专题1.7 空间向量的应用大题专项训练【五大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.7 空间向量的应用大题专项训练【五大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用空间向量研究直线、平面的平行 1．（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面. 5．（23-24高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 题型二 用空间向量研究直线、平面的垂直 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 7．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 8．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 10．（23-24高三上·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 11．（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 12．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型三 利用空间向量研究距离问题 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 14．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：； (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 15．（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 18．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 题型四 利用空间向量研究空间角 19．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 20．（23-24高一下·天津红桥·期末）如图，在四棱柱 中，已知侧棱 底面 ，侧面 是正方形， 与交于点O， .    (1)求证: AD∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 21．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 22．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱台中，， ，. (1)证明：平面平面； (2)若，四棱台的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 24．（23-24高一下·浙江金华·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 题型五 利用空间向量研究存在性问题 25．（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 26．（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. (1)证明:平面； (2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 27．（23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 28．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 29．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．    (1)求二面角的正弦值； (2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 30．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. (1)证明：平面. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 空间向量的应用大题专项训练【五大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用空间向量研究直线、平面的平行 1．（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 【解题思路】 建立空间直角坐标系，应用向量法求证. 【解答过程】 如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， ∵，平面，∴MN//平面BCE． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【解答过程】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, . 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面. 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面 【解答过程】在三棱柱中，平面，，，. 所以，则，则，则如下图， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 设，则 ， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即， 所以，得， 又平面，所以平面. 5．（23-24高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【解题思路】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； （2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【解答过程】（1）解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【解题思路】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 题型二 用空间向量研究直线、平面的垂直 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 7．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【解答过程】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 8．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【解题思路】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明． （2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直. 【解答过程】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 【解题思路】由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【解答过程】证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 所以 所以即， 所以即， 又，平面PAD， 所以平面PAD， 又平面，所以平面平面PAD. 10．（23-24高三上·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）当时，推导出二面角为直角，结合面面垂直的定义可证得结论成立； （2）假设存在，使得直线平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，将的坐标用的表达式表示，设，可得出关于、的方程组，解之可得出结论. 【解答过程】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面. 连接、，则是中点，是中点， 所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为、平面，所以，，， 为二面角的平面角， 因为，，则，同理可得， 所以，所以，平面平面 （2）解：假设存在，使得直线平面， 以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，故、， 设平面的法向量为，则， 取，得是平面的一个法向量， 取的中点，的中点，连接、，则， 因为，则，同理可知，， 因为，，，则四边形为矩形，所以，， 于是是二面角的平面角， 是二面角的平面角， 是二面角的平面角.于是， 因为，，， 因为，则，所以， 因为，，，、平面， 所以，平面，且， 故，同理， 所以， 因为， ， 所以， 若直线平面，是平面的一个法向量，则， 即存在，使得，则， 因为，可得， 故方程组无解， 所以不存在，使得直线平面. 11．（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 【解题思路】（1）建系，利用空间向量证明线性垂直； （2）利用空间向量证明线面垂直. 【解答过程】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点， 以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz. 则， 可得， ∵ ∴，即AP⊥BC. （2）由（1）可得， ∵M是AP上一点，且AM＝3， ∴， 可得， 设平面BMC的法向量为，则， 令b＝1，则，即， 显然，故∥， ∴AM⊥平面BMC. 12．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 题型三 利用空间向量研究距离问题 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【解题思路】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【解答过程】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 14．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：； (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【解答过程】（1）由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. （2），， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3），， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 15．（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【解答过程】（1）法一:是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面 面 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以，，则，即 ； （2）法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【解答过程】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【解答过程】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 18．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【解题思路】（1）过作交弧上一点，连结，由可得，进而由线面垂直的判定定理证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，设，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值，而列方程求出的值，从而向量法可求点到直线的距离. 【解答过程】（1）过作交弧上一点，连结，如图所示： 则为弧的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以. 由题意可知，，为等腰直角三角形，则； 因为为弧的中点，所以, 则为等腰直角三角形，则， 所以，则, 因为，则，又， 又因为、面， 所以平面，因为面， 所以平面平面. （2）由题意知，两两垂直，所以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 设，又， 则，，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面与平面的夹角为 ，解得（负舍）， 所以，，， 则， 所以点到直线的距离为. 题型四 利用空间向量研究空间角 19．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 【解题思路】（1）连接，即可说明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由线面角求出，再利用空间向量法计算可得. 【解答过程】（1）连接，因为为菱形，对角线与相交于点，所以为的中点， 又是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为菱形，所以，又底面， 则两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以， 在中， 因为底面，所以与底面，所成的角为， 所以， 则 又是的中点，则， 于是，， 设与的夹角为，则有， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 20．（23-24高一下·天津红桥·期末）如图，在四棱柱 中，已知侧棱 底面 ，侧面 是正方形， 与交于点O， .    (1)求证: AD∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）根据线面平行的判断定理，通过构造平行四边形，转化为证明线线平行，即可证明线面平行； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求线面角的正弦值. 【解答过程】（1）取的中点，的中点，连结， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以，且平面，平面， 所以平面    （2）因为平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，且 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，    设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【解题思路】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证． （2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【解答过程】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 22．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱台中，， ，. (1)证明：平面平面； (2)若，四棱台的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【解题思路】（1）由已知，在中，由正弦定理，可得，在中，由余弦定理， 可得，由勾股定理的逆定理可得，则平面，则得平面平面； （2）由（1）和已知，可得四棱台的上、下底面面积，再由四棱台的体积公式求出高，由（1）可得平面，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出设平面和平面的法向量，则由坐标运算得到平面与平面夹角的余弦值. 【解答过程】（1） 因为，所以， 在中，由正弦定理， 得， 所以， 所以， 则由勾股定理，得， 在中，由余弦定理， 得， 所以，所以，即， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知四棱台的下底面面积 ， 因为，所以上底面面积， 设四棱台的高为， 则四棱台的体积为， 所以， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面，所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 由题可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【解答过程】（1）如图1，取的中点，连接 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，所以， 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 24．（23-24高一下·浙江金华·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【解题思路】（1）根据平行直线的传递性可得，然后根据线面平行的判定可得 （2）方法一，取中点，连，，，则，，所以就是直线与所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式求出即可 （3）利用二面角的定义找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可. 【解答过程】（1）连接，，， 是平行四边形，. 又面，面，故平面 （2）法一：取中点，连，，，则，， 所以就是直线与所成的角. 在梯形中，由已知可得， 又平面平面，是交线， 平面，平面，，， ， 所以，直线与直线所成角的余弦值为. 法二：在梯形中，由已知可得， 平面平面，是交线， 面， 如图，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，， ， . （3）法一：过作延长线的垂线于，连接，取中点，连接， 过作，连接. 易证面， 则就是二面角的平面角. ，， 所以， 故. 法二：，， 设是平面的法向量，则 令，得， 又是平面的法向量， 所以. 题型五 利用空间向量研究存在性问题 25．（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【解题思路】（1）设，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设，用空间向量法结合直线与平面所成角为，列出方程求解即可； （2）假设能找到这样的点，设，且，根据平面与平面的夹角为及空间向量，列方程解出，即可说明存在，计算出即可． 【解答过程】（1）设， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故两两垂直， 如图，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为菱形中，， 所以，设， 则，， 所以 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 所以， 因为直线与平面所成角为， 所以，即，解得． （2）假设能找到这样的点， 设，且， 则， 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 则， 由平面与平面的夹角为， 可得，即，解得， 所以能找到这样的点， 此时，，故． 26．（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. (1)证明:平面； (2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由题意可知为正三角形，则，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；假设在线段上存在点，使得平面，令，利用求出，进而求出即可. 【解答过程】（1）由，知为正三角形， 又为的中点，则. 又为的中点，则， 而，所以， 又平面， 所以平面； （2）由（1）知为正三角形，则， 在中，，有，所以， 易知，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 假设在线段上存在点，使得平面，令， 则，所以， 由平面，得，所以， 解得，所以，即的值为. 27．（23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 28．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【解题思路】（1）由题意可建立相应空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得； （2）假设存在，可设，，，，结合空间向量解出、，可得其与假设矛盾，故不存在. 【解答过程】（1）由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， ，，，，， 设平面的法向量，则，即， 可取， 因为， 所以与平面所成角的正弦值为；    （2）假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 29．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．    (1)求二面角的正弦值； (2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而的值． 【解答过程】（1）解：由底面为直角梯形，其中，，且， 所以，又由平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则平面的法向量，且， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 设二面角夹角为，则，则，所以二面角的正弦值为. （2）解：设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则．    30．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. (1)证明：平面. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用正方形性质、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用向量线性运算可得，根据二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【解答过程】（1）连接，交于点， 四边形为正方形，； 平面，平面，， 又，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为， 设，则，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 由（1）知：平面，平面的一个法向量为； ，解得：， 当，即时，二面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$