 11.CD 设i班被选到的概率为P(i),i-2,3,4..,12 在_1) 减在,#上单 增# 17 P(4)=P(10)-1 16.证明:(1).CC1平面ABC..'.CC|AC. 12 .AC=9,BC-12,AB-15..'$AC2+BC=AB{②} .ACBC. 选CD. 又BCOCC=C...AC1乎面BCC;B; 12.解析:如图,连接BD,取BD 而BCC平面BCC;B. .AC1BC. 的中点为F,连接EF,AF,则 EF//BD.所以AEF(或 (2)如图,连接BC1交BC于点O,连 接OD. /AEF的补角)是异面直线 ·O.D分别为BC.AB的中点..'OD/AC. AE与BD;所成角,设正方 又ODC平面CDB,AC平面CDB. 体ABCD一ABC.D1 校长 '.AC/乎面CDB 为2,则AE-5,AF=2,EF=③,由余弦定理得 17.解:依题意,甲、乙的得分情况如下表: cosS AEFAF^2+Fr--AF-?15 2AE·EF 一.所以异面直 5 第1局 第2局第3局第4局第5局 甲 2 0 3 2 6 乙 1 0 1 答案: 13.解析:因为点O是AB的中点; 所以P+PB-2P. /-x[(-0.6)+(-2.6)*+0.4+(-0.6)+3.4]~1. 96. 设PC|=x,则P=1-x(0<<1). .-x(0+5+3+5+0)-2.6 所以(PA+PB).PC-P.P 5 22(1-))2(#r-)}# /x[(-2.6)2+2.42+0.42+2.42+(-2.6)2}{~2. 24, 所以当x--时.(PA+PB)·PC取到最小值 因为甲得分的乎均数为2.6,乙得分的乎均数为2.6. 甲得分的标准差约为1.96,乙得分的标准差约 答案:- 为2.24. 所以甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 14.解析:(1+③i)-1十i. 甲得分的标准差小于乙得分的标准差,甲投篮得分 -1+(1+i)(1-)1+3+(1-3) 比乙稳定,故甲投篮的水平高。 1+3i(1+3i)(1-③i) 4 18.解:设事件A一“甲射击一次,击中目标”;事件B一 “乙射击一次,击中目标”,事件A与B相互独立,则 2. P(A)-0.8.P(B)-0.9. (1)两人都击中目标的事件表示为AB, 所以P(AB)-P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72 15.解:(1)由2asinA=(2十c)sinB十(2c十b)sinC得 即两人都击中目标的概率为0.72 2a2-(2b+c)b+(2c十b)c. (2)设事件C一“两人中恰有一人击中目标”,则 即a?-b2+c2十bc, C一(AB)UB(A),因为AB与BA互斥,且A与B 由余弦定理得cosA一 2 2c 相互独立, ·A(0,180).'A-120。 所以P(C)-P(AB)UB(A)]-P(AB)+P(BA) (2)由(1)得a2一b2十c2十bc,由正弦定理得sin②A一 -P(A)·P(B)+P(B)·P(A) sin?B十sinC+sinBsinC. -P(A)·[1-P(B)]+P(B)·[1-P(A)] . sin}B+sinC+sin Bsin C-3. -0.8×0.1+0.9×0.2-0.26. 即两人中恰有一人击中目标的概率为0.26. 又sinB+sinC-1. (3)设事件D一“目标被击中”一“两人中至少有一人 .sinB-sinC- 击中目标”,两人中至少有一人击中目标的对立事件 “.B、CE(0*90)B-C-30*. 为两人都未击中目标,所以两人中至少有一人击中 '.△ABC为等腰三角形. 目标的概率为P(D)=1-P(AB)-1-P(A)· 18 P(B)-1-0.2×0.1-0.98,即目标被击中的概率是 5.B 在三梭柱ABC一A1BC 中,平面B截此三校柱,分 0.98. 别与AC.BC,BC,AC 交于点E.F,G.H.且直线 (4)设事件E一“至少有一人击中目标” CC /平面3,则CC //EH//FG,且CC =EH-FG. 因为E-(AB)U(BA)U(AB). '.四边形EFGH是平行四边形,故①正确; .EF与AB不一定平行 且A与B,B与A,A与B相互独立,AB,BA,AB彼 '.平面8与平面AB;A;平行或相交,故②错误; 此互斥,所以P(E)=P[(AB)U(BA)U(AB)] 若三校柱ABC一A1BCi 是直校柱,则CC1|平 -P(AB)+P(BA)+P(AB) 面ABC. =P(A)·P(B)+P(B)·P(A)+P(A)·P(B '.EH平面ABC. -0.8×0.1+0.9×0.2+0.2×0.1-0.28 又:EH二平面{. 故至多有一人击中目标的概率为0.28 '.平面8|平面ABC,故③正确.故选B 19.解:设圆锥形杯子的高为hcm,要使冰淇淋融化后不 6.D 会溢出杯子,则必须V圆维二V来球, 复级)- 7.D 而V半球一 V= 3 3 8.B 由频率分布直方图可知,一等品的频率为0.06×5- 0.3.三等品的频率为0.02×5+0.03×5-0.25,所以二等 解得二8, 品的频率为1-(0.3+0.25)-0.45.用频率估计概率可得 即当园锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于 随机抽出1件产品为二等品的概率为0.45.故选B 8cm时,冰洪淋融化后不会溢出杯子. 9.ACD A.AM-AB+ACIAM-AB- 又因为S锋-rl-xrV^{十,^2, #A-AM,即BMMC 当圆锥高取最小值8时,S回雅例最小, 所以高为8cm时,制造的杯子最省材料. 则点M是边BC的中点; 高一下学期期末综合冲刺卷·数学(十) B.AM-2AB-AC,则点M在边CB的延长线上,所 1.A(OA-OC).(OB+OC-2A)-0.即CB· 以B错误。 (AB+AC)-0.:AB-AC=CB.(AB-AC.(AB+ C.如图,设BC中点D,则AM A)-0.即AB一AC.i'△ABC是等腰三角形.故选A. BM-CM-MB+MC-2MD,由重 2.B 由n |(m十n)可得n·(m+n)-o,即m·n十 心性质可知C成立. n2 D.AM-:AB+yAC,且x+y- m.n n.ncos(m,n) n/2 →2AM-2xAB+2yAC,2+2=1:设AD-2AM -一4.故选B. In{ 所以AD-2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B.C.D 3.B 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可 以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积 故选ACD. 10.BD 若截面过AA;.BB.CC 的中点时,两个小三 校样的表面积之和比原三校柱的表面积增加了 4.B设a与b的夫角为θ, 中点和BC的中点时中,表面积增加了2倍的边长分别 “(a-b) b..(a-b)·b-o,即a·b-|b-o. 为3和3的矩形的面积,即2×3×3-63.故选BD 又a·b-albl·cosθ,a-2b. 11.ABC 对于选项A,由题意得SD AC,AC BD. . 21b/cos9-1bl2-o.v. cos-. SDOBD=D.SD,BDC平面SBD...AC 平面 SBD,故AC|SB,故A正确;对于选项B, .AB//CD,AB亡乎面SCD,CDC乎面SCD 70