2.1.3基本不等式的应用（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

2.1 相等关系与不等关系 2.1.3 基本不等式的应用 第2章 一元二次函数、方程和不等式 情境引入 在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决.通过对以下几个实例的讨论，我们将体会基本不等式的应用. 例析 解 (1)设两个正数为，，则，且 由，可得， 当且仅当时等号成立，此时. 所以，把写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为. 例 8 (1)把写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ，就说明始终大于或等于，取等号时，两数之和最小. 例析 解 (2)设两个正数为，，则，且 由，可得， 当且仅当时等号成立，此时. 所以，把写成两个的和时，它们的积最大，最大积为. 例 8 (1)把写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 例析 例8蕴含了基本不等式的一个非常重要的应用模型，你能概括出这个模型吗？ 例 8 (1)把写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 已知，都为正数，则： (1)如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； (2)如果和是定值，那么当且仅当时，积有最小值. 例析 解 设房屋正面的长为，侧面的长为，房屋的总造价为元. 根据题意，有，且 由基本不等式与不等式的性质，可得 例 9 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为，侧面的造价为，屋顶的造价为元.如果墙高为，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 当且仅当时等号成立，此时，.所以，将房屋设计成正面长为，侧面长为时总造价最低，最低总造价是元. 例析 解 设平行线段长为，半圆形直径为，中间的矩形区域面积为. 由题意可知，，且=400， 所以， 例 10 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，当平行线段的长设计为时，中间矩形区域的面积最大，最大值为. 练习 题型一：基本不等式的实际应用 例1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 练习 例1.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解 (2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 练习 方法技巧： 基本不等式的实际应用问题解题步骤： (1)在约束条件下表示出已知量与未知量的关系式； (2)独立分析每个变量的取值范围； (3)利用基本不等式时，注意条件“一正二定三相等”. 例析 变1.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)基本不等式的两大应用模型； (2)利用基本不等式解决实际问题的注意事项. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P41的练习1题； (3)课本P41的习题2.1的6、7、8、9、12、13题. 谢谢学习 Thank you for learning $$