2.4一元二次方程根与系数的关系（同步课件）数学湘教版九年级上册

*2.4 一元二次方程根与系数的关系 主讲： 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 复习导入 一元二次方程 1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠ 0） 2.方程的判别式： △= b2-4ac 3.当∆≥０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根. 4.求根公式为：x　　　　 学习目标 目标 1 目标 2 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 自学指导 仔细阅读教材P46---P47。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、完成P46-P47的做一做和动脑筋，怎样得出一元二次方程根与系数的关系； 2、通过例题1和例题2，掌握一元二次方程根与系数的关系的应用 做 一 做 （1）先解方程，再填表： 方 程 x1 x2 x1 + x2 x1·x2 0 2 由上表猜测：若方程 x2 + bx + c = 0的两个根为x1，x2，则 x1 + x2 = ， x1·x2 = ； 2 0 - 4 - 3 - 4 1 -1 6 5 - 6 - b c 探究新知 做 一 做 （2）方程 x2 - 5x + 6 = 0的两个根为 x1 = ，x2 = ， 根据2.2节例8下面的一段话，得 x2 - 5x + 6 = (x - )(x - ). 若我们能把方程 x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后，写成 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0， 则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0的根． 反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 + bx + c = 0的根，则方程的左边就可以分解成 x2 + bx + c = (x - d)(x - h). 2 3 2 3 探究新知 动 脑 筋 对于方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)，当 Δ ≥ 0 时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 当Δ ≥ 0时，设ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两个根为x1，x2，则 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = a[x2 - (x1 + x2)x + x1x2]， 探究新知 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 这表明，当 Δ ≥ 0 时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 知识总结 两根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意 满足上述关系的前提条件 a≠0,b2-4ac≥0. 探究新知 一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0) 当△时，方程有两个不等的实数根：，计算x1+x2，x1x2的值。 △时， x1+x2，x1x2 的值呢？ 探究新知 9 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积: (1) 2x2- 3x+1 =0; (2) x2- 3x +2= 10; (3) 7x2-5=x+8. 解:(1) (2)整理，得x2-3x-8=0，所以 x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-8. (3)整理，得7x2-x-13=0，所以 例1 例题讲解 要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值. 已知关于x的方程x2+3x+q =0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值. 解：设x2＋ 3x +q=0的另一个根为x2，则 (-3 )+x2=-3. 解得 x2=0. 由根与系数之间的关系得 q= ( -3 ) ×0= 0. 因此,方程的另一个根是0，q的值为0. 例2 还可用其他方法求出 q 的值吗？ 例题讲解 1、若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　） A．-10 B．10 C．-16 D．16 2、已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．-4 B．-1 C．1 D．4 基础检测 A C 3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___， m =____. -3 4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 5、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的 两根的和与积: (1) x2-6x+1=0; (2)2x2-x =6. (2)整理，得2x2-x-6=0，所以 解:(1) 在使用根与系数的关系时：（1）不是一般式的要先化成一般式； （2） 在使用x1+x2=－时，“- ”不要漏写. 基础检测 一展身手 1.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 2、不解方程，求方程 2x2 + 3x – 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 2 一展身手 3. 当 k 为何值时，方程 2x2 – kx + 1 = 0的两根差为1. 解：设方程两根分别为 x1，x2(x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1 ∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1 由根与系数的关系，得 一展身手 挑战自我 1、设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 2.已知关于x的一元二次方程 mx2-2mx+ m -2 = 0 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1，x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2) ∵方程有实数根x1，x2 ∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1 解得 m = 8. 经检验 m = 8是原方程的解．       挑战自我 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 $$